曲面的参数方程1课件.ppt

1、 一、曲面的方程一、曲面的方程 二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程 三、球坐标系与柱坐标系三、球坐标系与柱坐标系 定义定义2.2.1: 若曲面与三元方程F (x, y, z) =0有如下关系:(1) 上任一点的坐标满足方程F (x, y, z) =0;(2) 不在上点的坐标都不满足方程F (x, y, z) =0;那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面的方程, 而曲面叫做方程F (x, y, z) =0的图形.F (x, y, z) = 0 xyzo一、曲面的方程根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 0726

2、2 zyx解解 垂直平分面可以看成到两定点垂直平分面可以看成到两定点A和和B等距离的动点等距离的动点M(x,y,z)的轨迹，故点的轨迹，故点M的特征为的特征为由点的轨迹导出曲面方程由点的轨迹导出曲面方程解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是|y|=|x|即x+y=0 与 x-y=0例例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为求

3、M的轨迹方程)4 , 3 , 2(),0 , 0 , 0(MO已知，点M到O，M的距离比为1:2,以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.设设),(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求的球面方程为所求的球面方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx M0 M R（2.21）（2.22）得上、下半球面的方程分别是：得上、下半球面的方程分别是：202020202020)()()()(yyxxRzzyyxxRzz 2202020Rzzyyxx 由由 将将(2.2

4、 - 1)展开后得展开后得 x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （2.23） 因此球面方程是一个三元二次方程，它的所有平方项因此球面方程是一个三元二次方程，它的所有平方项 的系数相等，交叉项消失。的系数相等，交叉项消失。 反之，由一般式方程反之，由一般式方程 (2.2 - 3)，经过配方又可得到：，经过配方又可得到：(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4习惯上把上面的点叫做点球，无实图形时叫做虚球习惯上把上面的点叫做点球，无实图形时叫做虚球面，这三种情形统称为球面。因此球面的方程是一面，这三种情形统称为球面。因此

5、球面的方程是一个二次项系数相等，交叉项消失的三元二次方程。个二次项系数相等，交叉项消失的三元二次方程。 当当 A2+B2+C2-4D 0 时时, 为实的球面为实的球面. 当当 A+B+C-4D=0 时时, 为空间一点为空间一点. 当当 A+B+C-4D 0 时时, 无实图形无实图形. 例例5 5 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？zxyo1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半

6、径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c以上方法称为以上方法称为截痕法截痕法. 空间常见的曲面有：平面，球面，柱面，锥面，空间常见的曲面有：平面，球面，柱面，锥面，旋转曲面，二次曲面等。旋转曲面，二次曲面等。 以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程上一页返回二、曲面的参数方程二、曲面

7、的参数方程1 1、双参数向量函数、双参数向量函数设在两个变量u,v的变动区域内定义的函数 r=r(u,v) (2.2-4)或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2.2-5)称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变向量r(u,v)的坐标，它们都是变数u，v的函数。当u,v取遍变动区域的一切值时，向径 OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)所画的轨迹一般为一张曲面。Mozxy 例例5 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。 M rxyzPQ解：

8、设M(x,y,z)是球面上任一点，M在xOy 坐标面上的射影为P，而P在x轴上的射影为Q，又设在坐标面上的有向角(i,OP)=,OP与OM的交角POM=，则(2.2-7)PMQPOQOMr krPM)sin( jrjOPQP)sincos()sin( iriOPOQ)coscos()cos( krjrirr)sin()sincos()coscos( 中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为(2.2-7)或(2.2-5)中的，为参数，其取值范围分别是-与-/2/2. 从球面的参数方程（2.2-8）消去参数，就得它的普通方程为 此即为中心在原点，半径为r的球面的向量式参数方程。.sin,sin

9、cos,coscosrzryrx(2.2-8)2222rzyx注：空间曲面的参数方程不是唯一的，例如将取为OM与z轴的夹角。例例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。 PxyzooMQr解：如图,有(2.2-9)或(2.2-10)式中的，u为参数，其取值范围是 -，-u+ uzRyRxsincos(2.2-10)PMQPOQOMr iROQ cos jRQP sin kuPM kujRiRr sincos此即为圆柱面的向量式参数方程。其坐标式参数方程为（2.2-9）地理坐标大地坐标系大地坐标系是由大地经度和大地纬度构成的坐标系是由大地经度和大地纬度构成的坐标系. 地理坐标系，地理坐

10、标系，也可称为真实世界的坐标系，是用于也可称为真实世界的坐标系，是用于确定地物在地球上位置的坐标系确定地物在地球上位置的坐标系.一个特定的地理坐标一个特定的地理坐标系是由一个特定的椭球体和一种特定的地图投影构成，系是由一个特定的椭球体和一种特定的地图投影构成，其中椭球体是一种对地球形状的数学描述，而地图投影其中椭球体是一种对地球形状的数学描述，而地图投影是将球面坐标转换成平面坐标的数学方法是将球面坐标转换成平面坐标的数学方法.绝大多数的绝大多数的地图都是遵照一种已知的地理坐标系来显示坐标数据地图都是遵照一种已知的地理坐标系来显示坐标数据.例如例如,全国全国1 25万地形图就是采用在克拉索夫斯基

11、椭球万地形图就是采用在克拉索夫斯基椭球体上的高斯克吕格投影体上的高斯克吕格投影. 地理坐标是用经度、纬度表示地面点位置的球面坐地理坐标是用经度、纬度表示地面点位置的球面坐标。地理坐标系以地轴为极轴，所有通过地球南北极标。地理坐标系以地轴为极轴，所有通过地球南北极的平面，均称为子午面。的平面，均称为子午面。 为了实现全球通讯线路畅通，需要发射三颗地球同为了实现全球通讯线路畅通，需要发射三颗地球同步卫星步卫星.按照要求，这三颗卫星应位于赤道平面内，距按照要求，这三颗卫星应位于赤道平面内，距地球地球36000千米的高空中，且它们构成等边三角形，那千米的高空中，且它们构成等边三角形，那么怎样确定它们的

12、位置呢？么怎样确定它们的位置呢？ 在实际中，我们是用三个数据来确定卫星的位置，在实际中，我们是用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度即卫星到地球中心的距离、经度、纬度. 这种用这种用距离距离和和二个角度来二个角度来表示空间一点的位置的思表示空间一点的位置的思想，就是球坐标的基本思想想，就是球坐标的基本思想.球坐标系的提出：球坐标系的提出：三三. .球坐标系与柱坐标系球坐标系与柱坐标系 空间中与坐标原点的距离为r的任意点，可以看成中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为.sin,sincos,coscosrzryrx(2.2-8)(2.2-8)中的，为参数，其取值范围

13、分别是-与-/2/2. 如果把球面半径r看成变量时，上式就说明了空间一点的位置，如右图 M r1.球坐标系球坐标系 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyz. .设设M(M(x, ,y, ,z) )是空间任意一点，记是空间任意一点，记| |OM|=|=, ,则则M M的位置也就确定了，的位置也就确定了，反之，反之，M M点的位置确定，点的位置确定，那么那么, ,也就确定了，也就确定了，并且有并且有zxyoMQ(, ,).sin,sincos,coscoszyxX 当当 时，空间的点（除时，空间的点（除直线直线OZ上的点）与有序数组上的点）与有序数组 建立一一对应关系，这种一一对应的关系叫做

14、空间点的球坐建立一一对应关系，这种一一对应的关系叫做空间点的球坐标系，或称空间极坐标系，标系，或称空间极坐标系，(, )叫做点叫做点M的的球坐标球坐标或称为或称为空空间极坐标间极坐标. 这种坐标实际上就是我们在地球上定地理位置的地这种坐标实际上就是我们在地球上定地理位置的地理坐标理坐标. ( , , )(0,0) 0,0,02是向径；是向径；相当于纬度相当于纬度 纬度分北纬和南纬，即纬度分北纬和南纬，即的正值和负值的正值和负值.相当于经度（二面角）相当于经度（二面角）经度分为东经和西经，即为经度分为东经和西经，即为的的正值和负值；正值和负值； ()MOP Z( , , ) POMy直角坐标与球

15、面坐标的关系 220 coscos x sincos y sin z反过来，又有关系2222222222arcsinsin,coszyxzyxyyxxzyx 在空间建立了球坐标系后，空间的某些曲面在球坐标系里的方程非常简单，例如在直角坐标系里球面方程为在球坐标系里的方程是坐标面分别为球面常数常数 常常数数 常数常数 半平面 锥面（只有一腔）),( M2222azyxa 例例 设点的球坐标为设点的球坐标为(2， ， )，求它的直角坐标，求它的直角坐标.434 )2, 1 , 1( 点点在直角坐标系中的坐标为在直角坐标系中的坐标为143cos4cos2 x143sin4cos2 y24sin2 z

16、 以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程 PxyzooMQr其坐标式参数方程为(2.2-9)或(2.2-10)式中的，u为参数，其取值范围是 -，-u+ uzRyRxsincos(2.2-10)如果圆柱面半径R看成变量，并改用表示R 2. 柱坐标系柱坐标系 设M是空间任意一点，在xOy平面的射影为Q，用(,)(0,02)表示点Q在平面xOy上的极坐标，点M的位置可用有序数组(,u)表示.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(,u)叫M的柱坐标或半极坐标系，记作M(,u). 其中0, - , uR2. 柱坐标系柱坐标系xyzoM(, ,u)Q 柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极

17、坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.,R),(3zyxM设,代代替替用用极极坐坐标标将将 yx),u （则则就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系: u 0 sin yuz cos x|MO 反过来，又有关系zuyxyyxxyx222222sin,cos在柱坐标系里，坐标面分别为常数圆柱面常常数数 常常数数 u平面半平面与球坐标一样，某些曲面的方程，在柱坐标系里比较简单，例如圆柱面方程（2.2-11），即222ayx在柱坐标系里的方程为a),(zyxMoxyzo z)0 ,(yx M 例例 设点的直角坐标为设点的直角坐标为(1，1，1)，求它在柱坐，求它在柱坐标系中的坐标标系中的坐标.z1sin1cos12解得解得= ，= 424点点在柱坐标系中的坐标为（在柱坐标系中的坐标为（ ， ，1）. 注：注：求求时要注意角的终边与点的射影所在时要注意角的终边与点的射影所在位置一致位置一致作业：作业： P87 2 7 8