若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度课件.ppt

1、第二章第二章 静电场静电场 主主 要要 内内 容容电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力1. 电场强度、电通及电场线电场强度、电通及电场线 电场对某点单位电场对某点单位正正电荷的作用力称为该点的电场强度电荷的作用力称为该点的电场强度，以以E 表示表示。 )V/m(qFE 式中式中q 为试验电荷的电量为试验电荷的电量，F 为电荷为电荷q 受到的作用力。受到的作用力。 电场强度通过任一曲面的通量称为电通电场强度通过任一曲面的通量称为电通，以以 表示表示, ,即即 SSE d0d lE电场线电场线方程方程用电场线围用电场线围成成电场管

2、电场管带电平行板带电平行板 负电荷负电荷 正电荷正电荷 几种典型的电场线分布几种典型的电场线分布由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。 2. 真空中静电场方程真空中静电场方程 物理实验表明，真空中静电场的电场强度物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个满足下列两个积分形式的方程积分形式的方程SSE 0d qllE 0d 式中式中0 为真空介电常数。为真空介电常数。左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介

3、电常数曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一任一条闭合曲线条闭合曲线的环量为零。的环量为零。F/m)(10361m)/F(10854187817. 89120根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即即0 E0E左式表明，真空中静电场的电场强度在某左式表明，真空中静电场的电场强度在某点点的散度等于该点的电的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，。右式表明，真空中静电场的电场真空中静电场的电场强度的旋度强度的旋度处处

4、处处为零为零。由此可见，。由此可见，真空中静电场是真空中静电场是有散无旋有散无旋场。场。 已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电场强度理，电场强度E 应为应为 AEVVVV d)( 41)(d)( 41)(|rr |rErA|rr |rEr式中式中xPzyr0Vd)(rrrrVV 0d)(41)(|rr|rr0)(rA将前述结果代入，求得将前述结果代入，求得E因此因此 标量函数标量函数 称为称为电位电位。因此，上式表明真空中静电场在某。因此，上式表明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的点的电场强度等于该点电位梯度

5、的负负值。值。E按照国家标准，电位以小写希腊字母按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为表示，上式应写为将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为VVd4)()(30rrrrrrE 若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密面密度度 S 及及线密度线密度l 的关系分别为的关系分别为SSS 0d|)(41)(|rrrrSSS 30d|)(41)(|rrrrrrEll d)(

6、41)(0|rr|rrllll 30d|)(41)(|rrrrrrE（1 1）高斯定律中的电量高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面应理解为封闭面 S 所包围的全部正所包围的全部正负电荷的总和。负电荷的总和。 静电场特性的进一步认识：静电场特性的进一步认识：（2 2）静电场的电场线是不可能闭合的静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。，而且也不可能相交。（3 3）任意两点之间电场强度任意两点之间电场强度 E 的的线积分与路径无关。真空中线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。的静电场和重力场一样，它是一种保守场。 （4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电

7、场强度，已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。电场强度等三种计算静电场的方法。 例例1 计算点电荷的电场强度。计算点电荷的电场强度。 点电荷点电荷就是指体积为就是指体积为零零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具有的结构具有球对称球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。 取中心位于

8、点电荷的球面为取中心位于点电荷的球面为高斯面高斯面。若点电荷为正电荷，球面。若点电荷为正电荷，球面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律Sq 0dSE上式左端积分为上式左端积分为 SSSErSE 2n 4dd dSeESE得得204rqEr204eErq或或 也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时，点时， 。那么点电荷的电位为。那么点电荷的电位为r|rrrq04)(rrrqrqeE200414求得电场强度求得电场强度 E 为为 rVrrqVre

9、erE20 204d4)(若直接根据电场强度公式（若直接根据电场强度公式（2-2-14），同样求得电场强度），同样求得电场强度E为为 例例2 计算电偶极子的电场强度。计算电偶极子的电场强度。 由前述电位和电场强度的计算公式可由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为应为 rrrrqrqrq000444若观察距离远大于

10、两电荷的间距若观察距离远大于两电荷的间距 l ，则可认为，则可认为 ， 与与 平行，则平行，则rererecoslrr2cos2cos2rlrlrrrx-q+qzylrr-r+O式中式中l 的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积 q l 为电偶为电偶极子的极子的电矩电矩，以，以 p 表示，即表示，即lpq)(4cos42020rrqlrqel求得求得20204cos4rprrep那么电偶极子产生的电位为那么电偶极子产生的电位为 sin11rrrEreee30304sin2cosrprpreeE利用关系式利用关系式 ，求得电偶极子的电场强度为，求得电

11、偶极子的电场强度为 上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。这些特点有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。 例例3 设半径为设半径为a，电荷体密度为，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。计算该带电圆柱体内外的电场强度。 xzyaLS1 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，

12、令 z 轴为圆柱的轴线。轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上值，上下均匀无限长，因此场量与下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无关。对坐标无关。对于任一于任一 z 为常数的平面，上下是对称的，因为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于此电场强度一定垂直于z 轴，且与径向坐标轴，且与径向坐标 r 一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度点，场强一定与角度 无关。无关。 取半径为取半径为 r ，长度为，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯

13、定律高斯定律 Sq 0dSE 因电场强度方向处处与圆柱侧面因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为rLESESESSS2ddd11 SE当当 r a 时，则电量时，则电量q 为为 , , 求得电场强度为求得电场强度为 Laq2rraeE022rlreE02 上式中上式中a2 可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为可以看作为位于圆柱轴上线密度为 =a2 的线电荷产生的电场。的线电荷产生的电场

14、。由此我们推出线密度为由此我们推出线密度为 的的无限长线电荷无限长线电荷的电场强度为的电场强度为ll 由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。分计算电位或电场强度，显然不易。 xzyr21r0rrzdzrzere),2,(zrP例例4 求长度为求长度为L，线密度为，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。的均匀线分布电荷的电场强度。 l 令圆柱坐标系的令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷的

15、长轴与线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转对称，场强与方位角结构旋转对称，场强与方位角 无关。无关。因为电场强度的方向无法判断，不能应因为电场强度的方向无法判断，不能应用高斯定律求解其电场强度。只好进行用高斯定律求解其电场强度。只好进行直接积分，计算其电位及电场强度。直接积分，计算其电位及电场强度。 因场量与因场量与 无关，为了方便起见，可令观察点无关，为了方便起见，可令观察点P 位于位于yz平面，即平面，即 ，那么，那么 2lLLd42 2 30|rr |rrEl考虑到考虑到d cscdcot)sincos(csccsc|2rzrzzarrr

16、zeerr|r-rd csccscsincos42 22021rraazreeEl求得求得)cos(cos)sin(sin412120rzlree当长度当长度 L 时，时，1 0，2 ，则，则rlrreeEl00224此结果与此结果与例例3 导出的结果完全相同。导出的结果完全相同。 3. 电位与等位面电位与等位面 静电场中某点的电位，其物理意义是静电场中某点的电位，其物理意义是单位正单位正电荷在电荷在电场力电场力的作的作用下，自该点沿用下，自该点沿任一条任一条路径移至无限远处过程中电场力作的路径移至无限远处过程中电场力作的功功。 应该注意，这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电应该注意，

17、这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电位差，或者说是以位差，或者说是以无限远无限远处作为处作为参考点参考点的电位。原则上，可以任取的电位。原则上，可以任取一点作为电位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值也一点作为电位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值也不同。但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此不同。但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位参电位参考点的选择不会影响电场强度的值考点的选择不会影响电场强度的值。当电荷分布在有限区域时，通。当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。常选择无限远处作为电位参考点，因为

18、此时无限远处的电位为零。qW电位的数学表示电位的数学表示式中式中q 为电荷的电量，为电荷的电量，W 为电场力将电荷为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。推到无限远处作的功。 由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直电场线与等位面一定处处保持垂直。若规。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面

19、分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。可表示电场强度的强弱。 电位相等的曲面称为电位相等的曲面称为等位面等位面，其方程为，其方程为Czyx),(电场线等位面式中常数式中常数 C 等于电位值。等于电位值。E有极分子无极分子4. 介质极化介质极化 导体导体中的电子通常称为中的电子通常称为自由电子自由电子，它们所携带的电荷称为，它们所携带的电荷称为自由自由电荷电荷。介质介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷束缚电荷。 在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化极化。通常，通常，无极无极分子

20、的极化称为分子的极化称为位移位移极化，极化，有极有极分子的极化称为分子的极化称为取向取向极极化。化。 无极分子有极分子Ea 实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场，这种二次电场 Es 又又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到

21、动态平衡，其过程如下图所示。化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。 介介 质质合成场合成场Ea+ Es极极 化化二次场二次场Es外加场外加场Ea 介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以极化强度，以P 表示，即表示，即 VN1iipP式中式中 pi 为体积为体积 V 中第中第 i 个电偶极子的电矩，个电偶极子的电矩，N 为为V 中电偶极子中电偶极子的数目。这里的数目。这里 V 应理解为物理无限小的

22、体积。应理解为物理无限小的体积。 实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度极化强度 P 与介质中的合成电场强度与介质中的合成电场强度 E 成正比，即成正比，即EPe0式中式中e 称为称为极化率极化率，它是一个正实数。，它是一个正实数。 由上可见，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。由上可见，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化率与电场率与电场方向方向无关，这类介质称为无关，这类介质称为

23、各向同性各向同性介质。有些介质并不是这介质。有些介质并不是这样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度 P 与电场与电场强度强度 E 的关系可用下列矩阵表示的关系可用下列矩阵表示 zyxzyxEEEPPP 33e32e31e23e22e21e13e12e11e0这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，这类介质称为

24、电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性各向异性介质。介质。 空间各点极化率相同的介质称为空间各点极化率相同的介质称为均匀均匀介质，否则，称为介质，否则，称为非均匀非均匀介介质。质。极化率与时间无关的介质称为极化率与时间无关的介质称为静止静止媒质，否则称为媒质，否则称为运动运动媒质。媒质。 介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。 因此，若极化率是一个因此，若极化率是一个正实常数正实常数，则适用于，则适用于线性均匀且各向同性线性均匀

25、且各向同性的介质。若前述的介质。若前述矩阵矩阵的各个元素都是一个的各个元素都是一个正实常数正实常数，则适用于，则适用于线性均线性均匀各向异性匀各向异性的介质。的介质。 极化率与电场强度的极化率与电场强度的大小无关大小无关的介质称为的介质称为线性线性介质，否则，称介质，否则，称为为非线性非线性介质。介质。各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？ 发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质是不均匀的，则极

26、化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷极化电荷。可以证明可以证明这些极化电荷产生的电位为这些极化电荷产生的电位为 VVSd|)(41|d)(41)( 0 0rrrPrrSrPr式中式中 为极化强度，它与极化电荷的关系为为极化强度，它与极化电荷的关系为 )(rP 由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表面束缚电荷是等值异性的面束

27、缚电荷是等值异性的。 n)()(erPrS)()(rPr右式又可写为积分形式右式又可写为积分形式Sq dSP 5. 介质中的静电场方程介质中的静电场方程 在介质内部，穿过任一闭合面在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为的电通应为式中式中 q 为闭合面为闭合面 S 中的自由电荷，中的自由电荷， 为闭合面为闭合面S 中的束缚电荷。那么中的束缚电荷。那么 q)(1d 0 qqSSEqS 0d)( SPE令令 ，求得，求得PED0qS d SD此处定义的此处定义的 D 称为称为电位移电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的的通量等于该闭

28、合面包围的自由自由电荷，而与束缚电荷无关。上式又电荷，而与束缚电荷无关。上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微分形式为分形式为 D 介质中介质中微分形式的高斯定律表明，微分形式的高斯定律表明，某某点点电位移的散度等于该电位移的散度等于该点点自由自由电荷的体密度电荷的体密度。 电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该点电位移的方向，这些曲线称为点电位移的方向，这些曲线称为电位移线电位移线。若规定电位移线组成的。若规定电位移线组成的相邻的通量管中电

29、位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可表示电位移的大小。值得注意的是，表示电位移的大小。值得注意的是，电位移线起始于正的自由电荷，电位移线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关。 已知各向同性介质的极化强度已知各向同性介质的极化强度 ，求得，求得 EPe0EEED)1 (e0e00令令 ，)1 (e0式中式中 称为介质的介电常数。已知极化率称为介质的介电常数。已知极化率 e 为正实数，因此，一为正实数，因此，一切介质的介电常数均切介质的介电常数均大于大于真空的介电常数。真空的介电

30、常数。ED则则 实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常数，以数，以 r 表示，其定义为表示，其定义为e0r1可见，任何介质的相对介电常数总是可见，任何介质的相对介电常数总是大于大于1。下表给出了几种介质的。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。相对介电常数的近似值。介介 质质介介 质质空空 气气1.0石石 英英3.3油油2.3云云 母母6.0纸纸1.34.0陶陶 瓷瓷5.36.5有机玻璃有机玻璃2.63.5纯纯 水水81石石 腊腊2.1树树 脂脂3.3聚乙烯聚乙烯2.3聚苯乙烯聚苯乙烯2.6rr各向异性介质的电位移与

31、电场强度的关系可以表示为各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为zyxzyxEEEDDD 333231232221131211此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的方向方向有关。此外，可有关。此外，可以推知均匀介质的介电常数与以推知均匀介质的介电常数与空间坐标空间坐标无关。线性介质的介电常数无关。线性介质的介电常数与电

32、场强度的与电场强度的大小大小无关。静止媒质的介电常数与无关。静止媒质的介电常数与时间时间无关。无关。 对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得qS d SE E此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。 6. 两种介质的边界条件两种介质的边界条件 由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这

33、种变化规律称为静电场的这种变化规律称为静电场的边界条件边界条件。为了方便起见，通常分别讨论。为了方便起见，通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。E2E11324lh 1 2et 为了讨论边界上某点电场强度的为了讨论边界上某点电场强度的切向分量的变化规律，切向分量的变化规律，围绕该点且紧围绕该点且紧贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其长度为长度为l，高度为，高度为h，则，则电场强度沿电场强度沿该矩形曲线的环量为该矩形曲线的环量为 1 4 4 3 3 2 2 1 d d d d d lElElElElEl为了求出

34、边界上的场量关系，必须令为了求出边界上的场量关系，必须令 h 0，则线积分，则线积分 0d d 1 4 3 2 lElE 为了求出边界上某点的场量关系，必须令为了求出边界上某点的场量关系，必须令 l 足够短，以致于在足够短，以致于在l内可以认为场量是均匀的，则上述环量为内可以认为场量是均匀的，则上述环量为 lElEd d dt21t4 3 22 1 1 lElElE式中式中E1t 和和 E2t 分别表示介质分别表示介质和和中电场强度与边界平行的切向分中电场强度与边界平行的切向分量。已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得量。已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得2t1tEE

35、此式表明，此式表明，在两种介质形成的边界上，两侧的在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量电场强度的切向分量相等相等，或者说，或者说，电场强度的切向分量是连续的电场强度的切向分量是连续的。 对于各向同性的线性介质，得对于各向同性的线性介质，得 22t1t 1DD此式表明，此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电位移的切电位移的切向分量是不连续的向分量是不连续的。 hS 为了讨论电位移的法向分量变化规律，为了讨论电位移的法向分量变化规律，在边界上围绕某点作一个圆柱面，其高度在边界上围绕某点作一个圆柱面，其高度为为h，端面为，端面为S。那么根

36、据介质中的高那么根据介质中的高斯定律，得知电位移通过该圆柱面的通量斯定律，得知电位移通过该圆柱面的通量等于圆柱面包围的等于圆柱面包围的自由电荷自由电荷，即，即Sq dSDD2D1令令 h 0 ，则通过侧面的通量为零，又考虑到，则通过侧面的通量为零，又考虑到 S 必须足够小，必须足够小，则上述通量应为则上述通量应为SSDSD 1n2ndSD式中式中D1t 及及 D2t 分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。边界法线的方向边界法线的方向 en 规定为由介质规定为由介质指向介质指向介质。 1 2ensSqDD1n2n求得求得式中式中 s 为边界上

37、存在的表面自由电荷的面密度。考虑到在两种介质为边界上存在的表面自由电荷的面密度。考虑到在两种介质形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此2n1nDD此式表明，此式表明，在两种介质边界上在两种介质边界上电位移的法向分量相等电位移的法向分量相等，或者说，或者说，电电位移的法向分量是连续的位移的法向分量是连续的。 对于各向同性的线性介质，得对于各向同性的线性介质，得 n221n1EE此式表明，此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电场强度的电场强度的法向分量不连续的法向分量不连续的。 还可导出边界上束缚电

38、荷与电场强度法向分量的关系为还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为 )(n1n20EES7. 介质与导体的边界条件介质与导体的边界条件 静电平衡：静电平衡：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发生当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发生运动，电荷重新分布。由于自由电子逆电场方向反向移动，因此重新运动，电荷重新分布。由于自由电子逆电场方向反向移动，因此重新分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反，使导体中的合成电场分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反，使导体中的合成电场逐渐削弱，一直到导体中的合成电场消失为零，自由电子的运动方才逐渐削弱，一直到导体中的合成电场消失为零，

39、自由电子的运动方才停止，因而电荷分布不再改变，这种状态称为停止，因而电荷分布不再改变，这种状态称为静电平衡静电平衡。 由此可见，导体中不可能存在静电场，导体内部不可能存在自由由此可见，导体中不可能存在静电场，导体内部不可能存在自由电荷的体分布。所以，电荷的体分布。所以，当导体处于静电平衡时，自由电荷只能分布在当导体处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上导体的表面上。因为导体中不可能存在静电场，因此导体中的电位梯。因为导体中不可能存在静电场，因此导体中的电位梯度为零，这就意味着导体中电位不随空间变化。所以，度为零，这就意味着导体中电位不随空间变化。所以，处于静电平衡处于静电平衡状态的导体

40、是一个等位体状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面导体表面是一个等位面。 既然导体中的电场强度为零，导体表面的外侧不可能存在电场强既然导体中的电场强度为零，导体表面的外侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之，度的切向分量。换言之，电场强度必须垂直于导体的表面电场强度必须垂直于导体的表面，即，即0nEe介质E, D导体en 导体表面存在的表面自由电荷面密导体表面存在的表面自由电荷面密度为度为 SDenSE n或写为或写为式中式中 为导体周围介质的介电常数。为导体周围介质的介电常数。 已知导体表面是一个等位面，因已知导体表面是一个等位面，因 ，求得表面电位与电，求得表面电位与电荷的关系为荷的

41、关系为nEnSn 考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得导体表考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得导体表面束缚电荷面密度为面束缚电荷面密度为 SPen 静电屏蔽：静电屏蔽：当当封闭的封闭的导体空腔中没有自由电荷时，即使腔外存在电导体空腔中没有自由电荷时，即使腔外存在电荷，腔中也不可能存在静电场。这就意味着荷，腔中也不可能存在静电场。这就意味着封闭的导体腔可以屏蔽外封闭的导体腔可以屏蔽外部静电场，这种效应称为部静电场，这种效应称为静电屏蔽静电屏蔽。 当然，总电通为零可能是由于闭合面内部当然，总电通为零可能是由于闭合面内部没有电荷，因而没有场；或者因为正负电荷没有电荷，因而没

42、有场；或者因为正负电荷相等，但是这是不可能的。因为电荷只可能相等，但是这是不可能的。因为电荷只可能分布在导体的表面上，若以正负电荷之间任分布在导体的表面上，若以正负电荷之间任一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条闭一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条闭合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合曲线的电场强度的环量不可能为零，这就违曲线的电场强度的环量不可能为零，这就违背了静电场的基本特性。背了静电场的基本特性。此外，显然若腔体接地，位于腔中的电荷也不可能对外产生静电场。此外，显然若腔体接地，位于腔中的电荷也不可能对外产生静电场。 由于导体内部没有静电场，因此若沿

43、腔壁内部作一个闭合曲面，通由于导体内部没有静电场，因此若沿腔壁内部作一个闭合曲面，通过其表面的电通一定为零。过其表面的电通一定为零。 例例 已知半径为已知半径为r1 的导体球携带的正电量为的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径，该导体球被内半径为为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1 ，球壳的外半径为球壳的外半径为 r3 ，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为为r4 ，介电常数为，介电常数为2 ，外部区域为真空，如左下图示。，外部区域为真空，如左下图示。试求：试

44、求：各区域中的电场强度；各区域中的电场强度； 各个表面上的自由电荷各个表面上的自由电荷 和和 束缚电荷。束缚电荷。r1r2r3r4 0 2 1解解 由于结构为球对称，场也是球对称的，由于结构为球对称，场也是球对称的，应用应用高斯定理高斯定理求解十分方便。取球面作为求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。因而也垂直于高斯面。 在在 r r1及及 r2r r3 区域中，因导区域中，因导体中不可能存静电场，所以体中不可能存静电场，所以E = 0。 在在 r1r r2 区域中，由区域中，由 ，得得 Sq dSDr1r2r3r4

45、 0 2 1rrqeE2114rrqeE2224同理，在同理，在 r3r r4 区域中，求得区域中，求得 根据根据 及及 ，可以求得各个表面上的自由，可以求得各个表面上的自由电荷及束缚电荷面密度分别为电荷及束缚电荷面密度分别为SPenSDenr1r2r3r4 0 2 1r = r1:214 rqS0114121n10rSSrqEr = r4:0114)(224n2n004rSrqEE0Sr = r2:2224 rqS011412221n02rSSrqEr = r3:2334 rqS011422332n03rSSrqE8. 电容与部分电容电容与部分电容 由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量

46、由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的与极板间的电位差电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容电容，即电，即电容为容为 UqC 电容的单位电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有电容只有 F。实际中，通常取。实际中，通常取 F （微法）及（微法）及 pF （皮法）（皮法）作为电容单位。作为电容单位。310708. 0F10pF 1 F,10F1126 对于多导体之间的电容计算，需要引入对于多导体之间的电容计算，需要引入部分电容部分电容概念。多导体概念。多导

47、体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。 q1q3qnq2nnnjnnjnnnnnniinjiijiiiiinnkjnnhjCCCCqCCCCqCCCCqCCCCq)()()()()()()()()()()()(2211141222222212212111121121111 此时，各个导体上的电荷与导体间的电

48、位此时，各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为差的关系为式中式中Cii 称为第称为第 i 个导体的个导体的固有部分电容固有部分电容；Cij 称为第称为第 i 个导体与第个导体与第j 个导体之间的个导体之间的互有部分电容互有部分电容。 例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为，外导体的内半径为b，内外导体之，内外导体之间填充介质的介电常数为间填充介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。试求单位长度内外导体之间的电容。 解解 由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又同轴线中电

49、场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。因结构对称，可以应用高斯定律。 ab 设内导体单位长度内的电量为设内导体单位长度内的电量为q，围绕，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面内导体作一个圆柱面作为高斯面S，则，则Sq dSE那么内外导体之间的电位差那么内外导体之间的电位差 U 为为 baabqrEU ln2d因此同轴线单位长度内的电容为因此同轴线单位长度内的电容为 abUqCln2rrqeE29. 电场能量电场能量 已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生运动，这就意味着电场力作了运动，这就意味着电场力作了

50、功功。静电场为了对外作功必须消耗自身。静电场为了对外作功必须消耗自身的能量，可见静电场是具有的能量，可见静电场是具有能量能量的。如果静止带电体在外力作用下由的。如果静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场中，外力必须反抗电场力作功，这部分功将转变无限远处移入静电场中，外力必须反抗电场力作功，这部分功将转变为静电场的能量储藏在静电场中，使静电场的能量增加。由此可见，为静电场的能量储藏在静电场中，使静电场的能量增加。由此可见，根据根据电场力作功电场力作功或或外力作功外力作功与与静电场能量静电场能量之间的转换关系，可以计算之间的转换关系，可以计算静电场能量。静电场能量。 首先根据外力作功与静电场能