1、 5.2 平面向量的数量积 高考数学 一、平面向量的数量积 知识清单 二、向量数量积的性质 设 a、 b都是非零向量 ,是 a与 b的夹角 ,则 (1)a b? ab=0 . (2)当 a与 b同向时 ,ab= |a|b| ; 当 a与 b反向时 ,ab= -|a|b| . 特别地 ,aa= |a|2 . (3)cos = . 三、平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ab= x1x2+y1y2 . | | |abab?拓展延伸 (1)当 a 0时 ,由 ab=0不一定推出 b=0,这是因为对任一个与 a垂直的 向量 b,都有 ab=0. 当 a 0时 ,由
2、 ab=ac也不一定推出 b=c,这是因为由 ab=ac得 a( b-c)=0,则 b=c或 a与 (b-c)垂直 . (2)数量积的运算不满足结合律 ,即 (ab)c不一定等于 a( bc),这是由于 (a b)c表示一个与 c共线的向量 ,a( bc)表示一个与 a共线的向量 ,这两个向 量不一定相等 . 平面向量的夹角与模 1.求向量模的常用方法 :利用公式 |a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量 积的运算 ,即先平方再开方 . 2.求 a与 b的夹角 ,需求得 ab及 |a|,|b|或得出它们的关系 ,并且要注意两向 量夹角的范围 ,不共线的两个向量的数量积大于零说明两向量的夹角为
3、 锐角 ,数量积小于零说明两向量的夹角为钝角 . 例 1 (2017江苏泰州中学摸底 )向量 a=(cos 10 ,sin 10 ),b=(cos 70 ,sin 70 ),则 |a-2b|= . 方法技巧 方法 1 解析 ab=cos 70 cos 10 +sin 70 sin 10 =cos 60 = , 易求得 |a|=|b|=1, 所以 |a-2b|= = = . 1222a 4 b 4 ab? ? ?1 4 2? 3答案 3例 2 设 a,b为两个非零向量 ,且满足 |a|+|b|=2,2ab=a2b2,则向量 a,b的夹角 的最小值为 . 解析 设 a与 b的夹角为 ,则 ab=|
4、a|b|cos . 由 2ab=a2b2=|a|2| b|2,得 cos = . 而 |a|b| =1(当且仅当 |a|=|b|时“ =”成立 ), 所以 cos ,因为 0 ,所以 , 故向量 a,b夹角的最小值为 . | | |2ab2| | | |2ab?12 3?3?答案 3?平面向量的综合应用 1.解决平面向量综合应用问题最基本的策略就是利用平面向量的定义 和运算法则将问题转化为熟知的数学问题来解决 ,转化时要准确 . 2.对于平面向量与三角函数、几何等的综合应用问题 ,坐标化是最基本 的方法 ,应该熟练掌握平面向量的坐标运算 ,这是进行灵活转化的基础 . 例 3 (2013天津 ,
5、12,5分 )在平行四边形 ABCD中 ,AD=1, BAD=60 ,E为 CD的中点 .若 =1,则 AB的长为 . AC? BE?方法 2解析 由题意可知 , = + , =- + . 因为 =1,所以 ( + ) =1. 即 + - =1. 因为 | |=1, BAD=60 , 所以 = | |, 因此式可化为 1+ | |- | |2=1. 解得 | |=0(舍去 )或 , 所以 AB的长为 . AC? AB? AD? BE? 12 AB? AD?AC? BE? AB? AD? 12 AB AD?2AD? 12 AB? AD? 122AB?AD?AB? AD? 12 AB?14 AB? 12 AB?AB? 1212答案 12例 4 (1)已知 ABC为等边三角形 ,AB=2.设点 P,Q满足 = , =(1- ) , R.若 =- ,则 = . (2)(2017江苏丹阳期中 ,12)在平面直角坐标系中 ,A(0,0),B(1,2)两点绕定 点 P顺时针方向旋转 后 ,分别到 A (4,4),B (5,2)的位置 ,则 cos 的值为 . AP? AB? AQ?AC? BQ? CP? 32
