第七章-粘性流体动力学基础(1).课件.ppt

1、1v建立流体力学原理与方法的最终目的是求流体与固体边界建立流体力学原理与方法的最终目的是求流体与固体边界之间的作用力。粘性阻力包括摩擦阻力和压差阻力两种：之间的作用力。粘性阻力包括摩擦阻力和压差阻力两种：摩擦阻力：摩擦切应力在物体运动方向上的合力；摩擦阻力：摩擦切应力在物体运动方向上的合力；压差阻力：作用于物面上的压力在物体运动方向上的合力。压差阻力：作用于物面上的压力在物体运动方向上的合力。两者均与粘性有关，其中压差阻力中包括尾涡阻力。两者均与粘性有关，其中压差阻力中包括尾涡阻力。v建立粘性流体运动的动量方程，即纳维建立粘性流体运动的动量方程，即纳维-斯托克斯方程，斯托克斯方程，并求其在层流

2、运动下的精确解。并求其在层流运动下的精确解。v建立边界层方程，求解边界层内的速度分布和粘性摩擦力。建立边界层方程，求解边界层内的速度分布和粘性摩擦力。v紊流概述，雷诺方程及雷诺应力，紊流的时均速度分布与紊流概述，雷诺方程及雷诺应力，紊流的时均速度分布与粘性切应力。粘性切应力。27 71 1 粘性流体运动的纳维粘性流体运动的纳维斯托克斯方程斯托克斯方程7 72 2 简单边界条件下纳维简单边界条件下纳维斯托克斯方程的精确解斯托克斯方程的精确解7 73 3 边界层的概念边界层的概念7 74 4 边界层方程组及边界条件边界层方程组及边界条件7 75 5 平板层流边界层的精确解平板层流边界层的精确解7

3、76 6 边界层动量积分关系式边界层动量积分关系式7 77 7 平板边界层计算平板边界层计算7 78 8 边界层分离及减阻边界层分离及减阻7 79 9 紊流概述紊流概述7 71010 雷诺方程及雷诺应力雷诺方程及雷诺应力7 711 11 紊流的半经验理论紊流的半经验理论7 712 12 紊流模式理论紊流模式理论3第一节 粘性流体运动的纳维粘性流体运动的纳维斯托克斯方程斯托克斯方程 将动量守恒定律应用于运动着的粘性流体质点上，可得将动量守恒定律应用于运动着的粘性流体质点上，可得到诸流动参数之间的关系，即粘性流体运动的纳维到诸流动参数之间的关系，即粘性流体运动的纳维斯托克斯托克斯方程，该方程是于斯

4、方程，该方程是于1827年和年和1845年由年由Navier和和Stokes分别从不同角度独立得到。分别从不同角度独立得到。在流场中任取一空间点在流场中任取一空间点M(x,y,zM(x,y,z) )，并以该点为一顶点作一微小正六面并以该点为一顶点作一微小正六面体。在过体。在过M M点的三个正交面点的三个正交面MBDCMBDC，MCEAMCEA 和和MAFB上则作用着应力上则作用着应力P Px x，P Py y，P Pz z，又可分出，又可分出P Pijij9 9个应力分量，个应力分量，即一点的应力状态由这即一点的应力状态由这9 9个分量来描个分量来描述。述。一、关于应力一、关于应力4xxxyx

5、zyxyyyzzxzyzzpppPpppppp式中式中Pxx，Pyy，Pzz为正应力分量，其余为正应力分量，其余6个为切应力分量。个为切应力分量。Pij中第一个下角标表示其作用面的法线方向，第二个下角标中第一个下角标表示其作用面的法线方向，第二个下角标表示其作用方向。表示其作用方向。在这在这9个应力分量中，只有个应力分量中，只有6个应力个应力分量是独立的，即：分量是独立的，即：,xxyyzzxyyxxzzxyzzyppppppppp5流体中一点的应力完全由这流体中一点的应力完全由这9个分量确定。个分量确定。 对于理想流体而言，应力只是空间点和时间的函数，与对于理想流体而言，应力只是空间点和时间

6、的函数，与方位无关，且方向总是指向作用面的内法线方向，即应力为方位无关，且方向总是指向作用面的内法线方向，即应力为正压力。而对于实际流体而言，应力不仅与空间坐标和时间正压力。而对于实际流体而言，应力不仅与空间坐标和时间有关，而且还与方位有关，并且应力的方向不再指向作用面有关，而且还与方位有关，并且应力的方向不再指向作用面的内法线方向，即存在法向应力和切向应力，因此对于实际的内法线方向，即存在法向应力和切向应力，因此对于实际流体，要确定一点的应力大小，须先确定作用面的方位，一流体，要确定一点的应力大小，须先确定作用面的方位，一般选取垂直于坐标轴的三个正交面作为其作用面。般选取垂直于坐标轴的三个正

7、交面作为其作用面。xxxyxzyxyyyzzxzyzzpppPpppppp6二、应力形式的动量方程二、应力形式的动量方程,xyzppp作用于流体微团上的表面力还有作用于流体微团上的表面力还有GEAF，GFBD和和GDCE三个三个面上的应力面上的应力 ，这些力也可分解成各自作用面上的，这些力也可分解成各自作用面上的法向和切向分量。法向和切向分量。7根据函数的泰勒展开并舍去高阶量，可表示为：根据函数的泰勒展开并舍去高阶量，可表示为：xyxxxzxxxxyxzppppi pdxj pdxkpdxxxx yxyyyzyyxyyyzppppi pdyj pdykpdyyyy zyzxzzzzxzyzzp

8、pppi pdzj pdzkpdzzzz 8将牛顿第二定律将牛顿第二定律 应用于运动着的粘性流体质点，应用于运动着的粘性流体质点，以以X方向为例：方向为例：Fmaxxxxppdxxyxyxppdyyzxzxppdzzxxpzxpyxpozxy作用于该流体微团沿作用于该流体微团沿X轴方向的合力为：轴方向的合力为：yxxxxxxxyxyxyxzxxxzxzxzxxxpppdx dydzp dydzpdy dxdzp dxdzxypppppdz dxdyp dxdyfdxdydzfdxdydzzxyz惯性力惯性力:xdvdxdydzdt根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律:xxFdm a可得到可得到X方

9、向的运动方程方向的运动方程:9yxxxxzxxpdvppdxdydzfdxdydzdtxyz可得到可得到X方向的运动方程方向的运动方程:同理可得同理可得:将上式整理后得将上式整理后得:1yxxxxzxxpdvppfdtxyz1yyxyyyzydvpppfdtxyz1zyzxzzzzppdvpfdtxyz(7-4)10 上述方程即为粘性流体运动应力形式的动量方程。上述方程即为粘性流体运动应力形式的动量方程。方程中未知量有：速度方程中未知量有：速度V（3个），应力（个），应力（6个），共个），共9个未个未知量，方程知量，方程4个，故方程组不封闭，需补充关系式。个，故方程组不封闭，需补充关系式。1y

10、xxxxzxxpdvppfdtxyz1yyxyyyzydvpppfdtxyz1zyzxzzzzppdvpfdtxyz(7-4)11二、广义牛顿内摩擦定律（本构方程）二、广义牛顿内摩擦定律（本构方程） 广义牛顿内摩擦定律（广义牛顿内摩擦定律（本构方程）反应了应力和应变率本构方程）反应了应力和应变率之间存在的制约关系，这是建立流体动力学方程的基础。真之间存在的制约关系，这是建立流体动力学方程的基础。真实流体的力学性质是很复杂的，不同种类的流体可能表现出实流体的力学性质是很复杂的，不同种类的流体可能表现出完全不同的力学特性，即便是同一种流体在不同的外部条件完全不同的力学特性，即便是同一种流体在不同的

11、外部条件下，比如温度不同时，力学特性也会有很大的差异。因此要下，比如温度不同时，力学特性也会有很大的差异。因此要建立一个普适的本构方程几乎是不可能的。建立一个普适的本构方程几乎是不可能的。Stokes提出了适提出了适用于牛顿流体的如下三条假设：用于牛顿流体的如下三条假设：（1）流体是各向同性的，也就是说流体的物理性质与方向）流体是各向同性的，也就是说流体的物理性质与方向无关，只是坐标位置的函数；无关，只是坐标位置的函数；（2）应力张量是应变率张量的线性函数，与旋度无关。）应力张量是应变率张量的线性函数，与旋度无关。（3）静止流体中，切应力为零，正应力的值为流体的静压。）静止流体中，切应力为零，

12、正应力的值为流体的静压。121、切向应力与变形速度的关系、切向应力与变形速度的关系变形包括线变形和角变形（剪变形）。变形包括线变形和角变形（剪变形）。线变形运动是由速度分量在它方向上变化率决定的，即线变形运动是由速度分量在它方向上变化率决定的，即角变形运动是由速度分量在垂直于它的方向上的变化率决角变形运动是由速度分量在垂直于它的方向上的变化率决定的。定的。,yxzvvvxyz牛顿切应力公式：牛顿切应力公式：dvdn上式说明切应力与流体微团的角变形速率成正比。上式说明切应力与流体微团的角变形速率成正比。13在三元流动中，三个坐标平面内的角变形速度分别为：在三元流动中，三个坐标平面内的角变形速度分

13、别为：,yyxxzzvvvvvvxyyzzx推广牛顿粘性公式至三元流动中，则可得切应力与角变形速推广牛顿粘性公式至三元流动中，则可得切应力与角变形速度的关系式：度的关系式：yxxyyxyzyzzyxzxzzxvvppxyvvppyzvvppzx(7-5)(1)(3)(2)142、法向应力与变形速度的关系、法向应力与变形速度的关系223223223xxxyyyzzzvppvxvppvyvppvz (7-6)广义牛顿广义牛顿内摩擦定内摩擦定律律!式中：式中：yxzvvvvxyzP为粘性流体的动压力。为粘性流体的动压力。15粘性流体中一点粘性流体中一点 的流体动压力的流体动压力P定义为：以定义为：以

14、M为球心，具有无限小半径为球心，具有无限小半径 r 的球面上，作用着的法向应力之的球面上，作用着的法向应力之负算术平均值。用数学式子可表示为：负算术平均值。用数学式子可表示为：000,M xyz0201lim4nArprp dAr0r 沿球半径方向的单位矢量。沿球半径方向的单位矢量。粘性流体动压力粘性流体动压力P与沿坐标轴方向的正应力的关系式为：与沿坐标轴方向的正应力的关系式为：13xxyyzzpppp 对于不可压缩流体，对于不可压缩流体， ，则式（，则式（7-6）变为：）变为：0v16223223223xxxyyyzzzvppvxvppvyvppvz 222xxxyyyzzzvppxvppy

15、vppz 0v(4)(6)(5)对于理想流体或静止流体，则有：对于理想流体或静止流体，则有：xxyyzzpppppp 17将切向应力、法向应力与变形速度之间的关系式（将切向应力、法向应力与变形速度之间的关系式（7-5）与）与（7-6）合在一起用张量形式书写将非常简洁，其表达式为：）合在一起用张量形式书写将非常简洁，其表达式为：223jkiijijkijvvvppxxx (7-7)式中各量的下角标式中各量的下角标 i,j,k取值为取值为1，2，3，分别对应，分别对应x,y,z, k为求为求和下标。和下标。0,1,ijijij 至此，连续方程、三个运动微分方程以及（至此，连续方程、三个运动微分方程

16、以及（1）（6）个补充方程，共个补充方程，共10个方程，求解个方程，求解10个未知数（个未知数（3个速度分量、个速度分量、6个应力分量以及动压力个应力分量以及动压力P），所以方程组封闭，理论上可），所以方程组封闭，理论上可求解。求解。18三、纳维三、纳维斯托克斯方程（简称斯托克斯方程（简称NS方程）方程） 将应力和变形速度间的关系式代入应力方程（以将应力和变形速度间的关系式代入应力方程（以X方方向为例）：向为例）：1yxxxxzxxpdvppfdtxyz223xxxvppvx yxyxxzzxvvpxyvvpzx12231xxxyxxzdvvfpvdtxxvvvvyxyzxz 19122311

17、3xxxyxxzxxdvvfpvdtxxvvvvyxyzxzpfvvxx 同理可得同理可得Y和和Z方向方向的运动微分方程：的运动微分方程：131313xxxyyyzzzdvpfvvdtxxdvpfvvdtyydvpfvvdtzz 2,vv 20131313xxxyyyzzzdvpfvvdtxxdvpfvvdtyydvpfvvdtzz (7-8)上式即为粘性流体的运动微分方程上式即为粘性流体的运动微分方程(对单位质量流体而言对单位质量流体而言)，适用于一切牛顿流体。左边为单位质量流体的惯性力；右适用于一切牛顿流体。左边为单位质量流体的惯性力；右边依次为单位质量流体的质量力、压力和粘性力。边依次为

18、单位质量流体的质量力、压力和粘性力。对于不可压缩流体，由于对于不可压缩流体，由于 ，则有：，则有：0v21111xxxyyyzzzdvpfvdtxdvpfvdtydvpfvdtz (7-9)上式即为不可压缩粘性流体的运动微分方程。上式即为不可压缩粘性流体的运动微分方程。写成矢量形式有：写成矢量形式有：21dvvvvfpvdtt (7-10)2221dvvvvfpvdtt 如果流体为理想流体，粘性系数如果流体为理想流体，粘性系数 ，则上述方程变成，则上述方程变成欧拉运动微分方程：欧拉运动微分方程：01dvvvvfpdtt 如果流体静止，则上述方程变成欧拉平衡微分方程：如果流体静止，则上述方程变成

19、欧拉平衡微分方程：(7-10)10fp 23不可压缩粘性流体的不可压缩粘性流体的N-S方程在直角坐标系下的形式为：方程在直角坐标系下的形式为：222222222222111xxxxxxxxxyzxyyyyyyyyxyzyzzzzzxyzzdvvvvvvvvpvvvfdttxyzxxyzdvvvvvvvvpvvvfdttxyzyxyzdvvvvvpvvvfdttxyzz222222zzzvvvxyz在上述方程中，未知数有在上述方程中，未知数有4个：个：3个运动方程，再加个运动方程，再加1个连续方程，共个连续方程，共4个方程，故方程组封个方程，故方程组封闭，原则上可求解。闭，原则上可求解。,xyz

20、v v vp24定解条件：定解条件：1、初始条件；、初始条件；t=0时，给定时，给定2、边界条件（列出三种最常见的）：、边界条件（列出三种最常见的）： 静止固壁：静止固壁： （粘附条件）；（粘附条件）； 运动固壁：运动固壁： 自由界面上：自由界面上：, , ,vv x y zpp x y z0v vv固流0,0nnijpppij 即在自由界面上，法向应力等于自由界面上的压力，切即在自由界面上，法向应力等于自由界面上的压力，切向应力为零。向应力为零。25不可压缩粘性流体的不可压缩粘性流体的N-S方程在柱坐标系下的形式为：方程在柱坐标系下的形式为：22222222121 121rrrrrrzrrr

21、rrzzzzzrzzzvvvvvvvvpvvfvtrrrzrrrvvvvv vvvvpvvfvtrrrzrrrvvvvvpvvfvtrrzz 式中式中:22222211rrrrrz , ,rz,rzv v v-空间点的柱坐标空间点的柱坐标;-速度的三个坐标分量。速度的三个坐标分量。26不可压缩粘性流体的不可压缩粘性流体的N-S方程在球坐标系下的形式为：方程在球坐标系下的形式为：2222222222222sin21222cotsincotsin1 122cossinsinrrrrrrrrrrrvvvvvvvvvtrrrrvvvpfvvrrrrrvvvvvvv vvtrrrrvvpfvrrrr22

22、2222cotsin1122cossinsinsinsinrrrvvvvvvvv vv vvtrrrrrvvvpfvrrrr 27式中式中:22222222111sinsinsinrrrrrr , ,r ,rv v v-空间点的柱坐标空间点的柱坐标;-速度的三个坐标分量。速度的三个坐标分量。28粘性流体运动的一般性质主要有以下三点：粘性流体运动的一般性质主要有以下三点：（1）运动的有旋性；）运动的有旋性；（2）能量的耗损性；）能量的耗损性；（3）涡旋的扩散性）涡旋的扩散性 由于由于N-S方程为二阶非线性偏微分方程组，准确解为数方程为二阶非线性偏微分方程组，准确解为数甚少，只有在一些简单的问题中

23、才能实现：如两无限大平甚少，只有在一些简单的问题中才能实现：如两无限大平行平板间的定常流动（库特流）；圆管内的的定常流动；行平板间的定常流动（库特流）；圆管内的的定常流动；两同心旋转圆柱间的定常流动等等。两同心旋转圆柱间的定常流动等等。29第二节 简单边界条件下简单边界条件下NS方程的精确解方程的精确解 在某些简单问题中，方程的非线性项（即惯性项）自在某些简单问题中，方程的非线性项（即惯性项）自动消失，动消失，N-S方程成为线性的，从而可求到它的准确解。方程成为线性的，从而可求到它的准确解。一、库埃特流动一、库埃特流动h xvyyxoMv 两无限大平行平板间充满着粘性不可压缩流体，在压两无限大

24、平行平板间充满着粘性不可压缩流体，在压差作用下流动，不计质量力，设流动定常且为层流。差作用下流动，不计质量力，设流动定常且为层流。流动特点：流动特点：0,0,0,yzxxxyzvvvvx yffftconst30N-S方程组变为（以方程组变为（以X方向为例）：方向为例）：h xvyyxoMv2222221xxxxxxxxyzxvvvvvvvpvvvftxyzxxyzY和和Z方向同理得：方向同理得：2222110100 xxxxxvvvpvxxxypypzvx （1）（2）（3）（4）312222110100 xxxxxvvvpvxxxypypzvx （1）（2）（3）（4）由（由（2）、（）、

25、（3）知：）知： ，由（，由（4）知：）知：( )pp x( )xxvvy故（故（1）式变为：）式变为：221xd vdpdydx（5）32221xd vdpdydx（5）上式左边是上式左边是y的函数，右边是的函数，右边是x的函数，则必有：的函数，则必有：即压力沿即压力沿X轴呈线性分布，沿轴呈线性分布，沿Y和和Z方向不变。方向不变。dpcdx积分（积分（5）式得：）式得：21212xdpvyC yCdx边界条件：边界条件：0,0,0 xxyvyhv1220hCC 12xdpvy hydx 这就是两平行平板这就是两平行平板间粘性流动速度分间粘性流动速度分布的精确解。布的精确解。33通常引入一个无

26、量纲压力参数通常引入一个无量纲压力参数P，其定义为：，其定义为：22hdpPvdx 式中式中v流动的某种特征速度，如它可取为平板间的平流动的某种特征速度，如它可取为平板间的平均流速。均流速。则平板间的无量纲速度分布为：则平板间的无量纲速度分布为： 1xvyyyPvhhh xvyyxoMv(7-13) 从上式可知，速度分布呈抛从上式可知，速度分布呈抛物线型。在上、下两平板处速度物线型。在上、下两平板处速度为零，在两板中间速度达到极大为零，在两板中间速度达到极大值。若值。若P=0，则，则 ，即流体，即流体将静止不动。将静止不动。0 xv 34 下面再讨论另外一种库特流，上平板以一恒定速度沿本下面再

27、讨论另外一种库特流，上平板以一恒定速度沿本身所在平面向身所在平面向X轴的正向运动。轴的正向运动。前半部分的解法如前所述，只是边界条件发生了变化。前半部分的解法如前所述，只是边界条件发生了变化。21212xdpvyC yCdx边界条件：边界条件：0,0,xxyvyhvv12120vdpChhdxC12xvdpvyy hyhdx这种流动称为压力差这种流动称为压力差和粘性拖动双重作用和粘性拖动双重作用下的库特流。下的库特流。(7-14)35hyxo 1 3 2v12xvdpvyy hyhdx(7-14)(7-15)将上式写成无量纲形式为：将上式写成无量纲形式为： 1xvyyyyPvhhh讨论：讨论：

28、1、由于方程是由非线性简化为线性，因此流动结果是粘性、由于方程是由非线性简化为线性，因此流动结果是粘性拖动和压力差两种流动的叠加，速度分布为二次曲线。拖动和压力差两种流动的叠加，速度分布为二次曲线。2、当、当 时，时，整个截面速度分布为正值，整个截面速度分布为正值，不会出现倒流，见图中曲线不会出现倒流，见图中曲线（1）。）。00dpPdx36hyxo 1 3 2v3、当、当 时，在下平板附近可能出现倒流，时，在下平板附近可能出现倒流， 取决于取决于 的值，见图中曲线（的值，见图中曲线（2）。）。4、当、当 时，两平板间的流动只在上平板的拖时，两平板间的流动只在上平板的拖动下流动，称为纯剪切库特

29、流，速度分布为线性，见图中动下流动，称为纯剪切库特流，速度分布为线性，见图中曲线（曲线（3）。）。00dpPdxdpdx00dpPdx37 水平放置等直径圆管，在压力差作用下作定常层流运水平放置等直径圆管，在压力差作用下作定常层流运动，忽略质量力。建立以管轴为动，忽略质量力。建立以管轴为Z轴的柱坐标系。轴的柱坐标系。流动特点：流动特点：二、等直径圆管中的粘性层流流动二、等直径圆管中的粘性层流流动0,rvvarzo,0zzvv r z0,0,0rzconstffft柱坐标系下的连续方程为：柱坐标系下的连续方程为：110rzrvvvrrrz 0,zzzvvvrz38柱坐标系下柱坐标系下N-S方程的

30、简化过程（以方程的简化过程（以r方向为例）：方向为例）：22212rrrrrvvvvpvvfvtrrrr其中：其中：2222211rrrrrz ,rzvvvvrrz 则有：则有：222222221112rrrrrzrrrrrvvvvvvpvvftrrzrrvvvvvrrrrrzrr 10pr 39其余类似，所以其余类似，所以N-S方程可简化为：方程可简化为：1010110zprprvprzrrr (1)(3)(2)由（由（1）、（）、（2）知：）知：p=p(z)，又，又 zzvvr则有：则有：11zdvddprr drdrdz(4)上式左、右两边分别为上式左、右两边分别为r和和z的函数，则必有

31、：的函数，则必有：dpconstdz40arzo故（故（4）式积分得：）式积分得： 2121ln4zdp rvrCrCdz边界条件：边界条件：,00,zzravrv有限值12204Cdp aCdz 2214zdpvrardz 速度分布为抛物线分速度分布为抛物线分布，此种流动称为泊布，此种流动称为泊肃叶流动。肃叶流动。41三、旋转同心圆管间的粘性层流流动三、旋转同心圆管间的粘性层流流动i0rir0o 在两个半径分别为在两个半径分别为 的同心圆管的管壁之间有不可压的同心圆管的管壁之间有不可压缩粘性流体，设管长比管径大得多，若两管各以角速度缩粘性流体，设管长比管径大得多，若两管各以角速度 绕管轴旋转

32、，则因粘性作用，管壁间的流体将被诱导而作圆绕管轴旋转，则因粘性作用，管壁间的流体将被诱导而作圆周层流运动。忽略质量力，且设周层流运动。忽略质量力，且设Z方向无压差作用，将柱坐标方向无压差作用，将柱坐标系的坐标原点取在管轴上，系的坐标原点取在管轴上，Z轴取管轴方向。轴取管轴方向。0,ir r0,i 流动特点：流动特点：0,rzvv vvr 0,0,0,rzconsttfffpp r42将上述流动特点分别代入将上述流动特点分别代入 方向上的方向上的N-S方程得：方程得：, r22110vdprdrdvvdrr drdrr (1)(2)由（由（2）式得：）式得：210dvvdrr drdrr（3）式

33、可改写成：）式可改写成：22210d rvd vdvvdvvdddrr drrdrdrrdrrdr(3)(4)对（对（4）式进行两次积分得：）式进行两次积分得：430d rvddrrdr(4)积分得：积分得：1d rvCrdr2112rd rvC rdrC d 2122122rrvCCCrvrCr边界条件：边界条件：00 0,ii irrvrrrvr220 01220220202202i iiiiirrCrrCr rrr 44 222200 002201ii iiir rvrrrrrrr(7-17)这就是管壁间流体运这就是管壁间流体运动速度的分布规律。动速度的分布规律。将上式代入简化了的将上式

34、代入简化了的N-S方程后可得：方程后可得：2244222222000 000 00232202iii iii iiir rr rdprrrrrdrrrrr将上式积分后得：将上式积分后得： 222222220 0000 024422200022ln22i iiii iiiirrrr rrrrp rCr rrrr45 以上三例特点表明：流动为平行流时，惯性项将不以上三例特点表明：流动为平行流时，惯性项将不出现，出现，N-S方程可简化为线性微分方程，故可积分求出其方程可简化为线性微分方程，故可积分求出其准确解。准确解。几个常用公式：几个常用公式：rrrrvvvr rrr2211rrrvvdvdrrrrr drdr2221rrrrrrrvvvvvvrrrrrrrrr r46作业：作业：7-27-47-5