平面与空间直线课件.ppt

1、 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主要内容可示意如下：第一章第二章平面平面与直线与直线一般曲面一般曲面一般曲线一般曲线第三章第四章第五章二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.13.1、平面的方程、平面的方程3.23.2、平面与点的相关位置、平面与点的相关位置3.33.3、两平面的相关位置、两平面的相关位置3.43.4、空间直线的方程、空间直线的方程3.53.5、直线与平面的相关位置、直线与平面的相关位置3.63.6、空间两直线的相关位置、空间两直线的相关位置3.73.7、空间直线与点的相关位置、空间直线与点的相关位置3.83.8

2、、平面束、平面束一、由平面上一点与平面的方位向一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程量决定的平面的方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、平面的法式方程三、平面的法式方程一、由平面上一点与平面的方位向量决定一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程的平面的方程1 1、方位向量、方位向量 在空间给定一个点在空间给定一个点M0与两个不共线的向量与两个不共线的向量a,b，则通过点则通过点M0且与且与a,b平行的平面平行的平面 就被唯一确定。就被唯一确定。向量向量a,b称为平面称为平面 的的方位向量方位向量。 显然，任何一对与平面显然，任何一对与平面 平行的不共线向量都平行的不共线

3、向量都可作为平面可作为平面 的方位向量。的方位向量。bxyzaM0MOr0r2 2、平面的向量式参数方程、平面的向量式参数方程 在空间，取标架O；e1,e2,e3,并设点M0的向径OM0=r0,平面上的任意一点M的向径为OM=r ,显然M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0= ua+vb即r=r0+ ua+vb （3.1-1）方程（3.1-1）称为平面的向量式参数方程向量式参数方程 ，其中u，v为参数 。bxyzaM0MOr0r点M在平面上的充要条件为向量M0M与a,b共面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：3 3、平面的坐标式参数方程、平面的坐标式参数方程若设M0，M

4、的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0=x0,y0,z0,r=x,y,z并设a=X1,Y1,Z1,b=X2,Y2,Z2则由（3.1-1）可得012012012(3.12)xxX uX vyyYuY vzzZ uZ v =+=+- =+ （3.1-2）式称为平面的坐标式参数方程坐标式参数方程,其中u，v为参数。 在（3.1-1）或r-r0=ua+vb两边与a b作数量积，消去参数u，v得 （r-r0，a，b）=0，（3.1-3）从（3.1-2）中消去参数得(3.1-1),(3.1-2),(3.1-3),(3.1-4)都叫做平面的点位式方程。0001112220,(3.14)xx

5、 yy zzXYZXYZ-=-4 4、平面的点位式方程、平面的点位式方程注意：点位式方程要找两个条件注意：点位式方程要找两个条件1、平面上的一个点、平面上的一个点2、平行于平面且不共线的两个向量、平行于平面且不共线的两个向量例例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。解：r2-r1=M1M2=x2-x1,y2-y1,z2-z1, (1)因此，平面的向量式参数方程向量式参数方程为r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3)坐标式参数方程坐标式参数方程为121311213112131()()()()(4)()

6、()xxu xxv xxyyu yyv yyzzu zzv zz =+-+-=+-+- =+-+- 设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的径向为ri=OMi，则可取方位向量为r3-r1=M1M3=x3-x1,y3-y1,z3-z1, (2)从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 （5）(5)式可改写为1213112131121310(6)xx xx xxyy yy yyzzzzzz-=-或111222333110(7 )11xyzxyzxyzxyz=(3)(4)(5)(6)(7)都叫做平面的三点式方程平面的三点式方程。例例 2 2 设平面

7、与设平面与zyx,三轴分别交于三轴分别交于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其中其中0 a，0 b，0 c） ，求此平面方程求此平面方程.平面为平面为000 cabazyax将三点坐标代入得将三点坐标代入得abcabzacybcx 解解方程两边同除以方程两边同除以abcxyzoabc方程得方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距xyzoabc特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc0,则平面的方程为1(3.19)xyzabc+=

8、-称为平面的截距式方程截距式方程。其中a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的截距截距。xzyM1M2M3o由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面表示表示0 DCzByAx（A,B,C不同时为零）不同时为零）不妨设不妨设0 A，则，则 000 zCyBADxA，为一，为一平面平面.上一页下一页返回平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原

9、点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程, 0)4( DBA., 0面面即即有有xoyz 上一页下一页返回2. 平面一般方程的几种特殊情形(1) 过原点的平面方程由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为:Ax + By + Cz = 0(2) 平行于坐标轴的方程（中一为零

10、）考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = A, B, C与x 轴上的单位向量 i =1, 0, 0垂直, 所以n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0于是:平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.特别: D = 0时, 平面过坐标轴.(3) 平行于坐标面的平面方程（中两个为零）平行于xOy 面的平面方程是平行于xOz 面的平面方程是平行于yOz 面的平面方程是Cz + D = 0;By + D = 0

11、;Ax + D = 0 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法向量法向量法向量的法向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量xyzo0MMn1. 法向量法向量:注注: 1 对平面对平面, 法向量法向量n不唯一不唯一;2 平面平面的法向量的法向量n与与 上任一向量垂直上任一向量垂直. 如果在空间给定一点 和一个非零向量n，那么通过点与向量垂直的平面也唯一的被确定。0M2. 2. 平面的法式方程平面的法式方程设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=A,B, C.对于平面上任一点M(x, y, z),

12、 向量M0M与n垂直.条件等价于 yxzM0MnOn M0 M = 0而M0 M =x x0, y y0, z z0,得:A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0称方程(3.1-12) 为平面的点法式方程点法式方程.(3.1-12)（3.1-11）例: 求过点(2, 3, 0)且以 n = 1, 2, 3为法向量的平面的方程.解: 根据平面的点法式方程(3.1-12), 可得平面方程为:1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0即: x 2y + 3z 8 = 0 例例 3 3 设平面过原点及点设平面过原点及点)2, 3, 6( ，且与平面，且与平面8

13、24 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解上一页下一页返回例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBD

14、aA,aDA ,bDB .cDC 解解上一页下一页返回,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距xyzoabc上一页下一页返回例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程.设平面为设平面为, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件

15、）解解上一页下一页返回,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为或或. 666 zyx上一页返回例6、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为矢量M1M2=2，2，-4=21，1，-2垂直于平面，所以平面的一个法矢量为n=1,1,-2.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0nM3M

16、2M1解: 先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2, M1M3都垂直.而M1M2=3, 4, 6 M1M3=2, 3, 1可取n = M1M2 M1M3346231ijk= -= 14i + 9j k例7: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.所以, 所求平面的方程为:14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0即: 14x + 9y z 15 = 0 例8: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n =2 3, 42(x

17、 +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0即: 2x 3y + 4z 4 = 0例例 7 7 求过点求过点)1 , 1 , 1(， 且垂直于平面且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例10 求过点求过点)1 ,2,3(),1 , 1,2(21MM且平行于且平行于z 轴的平面方程轴的平面方程解一解一用点法式用点法式设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为 ，n则则k

18、nMMn ,21kjiMM0) 1(121100011kjinji) 1() 1(由点法式得，所求平面的方程为由点法式得，所求平面的方程为0) 1() 1()2() 1(yx即即01 yx解二解二 用一般式用一般式因平面平行于因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为轴，故可设平面方程为0 DByAx21,MM在平面上在平面上02DBA023DBA解得解得DBDA,所求平面方程为所求平面方程为0)(DyDDx即即01 yx) 1( :1:12312:3121:1211:DBA例11: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0.设所求平面的方程

19、是 By + Cz = 0又点(4, 3, 1)在平面上, 所以3B C = 0 C = 3B所求平面方程为 By 3Bz = 0即: y 3z = 0 000nrpn 若平面上的一点若平面上的一点 特殊地取自原点特殊地取自原点O 向平面向平面 所引垂线所引垂线的垂足的垂足P P，而，而 的法向量取单位向量的法向量取单位向量 ，设，设 ，那么由那么由点点P P和法向量和法向量 决定的平面决定的平面的的方程为：方程为：0M0n OPp 0n coscoscos0 xyzp 如果设如果设r=x,y,z,r=x,y,z,平面的坐标式方程，简称平面的坐标式方程，简称法式方程法式方程为为0cos ,co

20、s,cos n zxyopMn0r00,nrp （3.1-133.1-13）叫做平面的）叫做平面的向量式法式方程向量式法式方程. .(3.1-13)式中式中r r是平面上任意点是平面上任意点M M的向径。因为的向径。因为 所以上式可写成所以上式可写成001,nn (3.1-14)在上述条件下我们来推导平面的向量式法式方程：在上述条件下我们来推导平面的向量式法式方程：取取 是平面上的单位法向量则有：是平面上的单位法向量则有：0npnOPpOP 0,则则若若规定规定：如果：如果 点不在平面上则平面的法向量方向点不在平面上则平面的法向量方向为为 的方向的方向, ,如果点如果点 在平面上则任取平面的在

21、平面上则任取平面的一个方向为法线向量的正向。一个方向为法线向量的正向。ooOP xyopMn0r向量式法式向量式法式方程方程2 2、设设向量式的法式方程就变为：向量式的法式方程就变为：0000 prnnprn00 PMn则则1 1、设设 则则rOMpnrPM 0 cos,cos,cos,0 nzyxr0coscoscos pzyx 坐标式法坐标式法式方程式方程此处 为 故大于零,且向量垂直于平面，且 是原点到平面的距离pOPpxyopMn0r一般方程与坐标式法式方程的互化一般方程与坐标式法式方程的互化平面的法式方程是平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程：具有下列两个特征的一种一般方程

22、：一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1 1；因为因为p是原点是原点O 到平面到平面的距离，所以常数的距离，所以常数0p 根据平面的法式方程的两个特征，我们不难把平面的一根据平面的法式方程的两个特征，我们不难把平面的一般方程般方程(3.1-10),(3.1-10),即即Ax + By + Cz + D = 0化为平面的法式方化为平面的法式方程程. .coscoscos0 xyzp一般方程为：一般方程为：2221CBA 只要在左右两方同时乘以数只要在左右两方同时乘以数选定符号后叫法式化因子0 DCzByAx CBAn, zyxM, zy

23、xOM, 则：一般方程可以写成：则：一般方程可以写成： 与与向量式的法式方程向量式的法式方程 比较可以比较可以0 Drn00 prn发现：发现：1 1、把、把 改为改为 2 2、把、把 根据符号改成根据符号改成 n0nDp符号符号：1 1、 时取符号为负时取符号为负 2 2、 时取符号为正时取符号为正0 D0 D22211nABC 2222222222220AxByCzDABCABCABCABC0.Dp 2221CBA 0Dp 解解 因为因为A=3，B=-2，C=6，D=140所以取法式化因子所以取法式化因子711222 CBA 将已知的一般方程乘上将已知的一般方程乘上，即得法式方程，即得法式

24、方程, 02767273 zyx原点指向平面原点指向平面的单位法向量为的单位法向量为它的方向余弦为它的方向余弦为原点原点O到平面到平面的距离为的距离为p=2.,76,72,730 n,76cos,72cos,73cos 作业： P105 3 5（1） 6（1） 8 11定义定义 3.2.23.2.2如果自点如果自点0M到平面到平面引垂线，其垂足引垂线，其垂足为为Q，那么向量，那么向量0QM 在平面在平面的单位法向量的单位法向量0n 上的射上的射影叫做点影叫做点0M与平面与平面之间的离差，记做之间的离差，记做00nQM 射射影影（3.23.21 1）PMMQ0n0M 容易看到其实离差的绝对值就是

25、点到平面的距离容易看到其实离差的绝对值就是点到平面的距离.0nQ0M 离差的符号： （1）当且仅当 位于平面的单位法向量所指向的一侧，即 与 同向时，离差0;（2）当 位于平面的单位法向量所指向的另一侧，即 与 反向时，离差0;（3）当 在平面上时离差为0.0M0QM0n0M0QM0n0M 0M QxyzoP PR R)(Pr0000OQOMnQMjn证明证明)(00 qrnprnqnrn000000M QxyzoP P点P0 到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离:222000CBADCzByAxd(3.2-4) 推论推论 2 设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+

26、D=0外一点，求点P0到平面的距离。 在平面上任取一点P1(x1, y1, z1)则 P1P0 =x0 x1, y0 y1, z0 z1过P0点作一法向量 n =A, B, C于是: 1PNn0P 01jPrPPdn|01nnPP222101010)()()(CBAzzCyyBxxA又 A(x0 x1) + B(y0 y1) + C(z0 z1) = Ax0 + By0 + Cz0 + D (Ax1 + By1 + C z1 + D) = Ax0 + By0 + Cz0 + D所以, 得点P0到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离:222000CBADCzByAxd(4)例如:

27、求点A(1, 2, 1)到平面: x + 2y + 2z 10 = 0的距离13322110122211222d)3 , 4 , 2(M0322 zyx例：求点例：求点和平面和平面 将 的方程法式化，得：的方程法式化，得： 01323132 zyx故离差为：故离差为：311332431)2()32()( M .31)( Md 到到的距离的距离M间的离差和距离间的离差和距离.二、平面划分空间问题，二、平面划分空间问题， 三元一次不等式的几何意义三元一次不等式的几何意义设平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0那么，空间任一点M(x,y,z)对平面的离差为 = (Ax+By+Cz+D),式中为平面的法式化因子，所以有 Ax+By+Cz+D=(1/).位于平面异侧的充要条件？作业： P109 7