1、15.3抛物线,高考数学,1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.当Fl时,是过F且和l垂直的直线;当F?l时,是抛物线.,知识清单,拓展延伸1.点P(x0,y0)和抛物线y2=2px(p0)的关系(1)P在抛物线内(含焦点)?2px0.2.焦半径:抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F的距离称作焦半径,记作r=|PF|.(1)y2=2px(p0),r=x0+?;(2)y2=-2px(p0),r=-x0+?;(3)x2=2py(p0),r=y0+?;(4)x2=-2py(p0),r=-y0+?.,求抛物线方程的方法1.利用待定系数法求抛物线的方程对于对称轴
2、确定,开口方向也确定的抛物线,先依据抛物线的几何性质确定出抛物线方程的形式:y2=2px(p0),或y2=-2px(p0),或x2=2py(p0),或x2=-2py(p0),然后采用待定系数法确定焦参数p,从而求出其标准方程.对于对称轴确定,而开口方向不确定的抛物线:a.当焦点在x轴上时,可将抛物线方程设为y2=ax(a0);b.当焦点在y轴上时,可将抛物线方程设为x2=ay(a0).2.利用直接法求抛物线的方程,即直接利用题中的已知条件确定参数p.,方法技巧,3.利用定义法求抛物线的方程先判定所求点的轨迹是抛物线,再求出方程.例1(2016江苏赣榆高级中学)已知双曲线C1:?-?=1(a0,
3、b0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为.,解析双曲线?-?=1的离心率为2,?=2,即?=?=4,?=?.抛物线x2=2py(p0)的焦点坐标为?,双曲线?-?=1(a0,b0)的渐近线方程为y=?x,即y=?x.由题意得?=2,p=8.故C2:x2=16y.,答案x2=16y,抛物线定义的理解抛物线的定义可以从以下几个方面理解、掌握:(1)抛物线的定义还可叙述为“平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离的比等于1的点的轨迹”.(2)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点M(M在抛物线上);一个定点F(抛
4、物线的焦点);一条定直线l(抛物线的准线);一个定值1(点M与定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于1).(3)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性,故二者可相互转化,这一转化在解题中有着重要作用.例2已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,若点A(3,2),则|PA|+|PF|取最小值时,点P的坐标为.,解析将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=?.?2,点A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线l:x=-?的距离为d,则由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PAl时,|PA|+d取得最小值,最小值为?,?即|PA|+|PF|的最小值为?,此
5、时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,点P的坐标为(2,2).,答案(2,2),抛物线的最值问题1.具备定义背景的最值问题,可用定义转化为几何问题来处理.2.解决最值问题的常用方法是由条件建立目标函数,然后利用函数求最值的方法进行求解,如利用二次函数在闭区间上最值的求法,利用函数的单调性等.3.常见题型及处理方法(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离,可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离,再利用函数求最值的方法求解,亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时,两直线间的距离问题求解.,(2)求抛物线上一点到定点的距离的最值问题,可以利用两点间的距离公式表示出所求距离,再利用函数求最值的方法求解.要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围.4.此类问题应注意抛物线几何性质的应用,尤其是范围的应用.如:y2=2px(p0),则x0,yR.例3已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是.,解析由题意知,抛物线的焦点为F(1,0),设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1,易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为? =? ,所以d+|PF|-1的最小值为?-1.,答案?-1,
