全国通用版2019版高考数学大一轮复习第七章立体几何第38讲空间点直线平面之间的位置关系优选学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 38 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲要求 考情分析 命题趋势 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理 . 2017 全国卷 ， 6 2016 北京卷， 6 2016 浙江卷， 2 空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力 . 分值： 5 分 1平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的 ！ _两点 _#在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理 2：过 ！ _不在一条直线上 _#的三点，有且只有一个平面 (3)公理 3：如果两个不重合的平面有 ！ _一个

2、 _#公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 (4)公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论 2：经过两条 ！ _相交 _#直线有且只有一个平面 推论 3：经过两条 ！ _平行 _#直线有且只有一个平面 2空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系 共面直线? ！ _平行 _#，！ _相交 _#； 异面直线：不同在 ！ _任何 _#一个平面内 (2)异面直线所成的角 定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a与 b 所成的 ！ _锐角 (或直角 )_#叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或

3、夹角 ) 范围：！ _? ?0， 2 _#. (3)平行公理：平行于 ！ _同一条直线 _#的两条直线互相平行 (4)定理 ：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ！ _相等或互补_#. 3直线与平面、平面与平面之间的位置关系 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)直线与平面的位置关系有 ！ _相交 _#、 ！ _平行 _#、 ！ _在平面内_#三种情况 (2)平面与平面的位置关系有 ！ _平行 _#、 ！ _相交 _#两种情况 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 ( ) (2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交

4、于点 A，并记作 A.( ) (3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( ) (4)已知 a， b 是异面直线，直线 c平行于直线 a，那么 c与 b不可能是平行直线 ( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线 ( ) 解析 (1)错误当两个平面平行时，把空间分成三个部分 (2)错误由公理 3 知应交于过点 A 的一条直线 (3)错误应相交于直线 BC，而非线段 (4)正确因为若 c b，则由已知可得 a b，这与已知矛盾 (5)错误异面或平行 2若空间三条直线 a， b， c 满足 a b， b c，则直线 a 与 c( D ) A一定平行 B一定相交 C一定是异面直线 D一

5、定垂直 解析 因为 b c， a b，所以 a c，即 a 与 c 垂直 3下列命题正确的个数为 ( C ) 经过三点确定一个平面； 梯形可以确定一个平面； 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 错误， 正确 4已知直线 a 和平面 ， ， l， a? ， a? ，且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是 ( D ) A相交或平行 B相交或异面 C平行或异面 D相交、平行或异面 解析 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面 5如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是

6、AB， AD 的中点，则异面直线 B1C与 EF 所成的角的大小为 ！ _60 _#. 解析 连接 B1D1， D1C，则 B1D1 EF，故 D1B1C 为所求，又 B1D1 B1C D1C， D1B1C60. =【 ;精品教育资源文库 】 = 一 平面的基本性质及应用 用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法 (1)证明点或线共面问题的两种 方法： 首先由所给条件中的部分线 (或点 )确定一个平面，然后再证其余的线 (或点 )在这个平面内； 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合 (2)证明点共线问题的两种方法： 先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； 直接证

7、明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 【例 1】 以下四个命题中，正确命题的个数是 ( B ) 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点 A， B， C， D 共面，点 A， B， C， E 共面，则 A， B， C， D， E 共面； 若直线 a， b 共面，直线 a， c 共面，则直线 b， c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 显然是正确的，可用反证法证明； 中若 A， B， C 三点共线，则 A， B， C， D，E 五点不一定共面； 构造长方体或正方体，如图显然 b，

8、 c 异面，故不正确； 中空间四边形中四条线段不共面故只有 正确故选 B 【例 2】 已知空间四边形 ABCD(如图所示 )， E， F 分别是 AB， AD 的中点， G， H 分别是BC， CD 上的点，且 CG 13BC， CH 13DC.求证： =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)E， F， G， H 四点共面； (2)直线 FH， EG， AC 共点 证明 (1)连接 EF， GH. E， F 分别是 AB， AD 的中点， EF BD. 又 CG 13BC， CH 13DC， GH BD， EF GH， E， F， G， H 四点共面 (2)由 (1)知 FH 与直线 AC 不

9、平行，但共面， 设 FH AC M， M 平面 EFHG， M 平面 ABC. 又 平面 EFHG 平面 ABC EG， M EG. FH， EG， AC 共点 二 空间两条直线的位置关系 判断空间两条直线的位置关系的方法 (1)异面直线，可采用直接法或反证法 (2)平行直线，可利用三角形 (梯形 )中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理 (3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决 【例 3】 如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面

10、直线？说明理由 解析 (1)不是异面直线理由如下： 连接 MN， A1C1， AC. =【 ;精品教育资源文库 】 = M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点， MN A1C1. 又 A1A C1C， 四边形 A1ACC1为平行四边形 A1C1 AC， MN AC， A， M， N， C 在同一平面内， 故 AM 和 CN 不是异面直线 (2)是异面直线证明如下： ABCD A1B1C1D1是正方体， B， C， C1， D1不共面 假设 D1B 与 CC1不是异面直线， 则存在平面 ，使 D1B?平面 ， CC1?平面 ， D1， B， C， C1 ，与 ABCD A1B1C1D1是正

11、方体矛盾 假设不成立，即 D1B 与 CC1是异面直线 三 两条异面直线所成的角 两异面直线所成角的作法及求解步骤 (1)找异面直线所成的角的三种方法： 利用图中已有的平行线平移； 利用特殊点 (线段的端点或中点 )作平行线平移； 补形平移 (2)求异面直线所成的角的三个步骤： 作：通过作平行线，得到相交直线； 证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角； 算：通过解三角形，求出该角 【例 4】 已知正方体 ABCD A1B1C1D1. (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； (2)若 E， F 分别为 AB， AD 的中点，求 A1C1与 EF 所成角的大小 解析 (1)如图所示

12、，连接 B1C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 ABCD A1B1C1D1是正方体， 易知 A1D B1C，从而 B1CA(或其补角 )就是 AC 与 A1D 所成的角 AB1 AC B1C， B1CA 60 ， 即 A1D 与 AC 所成的角为 60. (2)如图所示，连接 AC， BD，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AC BD， AC A1C1. E， F 分别为 AB， AD 的中点， EF BD. EF AC. EF A1C1， 即 A1C1与 EF 所成的角为 90. 1下列命题中正确的个数是 ( A ) 过异面直线 a， b 外一点 P 有且只有一个平面与 a，

13、 b 都平行； 异面直线 a， b 在平面 内的射影相互垂直，则 a b； 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； 直线 a， b 分别在平面 ， 内，且 a b，则 . A 0 B 1 C 2 D 3 解析 对于 ，当点 P 与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点 P 且与两条异面直线都平行的平面，故 错误；对于 ，在如图 1 所示的三棱锥 P ABC 中， PB 平面 ABC， BA BC，满足 PA， PC 两边在底面的射影相互垂直 ，但 PA与 PC 不垂直，故 错误；对于 ，在如图 2 所示的三棱锥 P ABC 中， AB BC AC

14、 PA 2，PB PC 3，满足底面 ABC 是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥 P ABC 不是正三棱锥，故 错误；对于 ，直线 a， b 分别在平面 ， 内，且 a b，则 ， 可以平行，故 错误所以正确命题的个数为 0.故选 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 2如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱DD1上运动，点 N 在正方体的底面 ABCD 内运动，则 MN 的中点 P 的轨迹的面积是 ( D ) A 4 B C 2 D 2 解析 连接 DN，则 MDN 为直角三角形，在 Rt MDN 中， MN 2， P 为 MN 的中点，连接DP，则 DP 1，所以点 P 在以 D 为球心， 1 为半径的球面上，又因为点 P 只能落在正方体上或其内部，所以点 P 的轨迹的面积