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1、第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法4.1 时间序列与时序分析时间序列与时序分析4.2 移动平均法移动平均法4.3 指数平滑法指数平滑法4.4 季节指数法季节指数法4.5 时间序列分解法时间序列分解法思考与练习思考与练习 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法4.1 时间序列与时序分析时间序列与时序分析所谓时间序列,是指观察或记录到的一组按时间顺序排列的数据,经常用X1, X2, , Xt, Xn表示。不论是经济领域中某一产品的年产量、月销售量、工厂的月库存量、某一商品在某一市场上的价格变动等,或是社

2、会领域中某一地区的人口数、某医院每日就诊的患者人数、铁路客流量等,还是自然领域中某一地区的温度、月降雨量,等等,都形成了时间序列。所有这些序列的基本特点就是每一个序列包含了产生该序列的系统的历史行为的全部信息。 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法问题在于如何才能根据这些时间序列,比较精确地找出相应系统的内在统计特性和发展规律,尽可能多地从中提取我们所需要的准确信息。用来实现上述目的的整个方法称为时间序列分析,简称时序分析。时序分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法,是统计学科的一个分支。其基本思想是根据系统有限长度的运行记录（观察数据）,建立能够比较精确地

3、反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型,并借以对系统的未来行为进行预报。时序分析具有以下3个特点。第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法(1) 时序分析是根据预测目标过去至现在的变化趋势预测未来的发展,它的前提是假设预测目标的发展过程规律性会继续延续到未来,即以惯性原理为依据。 (2) 时间序列数据的变化存在着规律性与不规律性。时间序列中每一时期的数据,都是由许多不同的因素同时发生作用的综合结果。通常根据各种因素的特点或影响效果可将这些因素分为四类。第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法 长期趋势（T）。长期趋势是指由于某种关键因素的影响,时间序列在较

4、长时间内连续不断地向一定的方向持续发展（上升或下降）,或相对停留在某一水平上的倾向,反映了事物的主要变化趋势,是事物本质在数量上的体现。它是分析预测目标时间序列的重点。 季节变动（S）。季节变动是指由于自然条件和社会条件的影响,时间序列在某一时期依一定周期规则性地变化。它一般归因于一年内的特殊季节、节假日,典型的如农产品的季节加工,化肥、空调、服装、某些食品的销售等。 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法 循环变动（C）。循环变动是指变动以数年为周期,而变动规律是波动式的变动。它与长期趋势不同,不是朝单一方向持续发展,而是涨落相间的波浪式起伏变动。它与季节变动也不同,它的波

5、动时间较长,变动周期长短不一。市场经济条件下由于竞争,出现一个经济扩张时期紧接着是一个收缩时期,再接下来又是一个扩张时期等变化,通常在同一时间内影响到大多数经济部门,如对农产品的需求量,住宅建筑的需求量,汽车工业的发展,资本主义国家经济危机的变化周期等。这种循环往往是由高值到低值,再回到高值的波浪型模式。 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法 不规则变动（I）。不规则变动是指各种偶然性因素引起的变动。不规则变动又可分为突变和随机变动。所谓突变,是指诸如战争、自然灾害、意外事故、方针政策等的改变所引起的变动；随机变动是指由于各种随机因素所产生的影响。上述各类影响因素的共同作用

6、,使时间序列数据发生变化,有的具有规律性,如长期趋势变动和季节性变动；有些就不具有规律性,如不规则变动以及循环变动（从较长的时期观察也有一定的规律性,但短时间的变动又是不规律的）。所谓时间序列分析法,就是要运用统计方法和数学方法,把时间序列数据分解为T、S、C、I四类因素或其中的一部分,据此预测时间序列的发展规律。第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法(3) 时间序列是一种简化。在采用时间序列预测方法时,假设预测对象的变化仅仅与时间有关,根据它的变化特征，以惯性原理推测其未来状态。事实上,预测对象与外部因素有着密切而复杂的联系。时间序列中的每一个数据都是许多因素综合作用的结果

7、,整个时间序列则反映了外部因素综合作用下预测对象的变化过程。因此,预测对象仅与时间有关的假设,是对外部因素复杂作用的简化,这种简化使预测更为直接和简便。 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法4.2 移动平均法4.2.1 一次移动平均法一次移动平均法是在算术平均法的基础上加以改进的。其基本思想是,每次取一定数量周期的数据平均,按时间顺序逐次推进。每推进一个周期时,舍去前一个周期的数据,增加一个新周期的数据,再进行平均。设Xt为t周期的实际值,一次移动平均值 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法其中N为计算移动平均值所选定的数据个数。第t+1期的预测值取为例

8、4.1 某市汽车配件销售公司某年1月(份)12月(份)的化油器销售量的统计数据如表4.1中第二行所示,试用一次移动平均法,预测下一年1月(份)的销售量。 NXNXXXNMNiitNtttt1011)1(.)()()1(1NMXtt （4.1） （4.2） 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法解 分别取N=3和N=5,按预测公式计算3个月和5个月移动平均预测值。见表4.1,预测图如图4.1所示。 5)5()5(3) 3() 3(4321)1(121)1(1ttttttttttttXXXXXMNMXXXMNM第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法表4.1 化油

9、器销售量及移动平均预测值表(单位：只) 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法由图4.1可以看出,实际销售量的随机波动较大,经过移动平均法计算后,随机波动显著减少,而且求取平均值所用的月数越多,即N越大,修匀的程度越强,波动也越小。但是在这种情况下,对实际销售量的变化趋势反应也越迟钝。反之,N取得越小,对销售量的变化趋势反应越灵敏,但修匀性越差,容易把随机干扰作为趋势反映出来。因此,N的选择甚为重要,N应该取多大,应根据具体情况做出选择。当N等于周期变动的周期时,则可消除周期变化的影响。第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法图4.1 化油器销售量及移动平均预

10、测值0246810123.64.04.44.85.2实际销售量三期移动平均预测五期移动平均预测销售量 / 102只月份第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法在实用中,一般用对过去数据预测的均方误差S来作为选取N的准则。当N=3时, 当N=5时,86.1591711143)(7133.3210928893)(9112621242ttttttXXSXXS第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法计算结果表明： N=5时,S较小,所以选取N=5。预测下年1月(份)的化油器销售量为452只。在使用一次移动平均法时,应注意如下两点： (1) 一次移动平均法一般只适应于平稳

11、模式。当被预测的变量的基本模式发生变化时， 一次移动平均法的适应性比较差。 (2) 一次移动平均法一般只适用于下一时期的预测。典型例子之一是生产经理要根据某一品类中的几百种不同产品的需求预测来安排生产。在许多相同的情况下,所需要的是一种很容易使用到每一个项目上去并能提供良好预测值的方法,移动平均法就是这样一种方法。第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法4.2.2 二次移动平均法前面已讲过,当预测变量的基本趋势发生变化时,一次移动平均法不能迅速地适应这种变化。当时间序列的变化为线性趋势时,一次移动平均法的滞后偏差使预测值偏低,不能进行合理的趋势外推。例如,线性趋势方程为这里,a

12、,b是常数。当t增加一个单位时间时,Xt的增量 Xt+1-Xt=a+b(t+1)-a-bt=b因此,当时间从t增加至t+1时, Xt+1的值为a+b(t+1),如采用一次移动平均法计算,其预测值是 btaXt第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法由此有2) 1(.111bNbtaNXXXXNtttt2) 1(2) 1(11bNbNbtabbtaXXtt第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法从以上推导可以看出,每进行一次移动平均,得到的新序列就比原序列滞后b(N+1)/2。也就是说,二次移动平均值低于一次移动平均值的距离,等于一次移动平均数值低于实际值的距离。

13、因此就有可能用如下方法进行预测： 将二次移动平均数与一次移动平均的距离加回到一次移动平均数上去以作为预测值。如此改动后进行预测的结论将更加准确。 时间序列 X1,X2,Xt的一次移动平均数为 NXXXMNtttt11)1(.第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法序列X1,X2,Xt的二次移动平均数定义为 下面讨论如何利用移动平均的滞后偏差建立直线趋势预测模型。设时间序列Xt从某时期开始具有直线趋势,且认为未来时期也按此直线趋势变化,则可设此直线趋势预测模型为 NMMMMNtttt)1(1)1(1)1()2(. (4.3) TbaXttTt (4.4) 第第4章章 确定型时间序

14、列预测方法确定型时间序列预测方法其中,t为当前的时期数；T为由t至预测期的时期数,T=1,2,；at为截距,bt为斜率,两者又称为平滑系数。运用移动平均值来确定平滑系数,计算公式如下： 1)(22)(.)2()1()2()1()2()1()1()1(1)1(1)1()2(11)1(NMMbMMMMMaNMMMMNXXXMtttttttttNttttNtttt (4.5) 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法由此,我们将式（4.5）代入到式（4.4）中去,便可求出 ,从而进行预测。二次移动平均法不仅能处理预测变量的模式呈水平趋势时的情形,同时又可应用到长期趋势（线性增长趋势）

15、甚至于季节变动模式上去。这是它相对于一次移动平均法的优点之所在。一次移动平均法的预测模型是直线方程（一次方程）,当实际值的变化趋势为二次或更高次多项式时,就要用三次或更高次的移动平均法,但此时可用其它更好的方法来做。这里就不再对更高次的移动平均法作讨论了。TtX第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法4.3 指数平滑法4.3.1 一次指数平滑法设X0, X1, Xn为时间序列观察值,S(1) 1, S (1) 2, , S(1)n为时间t的观察值的指数平滑值, 则一次指数平滑值为 S(1)t=Xt+(1-)Xt-1+(1-) 2Xt-2+ (4.6)式中, 为平滑系数,115时

16、,取S(1) 0 = S(2)0 =X0; 当n15时,取最初几个数据的平均值作为初始值。一般取前35个数据的算术平均值, 如取亦可用最小二乘法或其它方法对前几个数据进行拟合,估计出a0、b0,再根据a0和b0的关系式计算初始值。以二次指数平滑法参数的估计公式为例,由式（4.15）和（4.16）可解得00)2(00)1()1 (2;)1 (baaaSbaaaStt（4.18） 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法代入t = 0,得 用最小二乘法估计a0、b0,代入上式就可得到二次指数平滑法的初始值。如果没有足够的资料可供利用,上述两种方法就不能应用。惟一的办法或是等待某些数

17、值变为可用的数值,或是硬性规定具有某种意义的初始值,并立即进行估计。如可采用下述方法： 对一次指数平滑法,S (1) 0=X0；对二次指数平滑法,00)2(000)1(0)1 (2;)1 (baaaSbaaaS第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法4.3.3 讨论在使用一次指数平滑法时,与使用一次移动平均法一样要注意到： 数据应是相当平稳的,即其基本模式应是水平模式； 数据的基本模式发生变化时,这两种方法都不能很快地适应这种变化。然而,一般来讲,一次指数平滑法的预测效果不比一次移动平均法差,而且一次指数平滑法计算时的存储量小,所以一般宁可使用一次指数平滑法。 2)()(,23

18、010000)1(0)2(0XXXXbXaXSS第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法二次指数平滑法与二次移动平均法类似,它能处理水平模式的数据,也能处理长期趋势模式。与一次指数平滑法类似,二次指数平滑法的预测效果也不比二次移动平均法差,而且它的计算和存储量也要小得多。但无论是指数平滑法还是移动平均法,它们都还没有一个很好的办法来确定N或,而且它们均属于非统计的方法,难以使用确切的术语来加以评价。一次指数平滑法能处理水平模式,二次指数平滑法能处理线性变化的长期趋势模式。完全类似地,平滑的三次以及更高次形式也就可能发展并用于预测二次的或更为复杂的模式上去。第第4章章 确定型时间

19、序列预测方法确定型时间序列预测方法用这种方法预测,需要很繁琐的计算。而且由于需要首先知道数据的实际模式,也使得这些高次形式难以应用。正因为如此,加之还有其它的预测方法也能用以迅速处理这些复杂模式,所以比二次指数平滑法更高次的平滑方法实际上就很少应用了。平滑方法最初由Holt（1957）及Brown（1956）提出,基本上在1960年前后开始发展起来，其后得到了非常广泛的应用,特别是在投资预测领域。至此,我们已经对指数平滑法的一般计算程序和主要技术环节有了一个全面的了解。图4.2表示了指数平滑法的一般工作流程。 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法图4.2 指数平滑法工作流程

20、输入时间序列数据选取平滑预测模型确定初始值)1(0S确定权系数预测计算预测分析输出预测结果分析原因：的选择；模型选择；其它原因选择其它模型第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法4.4 季节指数法这些现象在一年内随着季节的转变而引起周期性变动。这种变动往往具有两种特点： (1) 统计数据呈现以月、季为周期的循环变动。(2) 这种周期性的循环变动,并不是简单的循环重复,而是从多个周期的长时间变化中又呈现出的一种发展趋势。季节指数预测法（又称季节性变动预测法）是指经济变量在一年内以季（月）的循环为周期特征,通过计算销售量（或需求量）的季节指数达到预测目的的一种方法。第第4章章 确定

21、型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法季节指数预测法的操作过程：首先分析判断时间序列观察数据是否呈季节性波动。通常,可将35年的资料按月或按季展开,绘制历史曲线图,以观察其在一年内有无周期性波动来作出判断；然后,再将各种因素结合起来考虑,即考虑它是否还受长期趋势变动的影响,是否受随机变动的影响等。例4.3 某商店按季统计的3年12个季度冰箱的销售额资料如表4.3所示。 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法表4.3 某商店12个季度空调销售额资料 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法下面分是否考虑长期趋势两种情况进行分析。1. 不考虑长期趋势的季节指数法

22、计算方法及步骤如下： 已知资料如表4.3所示,且知在2004年第2季度该商店空调的销售额为420万元,试预测第3、4季度的销售额。1) 计算历年同季（月）的平均数假设历年同季平均数为ri, i=1,2,3,4。3年（n=3）共有12个季度,其时间序列表示为y1, y2, , y12,那么 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法对本例,).(1).(1)4(844)34(511nnyyynryyynr67.307)348309266(3167.262)272251265(3141rr第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法2) 计算各年的季平均值假设以 表示第t

23、年的季（月）平均值,t=1,2,n,那么各年季（月）平均值的计算公式为ty).(1)(41).(1)4(8487652)34(511nnnyyynyyyyyyyyyny第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法对本例,25.363)348396272(41326)309374370251(4125.309)266333373265(4121nyyy第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法3) 计算各季（月）的季节指数（i)以历年同季（月）的平均数（ri）与全时期的季（月）平均数( )之比为季节指数i, 即i =ri/ ,而因此,本例中各季的季节指数为： yynii

24、yny41419244. 083.33267.307,1047. 183.33267.3671818. 183.33233.393,8494. 083.33267.26222332211yrayrayrayra第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法4) 调整各季（月）的季节指数从理论上讲,各季的季节指数之和应为4,但是由于在实际过程中计算存在误差,使各季的季节指数之和大于（或小于）4,故应予以调整。调整后的季节指数Fi=ik,调整系数k等于理论季节指数之和4与实际季节指数之和i之比。本例调整后的季节指数分别为： 0.8368、1.1642、1.0883、0.9107。 第第4

25、章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法5) 利用季节指数法进行预测假设 为第t月(份)的预测值, t为第t月(份)的季节指数, yi为第i月(份)的实际值, i为第i月(份)的季节指数,则本例中,ty ititaayy )(5 .3281642. 19107. 0420)(6 .3921642. 10883. 14204 .20043 .2004万元万元yy第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法2. 考虑长期趋势的季节指数法长期趋势的季节指数法是指在时间序列观察值资料既有季节周期变化,又有长期趋势变化的情况下,首先建立趋势预测模型,再在此基础上求得季节指数,最后建

26、立数学模型进行预测的一种方法。下面介绍其具体的预测方法及过程（例同上）。(1) 计算各年同季（月）平均数。(2) 计算各年的季（月）平均数（方法同上）。(3) 建立趋势预测模型,求趋势值。根据各年的季（月）平均数时间序列,如呈现长期趋势,如线性趋势,则建立线性趋势预测模型 , 、 可由前面的具体方法求出。根据趋势直线方程求出历史上各季度（月）的趋势值。t bayta b第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法根据表4.4,得 线性趋势方程为 （以年为单位）。27,83.332batyt2783.332第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法表4.4 考虑长期趋势

27、的季节指数法 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法由于方程中的“27”是平均年增长量,若将方程转换为以季为单位,则每季的平均增量为 , 从而求得半个季度的增量为3.375。当t=0时, 表示的趋势值应该是2002年第2季度后半季与第3季度前半季的季度趋势值， 这是跨了“两个季度之半”而形成的非标准季度,所以在确定“标准季度”如2002年第2季度趋势值时,应从332.83中减去半个季度的增量,即2002年第2季度的趋势值应为： 332.83-3.375=329.455；同理,2002年第3季度的趋势值为： 332.83+3.375=336.205。 为了便于计算各季的趋势值,

28、可将时间原点移出2002年第3季度,即以 为基准,逐季递增或递减一个季增量6.75,这时线性趋势方程变为 （以季为单位）。75. 64/0 bb83.332 ty205.336 tytyt75. 6205.336第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法式中t依次取值-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5,可计算出3年内各季的趋势值。(4) 计算出趋势值后,再计算出各年的趋势值的同季平均（计算方法同同季平均）。(5) 计算趋势季节指数。即表4.3中的“同季平均数”与“趋势值同季平均数”之比。为与第一种情况区别,此处的季节指数我们称为趋势季节指数。如第一季度的趋

29、势季节指数为8140. 071.32267.262第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法(6) 对趋势季节指数进行修正（方法同上例）。(7) 求预测值。预测的基本依据是预测期的趋势值乘以该期的趋势季节指数,即预测模型为如本例预测2004年第3、4季度,则有 ktkyytt)75. 6205.336()(8974. 0)575. 6205.336()(094. 1)475. 6205.336(4,20043 ,2004万元万元yy第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法4.5 时间序列分解法 在4.1节中我们已经看到,时间序列一般包括四类因素：长期趋势因素、季节

30、变动因素、循环变动因素和不规则变动因素。四种因素的组合形式一般有3类。其中,记Xt为时间序列的全变动；Tt为长期趋势；St为季节变动；Ct为循环变动；It为不规则变动,它总是存在着的。第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法1. 乘法模式Xt = TtStCtIt这种形式要求满足条件：(1) Xt与Tt有相同的量纲, St为季节指数, Ct为循环指数,两者皆为比例数； (2) ;(3) It是独立随机变量序列,服从正态分布。2. 加法模式这种形式要求满足条件： (1) Xt、Tt、St、Ct、It均有相同的量纲；kttkS1第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方

31、法(2) , k为季节性周期长度；(3) It是独立随机变量序列,服从正态分布。3. 混合模式Xt=TtStCtIt 这种形式要求满足条件：(1) Xt与Tt 、Ct 、It有相同的量纲, St是季节指数,为比例数；(2) ;(3) It是独立随机变量序列,服从正态分布。 kttS10kttkS1第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法4.5.1 各因素的确定分解法的基础是容易理解而且直观的。不过最重要的是它为预测和检验提供了独特和非常有用的资料。我们用一个例题来说明各个因素分解的步骤。设有某产品12年（1991年2002年）的季度销售额数据。见表4.5中的第二列,共有48个数

32、据。如果将这些数据画在图上（图4.3）,可以看出有明显的长期趋势和季节变动。利用分解法,假设这48个数据可表示为Xt=TtCtStIt。这里Xt是这些原始数据,通过分析原始数据X来确定T、C、S（剩下的为I）。第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法图4.3 产品48个季度的销售额5101520253035404520002500300035004000450050005500销售额 / 万元季节序号第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法1 移动平均数把最初的4个数据（表示1991年4个季度的值）相加求平均值得到这个数是没有季节性的，而且随机性因素很小甚至没有

33、。因为随机性围绕中间值波动,将4个数相加,正负波动在一定程度上相互抵消了,所以可认为其中已无随机性。同样将第2个至第5个数据相加平均, 334.274144321XXXX63.280544321XXXX第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法也不包含季节性,而且其随机性因素也很小。如此我们可得到45个数据。它们不包含季节性,随机性因素很小甚至没有。也就是说, 它们只包括长期趋势和循环变动两部分（TC）。这45个数据组成的序列我们称之为移动平均数序列,用MA来表示,MATC。2 季节性ISCTISCTMAX（4.19）第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法因此观

34、察值除以移动平均数得到的比率值就只包含季节性和随机性,从而这些比率包括了确定季节性因素所需要的信息。如果某个比率的值大于100,意味着实际值X比移动平均数（TC）要大。由于X中包含季节性和随机性,因而当比率值大于100时,就意味着这个季度的季节性和随机性高于平均数。反之,如果比率小于100,则表示季节性和随机性低于平均数。表4.5 某产品48个季度的销售数据及数据分解 表略第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法由式（4.19）可知,如果能将SI中的随机性部分去掉,则就得到了季节性指数。要做到这一点,只需注意到随机性指的是偶然性, 没有一定模式, 围绕中间值0上下波动。因此通过

35、平均就能去掉随机性的影响。将表4.5中“SI比率”这一栏列成表4.6的形式,将各年同一季度的数据放在同一列之中,求相同各季度的平均值,得第一至第四季度的平均数分别为112.72,109.88,76.28,103.86。由于从1991年至2002年各年中相同季度的数值加以平均消除了大部分随机性,因此这4个平均数仅仅代表了季节性。用代数式表示, 即为 (4.20)其中 上面的横线表示季节平均。 SISIS 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法表4.6 产品销售额的季节性指数 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法表4.6中的4个平均值相加的和为402.74,它

36、不等于400。为了使各季节指数的平均数等于100,必须进行简单的调整。将400被合计数402.74来除,结果是0.9932。以0.9932 乘以各季节的平均数得到111.95、109.13、75.76、103.16等（见表中最后一行）。现在这4个季节指数的和为400,它们的含义就更加清楚了,例如第二季度的109.13就表示第二季度比全年平均数高出9.13,第三季度的75.76表示第三季度比全年低24.24。 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法3 长期趋势和循环变动前面介绍的公式MA=TC表示了一组循环变动长期趋势数值。在多数情况下这样已能满足要求,但有时仍需要把循环变动和

37、长期趋势分离开来。为了做到这一点,我们只需确定一种能最好地描述数据长期趋势的类型。例如长期趋势可以是线性的、二次的、S曲线或其它。对于本例,如果将数据在图上画出来,可以看出线性的长期趋势是比较合适的： Tt=a+bt （4.21） 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法t = 1, 2, 3, , 48。用最小二乘法可求得模型的最佳拟合参数为 a = 2735.85, b = 38.96因此趋势直线方程为 Tt=2735.85+38.96t如图4.4所示。用此方程即可求得每个季度的趋势值。如第20季度（2000年的第四季度）趋势值为 T20=a+bt=3515.05 第第4章

38、章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法图4.4 产品销售额的观察值及长期趋势5101520253035404520002500300035004000450050005500 观察值 长期趋势销售额 / 万元季节序号第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法由于MA=TC,因此应用上式即可求得循环变动值C。如第45季度的循环变动值C45等于表4.3中的移动平均数除以T45,即如同季节指数,循环指数也采取百分比率。其值大于100的表明该季度经济活动水平高于所有季度的平均值,而小于100的循环指数所表明的情况则刚好相反。CTCTTMA (4.22) 72.1024596.3

39、885.2735094.461145C第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法循环因子比较复杂,且其变动周期较长,因而在短期预测中可以忽略不计,或将其归入到趋势变化之中（称为趋势循环因子）。人们更关心的是趋势和季节的识别。至此我们完成了对原始数据Xt的分解工作,其步骤总结如下： （1） 用MA=TC分析长期趋势和循环变动； （2） 用X/MA=SI分析季节性和随机性； （3） 用 分析季节性； (4） 用趋势外推法中介绍的方法来分析长期趋势； (5） 用MA/T=C分析循环变动。SIS第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法4.5.2 根据分解法进行预测用分解法

40、确定了季节指数、趋势值和循环指数之后,就可以根据上面总结的步骤进行预测了。我们对2003年第一季度（第49季度）进行预测。数据的基本关系式为X=TCSI由于随机性无法直接进行预测,进行预测的关系式为X=TCS于是,计算出第49季度的T49、C49、S49值即可求得第49季度的预测值。表4.6中已得到第一季度的季节指数为111.95,由趋势方程求得 T492735.8538.96494644.89第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法最后,循环指数通常要根据判断估算出来,或者用某种方法预测得到。这里我们假定通过判断为：C4998,于是X49=T49C49S494644.8998

41、111.955095.96同样可以对第50、51季度进行预测。4.5.3 分解法的进一步说明1. 居中移动平均数为了求得移动平均数MA,上面我们是将相邻的4个原始数据相加取平均得到一个数,这样在表4.5的第三列中就少了3个数据。于是产生了这样一个问题： 最初的4个数据被平均时,它们的平均数应该置于何处？ 严格地讲,应该放在第2季度和第3季度的中间（14）/22.5,第2.5个季度）。其余数据取平均时也有类似的问题。 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法但实际数据是表示各个季度而不是半个季度的,这里我们只好将平均数放在靠后半个季度的地方。假如对平均数再取平均，就不会产生这样的

42、问题,因为如第1季度至第4季度的平均数2741.34是指第2.5季度，而第2季度至第5季度的平均数是指第 3.5季度,则它们的平均数就是指第3个季度（2.53.5）/2=3）。称如此的平均数为居中移动平均数,于是居中移动平均数比原始数据少4个（首尾各2个）。现在,实际值除以居中移动平均值所得的比率（还是SI）也可以用来计算季度指数,具体算法与上面所述完全一样。这样求得的4个季度的季节指数分别为112.20、109.44、75.37、103.17,其和为400.18,非常接近于400,这是因为移动平均数居中的缘故。 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法2 分解法的改进在上面所

43、叙述的分解法基础上,我们也可作一些改进,如： (1） 修正原始数据中工作日或营业日的差额。由于各个月度（或季度）的工作日是不尽相同的,这就会影响到销售额或别的所要预测的变量。因此首先必须对数据进行校正。如对月度数据的校正可通过原始数据乘以30对工作日的比率来进行,即将各月度的原始数据折算到工作日均为30天的统一情况。(2） 利用统计方法来淘汰极值（即修改或舍去超出标准差的3倍范围的数值）,在分解法实施之前先对数据进行预处理。 第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法(3） 按上一节求得的季节性指数还可进一步改进,并进行动态的调整,因为实际上季节指数并不一定是一成不变的,它本身亦

44、是一个变化的时间序列。还应注意到用分解法进行预测时,循环因素的确定是最为困难的。如有什么秘诀的话,那就是应具备足够数量的历史数据,以使管理人员了解循环模式是从哪里开始重复的,必要时可用图表方法来帮助确定。由于循环模式可能会发生变化,按照管理人员的判断对循环模式作一些调整无疑是必要的。第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法思考与练习 1. 什么是时间序列？ 时间序列预测方法有什么假设？2. 移动平均法的模型参数N的大小对预测值有什么影响？ 选择参数N应考虑哪些问题？3* 试推导出三次移动平均法的公式。4 移动平均法与指数平滑法各有什么特点？为什么说指数平滑法是移动平均法的改进？

45、5 试比较移动平均法、指数平滑法和时间序列分解法,并指出它们各自的优缺点。第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法6指数平滑法的平滑系数的大小对预测值有什么影响？选择平滑系数应考虑哪些问题？ 确定指数平滑的初始值应考虑哪些问题？7时间序列分解法一般包括哪些因素？ 如何从时间序列中分解出不同的因素来？8*在用时间序列分解法进行预测时,实际假定季节指数是不变的。如果季节指数是变化的,那么又怎样用分解法来进行预测？第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法9已知某类产品以前15个月的销售额如下表所示： 时间序号1234567891011121314 15销售额/万元10 15 820 10 1618 20 222420262729 29第第4章章 确定型时间序列预测方法确定型时间序列预测方法(1) 分别取N=3, N=5,计算一次移动平均数,并利用一次移动平均法对下个月的产品销售额进行预测。(2) 取N=3,计算二次移动平均数,并建立预测模型,求第16、17个月的产品销售额预测值。(3) 用一次指数平滑法预测下一个月的产品销售量,并对第14、15个月的产品销售额进行事后预测。分别取=0.1, 0.3, 0.5,S (1) 0为最早的三个数据的平均值。