1、第六节 抛 物 线 本节主要包括 2 个知识点： 1. 抛物线的定义及其应用； 2. 抛物线的标准方程及性质 . 突破点 (一 ) 抛物线的定义及其应用 02 突破点 (二 ) 抛物线的标准方程及性质 课时达标检测 03 01 01 突破点（一） 抛物线的定义及其应用 基础 联通 抓主干知识的 “ 源 ” 与 “ 流 ” 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F ) 的_ 的点的轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的 ，直线 l 叫做抛物线的 距离相等焦点 准线 考点 贯通 抓 高考命题的 “ 形 ” 与 “ 神 ” 利用抛物线的定义求解距离问题 例 1 ( 1)
2、 ( 2018 盐城模拟 ) 若点 A 的坐标为 ( 3,2 ) ， F 是抛物线 y2 2 x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使 | MF | | MA |取得最小值的 M 的坐标为 _ ( 2) 已知 M 是抛物线 x2 4 y 上一点， F 为其焦点，点 A在圆 C ： ( x 1)2 ( y 5)2 1 上，则 | MA | | MF |的最小值是_ ( 3) 已知直线 l1： 4 x 3 y 6 0 和直线 l2： x 1 ，抛物线 y2 4 x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 _ 解析 ( 1) 过 M 点作准线的垂线，垂足是 N ( 图略 ) ，则
3、| MF | | MA | | MN | | MA |，当 A ， M ， N 三点共线时， | MF | | MA |取得最小值，此时 M ( 2,2) ( 2) 依题意，由点 M 向抛物线 x2 4 y 的准线 l ： y 1 引垂线，垂足为 M1( 图略 ) ，则有 | MA | | MF | | MA | | MM1|，结合图形可知 | MA | | MM1|的最小值等于圆心 C ( 1 ， 5) 到 y 1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 6 1 5 ，因此 | MA | | MF |的最小值是 5. ( 3) 由题可知 l 2 ： x 1 是抛物线 y2 4 x 的准线，设抛物
4、线的焦点为 F ( 1,0) ，则动点 P 到 l 2 的距离等于 | PF |，则动点 P到直线 l 1 和直线 l 2 的距离之和的最小值，即焦点 F 到直线 l 1 ：4 x 3 y 6 0 的距离，所以最小值是|4 0 6|5 2. 答案 ( 1) ( 2,2 ) ( 2) 5 ( 3) 2 焦点弦问题 焦点弦的常用结论 以抛物线 y2 2 px ( p 0) 为例，设 AB 是抛物线的过焦点的一条弦 ( 焦点弦 ) ， F 是抛物线的焦点， A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， A ， B 在准线上的射影为 A1， B1，则有以下结论： ( 1) x1x2p24，
5、y1y2 p2； ( 2) 若直线 AB 的倾斜角为 ，则 | AF |p1 c os ， | BF |p1 c os ； (3) | AB | x1 x2 p 2 psin2( 其中 为直线 AB 的倾斜角 ) ，抛物线的通径长为 2 p ，通径是最短的焦点弦； (4) S A OBp22sin ( 其中 为直线 AB 的倾斜角 ) ； (5)1| AF |1| BF |2p为定值； (6) 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； (7) 以 AF ( 或 BF ) 为直径的圆与 y 轴相切； (8) 以 A1B1为直径的圆与直线 AB 相切，切点为 F ， A1FB1 90 ； (9)
6、A ， O ， B1三点共线， B ， O ， A1三点也共线 例 2 已知过抛物线 y2 2 px ( p 0) 的焦点，斜率为 2 2 的直线交抛物线于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2)( x1 x2) 两点，且 | AB | 9. ( 1) 求该抛物线的方程； ( 2) O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 OC OA OB ，求 的值 解 ( 1) 由题意得直线 AB 的方程为 y 2 2 ?x p2，与y2 2 px 联立，消去 y 有 4 x2 5 px p2 0 ，所以 x 1 x 2 5 p4. 由抛物线定义得 | AB | x 1 x 2 p 5 p4 p 9 ，所以 p 4 ，从而该抛物线的方程为 y2 8 x .
