第5章-刚体转动及角动量守恒.课件.ppt

1、5.1 刚体的平动和定轴转动刚体的平动和定轴转动 5.3 转动定律的应用转动定律的应用5.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律5.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 5.5 刚体定轴转动的功和能刚体定轴转动的功和能第五章第五章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动力学力学(Mechanics)(Mechanics)实实 践践 与与 应应 用用 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 1.平动：平动：若刚体中若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内，或者说刚体内任意任意两点间两点间的连线的连线总是平行总是平行于它们的于它们的初始位置间的连线

2、初始位置间的连线 . 什么是刚体什么是刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组点间距离保持不变的特殊质点组）一一 刚体的平动和定轴转动刚体的平动和定轴转动2. 转动：转动：刚体中所有的点都绕刚体中所有的点都绕同一直线同一直线做圆周运动做圆周运动. 转动又分转动又分定轴定轴转动和转动和非定轴非定轴转动转动 .一一 刚体的平动和定轴转动刚体的平动和定轴转动定轴转动参量刚体转轴转轴1. 角位置角位置转动平面转动平面（包含（包含p并与转轴垂直）并与转轴垂直）(t)(t+t)参考参考方向方向刚体中任刚

3、体中任一点一点刚体定轴转动刚体定轴转动的运动方程的运动方程2. 角位移角位移3. . 角速度角速度常量静止静止匀角速匀角速变角速变角速4. 角加速度角加速度变角加速变角加速常量 匀角加速匀角加速匀角速匀角速用矢量表用矢量表示示 或或 时，它们时，它们与与 刚体的刚体的转动方向转动方向采用右螺采用右螺旋定则旋定则 任意时刻的任意时刻的恒量恒量且且 t = 0 时时 得得或匀变角速定轴转动的匀变角速定轴转动的角位移方程角位移方程匀变角速定轴转动的匀变角速定轴转动的运动方程运动方程转动方程微积分示例转动方程微积分示例线量与角量的关系定轴转动刚体在某时刻定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为的瞬时角速

4、度为 ， 瞬瞬时角加速度时角加速度 ， 刚体中一质点刚体中一质点P至转轴的距离为至转轴的距离为r质点质点P 的大小的大小 瞬时线速度瞬时线速度瞬时切向加速度瞬时切向加速度瞬时法向加速度瞬时法向加速度这是定轴转动中这是定轴转动中线量线量与与角量角量的基本关系的基本关系刚体转动定律引言质质 点点的运动定律或刚体平动刚体平动F = m a惯性质量惯性质量合合 外外 力力合加速度合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？主要概念主要概念使刚体产生转动效果的使刚体产生转动效果的合外力矩合外力矩刚体的刚体的转动定律转动定律刚体的刚体的转动惯量转动惯量合外力矩 外力

5、在转动平面上对转外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动轴的力矩使刚体发生转动M = r F111力矩切切向向1Ft tFrM叉乘右螺旋1M2MM = r F222M = r F sin j j222大小大小2r2=2Ft td2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小大小M=d11F=r22Ft tr11Ft tr1=1Ft tM = r F sin j j111大小大小1d1=1Fj j1d1r1F1P1OF2r22Ft tP2j j2d2切切向向方向方向刚体的角动量定轴转动刚体的角动量是定轴转动刚体的角动量是无数质点无数质点对公共转轴的对公共转轴的角动量的叠加角动量的叠加 所有质点都以

6、其垂轴所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动距离为半径作圆周运动任一质元任一质元（视为质点）的质量角动量大小角动量大小（速度（速度半径）半径）全部质元全部质元总角动量大小总角动量大小对对质量连续分布质量连续分布的刚体的刚体首先，首先，刚体作为质点系，必然遵守质点系角动量定理刚体作为质点系，必然遵守质点系角动量定理外外外外因为因为外外JLJdtdJ那么那么（相当于（相当于 ）amF 刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 定轴转动刚体的角加速度定轴转动刚体的角加速度与刚体所受的与刚体所受的合合外力外力的力矩的力矩 M M 成正比，与刚体的转动惯量成正比，与刚体的转动惯量 J J 成反比。成反比。角

7、加速度方向角加速度方向与与力矩方向力矩方向一致一致dtdJJMz （常用在某转轴上的分量式）（常用在某转轴上的分量式）Mb b=J将刚体转动定律将刚体转动定律与质点运动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量转动惯量 是刚体转动惯性的量度是刚体转动惯性的量度JJ 与刚体的与刚体的质量、形状、大小质量、形状、大小及质量对转轴的分布及质量对转轴的分布情况有关情况有关对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体用积分求用积分求J ， 如对体分布情形：如对体分布情形： 为体积元为体积元 处的密度处的密度JJ的单位为的单位为对分离和连续刚体，转动惯量都符合对分离和连续刚体，转动惯量都符合标量叠加原则标量叠加原

8、则（1）可视为）可视为分立分立质点结构的刚体质点结构的刚体转轴转轴 若连接若连接两小球（视为质点）两小球（视为质点）的的轻细硬杆的质量可以忽略，则轻细硬杆的质量可以忽略，则转轴转轴0.75（2）质量）质量连续连续分布的刚体分布的刚体匀直细杆对中垂轴的匀直细杆对中垂轴的匀直细杆对端垂匀直细杆对端垂轴的轴的质心新轴质心轴平行移轴定理平行移轴定理对对新新轴轴的转动惯量的转动惯量对质心轴的转动惯量对质心轴的转动惯量新轴新轴对心轴的平移量对心轴的平移量例如：例如：时时代入可得代入可得端J考虑考虑:dVdSdxdm或或圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的匀质薄圆盘对心垂轴的 取半径为取半径为 微宽为微宽为 的的窄

9、环带的质量为质元窄环带的质量为质元球体算例匀质实心球对心轴的匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量薄圆盘的转动惯量 的迭加的迭加距 为 半径为 、微厚为的薄圆盘的转动惯量为其中其它典型匀质矩形薄板匀质矩形薄板转轴通过中转轴通过中心垂直板面心垂直板面J = (a + b ) 22m12匀质细圆环匀质细圆环转轴通过中转轴通过中心垂直环面心垂直环面J = m R 2匀质细圆环匀质细圆环转轴沿着转轴沿着环的直径环的直径2J =2m R匀质厚圆筒转轴沿几何轴转轴沿几何轴J = (R1 + R2 ) 22m2匀质圆柱体匀质圆柱体转轴通过中心转轴通过中心垂直于

10、几何轴垂直于几何轴mJ = R + 22m124L匀质薄球壳匀质薄球壳转轴通过球心转轴通过球心2J =2m R3转动定律例题一合外力矩合外力矩 应由各分力矩进行合成应由各分力矩进行合成 。 合外力矩合外力矩 与合角加速度与合角加速度 方向一致。方向一致。在定轴转动中，可先设一个在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），正轴向（或绕向），若分力若分力矩与此向相同则为矩与此向相同则为正正，反之为，反之为负负。与时刻对应，时刻对应，何时何时何时何时则何时则何时 ，则何时则何时恒定恒定恒定bJmglMsin21而而231mlJ 于是于是bsin23lgdtd利用利用bdddtddddtddlgdsin

11、23有有利用利用t=0, 0=0, 0=0刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 细杆受力细杆受力P 和和N1sin2pNMMmgl 细杆长细杆长为为l, 质量为质量为m , 求求从竖直位置由静止转到从竖直位置由静止转到 角时的角时的角加速度角加速度和和角速度角速度.O PNl积分积分: 00sin23dlgd在在 角时角速度角时角速度)cos1(3 lg解：分析受力：图示解：分析受力：图示质点质点AAmamgTsin1质点质点BBmaTmg2ABr ,JNF1Tgm1RF2Tmg1T2Tmg例例2 如图，斜面倾角为如图，斜面倾角为，质量均为，质量均为m的两物体的两物体A、B，经细绳联接

12、，绕经细绳联接，绕过一定滑轮。定滑轮（视为圆盘）半径为过一定滑轮。定滑轮（视为圆盘）半径为R、质量为质量为m。求：求：物体运动中定滑轮两侧绳中物体运动中定滑轮两侧绳中张力张力及及B下落加速度下落加速度a（不计摩擦）（不计摩擦）滑轮（滑轮（刚体刚体）bJrTrT12)TT,TT(1122联系量联系量braaBA联立：联立：aA= aB=a=g-2a-gsin； T1 =mg-2ma；T2=mg-ma 为什么此时为什么此时 T1 T2 ？转动定律例题二T1T2a（以后各例同）（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轮轴无摩擦轻绳不伸长轻绳不伸长轮绳不打滑轮绳不打滑T2T1G1G2T2T1a ab b

13、T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a( T2 T1 ) R = Jb b a = Rb bJ = m R 22转动转动平动平动线线- -角角联立解得联立解得a=m1m1+ m2+ gm2m21gT1 = m1 ( g + a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g*如果考虑有转动摩擦力矩如果考虑有转动摩擦力矩 Mr , ,则则 转动式为转动式为( T2 T1 ) R Mr= Ib b再联立求解。再联立求解。转动定律例题三Rm1m细绳缠绕轮缘细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力恒力F滑轮角加速度滑轮角加速度 b b细绳线加速度细绳线加速度 a（A）（B） 【思考】【思考】

14、电风扇在开启电源后，经过电风扇在开启电源后，经过 时间达到了额定转速（此时相时间达到了额定转速（此时相应的角速度为应的角速度为 ）。关闭电源后，经过）。关闭电源后，经过 时间风扇停转。已知风扇转子的转时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为动惯量为 J 。假定。假定摩擦阻力矩摩擦阻力矩和和电磁力矩均为常量电磁力矩均为常量，试推算，试推算电机的电磁力矩电机的电磁力矩.1t2t0解：解：设设M为电磁力矩为电磁力矩，Mf为阻力矩，根据刚体定轴转动定律：为阻力矩，根据刚体定轴转动定律：开启电源：开启电源：fMM积分得：积分得：关闭电源：关闭电源：积分得积分得解（解（1）、）、（2）得）得所以电机的电磁力

15、矩为所以电机的电磁力矩为课前问题课前问题 八八dtdJJMdtdJJMz2 分立分立及及连续连续质点结构的刚体的转动惯量表达式质点结构的刚体的转动惯量表达式J刚体的角动量定理合外力矩合外力矩角动量的时间变化率角动量的时间变化率（微分形式）（微分形式）（积分形式）（积分形式）冲量矩冲量矩角动量的增量角动量的增量回忆质点的角动量定理回忆质点的角动量定理（微分形式）（微分形式）（积分形式）（积分形式）刚体系统的角动量定理若一个系统包含若一个系统包含多个共轴多个共轴刚体刚体 或或 平动物体平动物体系统的总合外力矩系统的总合外力矩 系统的总角动量的变化率系统的总角动量的变化率系统的总冲量矩系统的总冲量矩

16、系统的总角动量增量系统的总角动量增量系统：系统： 、 轻绳轻绳（忽略质量）（忽略质量）再解前例再解前例静静止止释释放放求角加速度求角加速度解得解得由由得得总合外力矩总合外力矩对对O的角动量的角动量对对O的角动量的角动量同向同向而而21Rm刚体的角动量守恒定律由由刚体所受合外力矩刚体所受合外力矩若若则则即即 当刚体所受的合外力矩当刚体所受的合外力矩 等于零时等于零时， 刚体的角动量刚体的角动量 保持不变保持不变回转仪定向原理万万向向支支架架受合外力矩为零受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小轴摩擦及空气阻力很小角动量守恒角动量守恒恒矢量恒矢量回转仪定向

17、原理回转仪定向原理其中转动惯量其中转动惯量为常量为常量若将回转体转轴指向任一方向若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度使其以角速度 高速旋转高速旋转则转轴将保持该方向不变则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响而不会受基座改向的影响基基 座座回转体回转体 （转动惯量转动惯量 ） 回转仪的这种高速自转时回转仪的这种高速自转时保持转轴方向不变保持转轴方向不变的特性，的特性，可用作可用作定向装置定向装置。回转仪的定向作用不受地磁及周围。回转仪的定向作用不受地磁及周围磁场的影响，因此广泛应用于磁场的影响，因此广泛应用于飞机自动驾驶及导弹、飞机自动驾驶及导弹、火箭、舰船的导航火箭、舰船的导航。 被被

18、 中中 香香 炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺） 角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用 球形外壳和位于中心的半球形炉体之间有球形外壳和位于中心的半球形炉体之间有两层或三层同心圆环两层或三层同心圆环 “香熏球香熏球”、“卧褥香炉卧褥香炉”、“熏球熏球” 西汉末西汉末丁缓丁缓的的“被中香炉被中香炉”是世界上已知最早的常平架，是世界上已知最早的常平架，其构造精巧，无论球体香炉如何滚动，其中心的半球形炉体都其构造精巧，无论球体香炉如何滚动，其中心的半球形炉体都能始终保持水平。镂空球内有能始终保持水平。镂空球内有两个环互相垂直两个环互相垂直而可灵活转动，而可灵活转动，炉体可绕炉

19、体可绕三个互相垂直的轴三个互相垂直的轴转动。其原理与转动。其原理与陀螺仪陀螺仪的万向架相的万向架相同同 在欧洲，最先提出类似设计的，在欧洲，最先提出类似设计的，是是文艺复兴文艺复兴时期的大画家、科学家时期的大画家、科学家达芬奇达芬奇（1452-1519），已较我），已较我国晚了国晚了1000多年。但遗憾的是，多年。但遗憾的是，这项杰出的创造，在我国仅应用于这项杰出的创造，在我国仅应用于生活用具。生活用具。16世纪，世纪，意大利意大利人人希希卡丹诺制造出陀螺平衡仪并应用卡丹诺制造出陀螺平衡仪并应用于于航海航海上，使它产生了巨大的作用上，使它产生了巨大的作用花样滑冰中常见的例子角动量守恒的另一类现

20、象角动量守恒的另一类现象变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花花 样样 滑滑 冰冰收臂大小张臂张臂大小先使自己先使自己转动起来转动起来收臂收臂大小共轴系统的角动量守恒共轴系统共轴系统若若外外则则恒矢量恒矢量轮、转台与人系统轮、转台与人系统轮轮人台人台初态初态全静全静初人沿某一转人沿某一转向拨动轮子向拨动轮子轮轮末态末态人台人台轮轮末人台人台初得人台人台轮轮导致人台导致人台反向转动反向转动守恒例题一A A、B B两轮共轴两轮共轴A A以以 A A作惯性转动作惯性转动 以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系统受合外

21、力矩为零，角动量守恒。初态角动量初态角动量末态角动量末态角动量得两轮啮合后两轮啮合后一起作惯性转动的角速度一起作惯性转动的角速度 ABAB例例2 2: :有一子弹有一子弹,质量为质量为m,以水平速度以水平速度v射入杆的下端而射入杆的下端而不复出不复出,求杆和子求杆和子弹开始一起运动时的弹开始一起运动时的角速度角速度?mv0解解: : 碰撞时间很短碰撞时间很短, ,考虑：考虑：杆和子弹组成的系统动量守恒杆和子弹组成的系统动量守恒?系统对轴系统对轴O O轴轴角动量守恒角动量守恒! !M.lO 2031Mlmlvmlv lv lvMmm033 请考虑如果子弹穿出或反弹的情形。请考虑如果子弹穿出或反弹

22、的情形。例例3:大圆盘质量为大圆盘质量为M,半径为半径为R. 人质量为人质量为m.二者最初都相对地二者最初都相对地面静止面静止.当人沿盘边缘行走一周时当人沿盘边缘行走一周时,求求盘对地面转过的角度盘对地面转过的角度?解解: : 以以盘盘+ +人人 为系统为系统对竖直轴的外力矩对竖直轴的外力矩=0=0系统对轴的角动量守恒系统对轴的角动量守恒. .0盘地人地JJ2221MRJmRJ令令 与与 分别表示分别表示人和盘人和盘对地面发生的对地面发生的角位移，则角位移，则tddtdd o tMRtmRdd21dd22 022021dddtdMRtmRMm21:解得人在盘上走一周时人在盘上走一周时 2 22

23、2 Mmm这是一道这是一道角动量守恒角动量守恒+ +相对运动相对运动的题型，请大家注的题型，请大家注意方法，并与动量守恒意方法，并与动量守恒+ +相对运动题型的比较。相对运动题型的比较。0 JJ2221MRJmRJo 例例4 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时当细杆静止于水平位置时, 有有一只小虫以速率一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为为 l/4 处处, 并背离点并背离点O 向杆向杆的端点的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均

24、为m. 问问:小虫落在杆上后瞬间的角速度？小虫落在杆上后瞬间的角速度？ 欲使细杆以欲使细杆以恒定的角速度转动恒定的角速度转动, 小虫应以小虫应以多大速率多大速率向细杆端点爬行向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 （1）小虫与细杆的碰撞视为小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞， 碰撞前后系统碰撞前后系统角动量守恒角动量守恒l0712 v（2）由角动量定理）由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即（3）考虑到）考虑到小虫爬行的速率为t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvv

25、lg转动动能刚体中任一质元刚体中任一质元 的速率的速率该质元的动能该质元的动能对所有质元的动能求和对所有质元的动能求和转动惯量转动惯量 JJ得得力矩的功力力 的元功的元功力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩若在某变力矩 作用下，刚体由作用下，刚体由 转到转到 ，作的总功为作的总功为力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率刚体的动能定理回忆质点的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理由由 力矩的元功力矩的元功转动定律转动定律则则合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量称为称为动能定理例题二外力矩作的总功外力矩作的总功从水平摆

26、至垂直从水平摆至垂直由得代入得本题利用的关系还可算出此时杆上各点的线速还可算出此时杆上各点的线速度度水平位置静止释放水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的摆至垂直位置时杆的匀直细杆匀直细杆一端为轴一端为轴动能定理例题一匀质圆盘匀质圆盘盘缘另固盘缘另固连一质点连一质点水平静水平静止释放止释放通过盘心垂直通过盘心垂直盘面的水平轴盘面的水平轴圆盘下摆圆盘下摆 时质点时质点 的的角速度角速度、切向、法向加速度、切向、法向加速度的大小的大小对系统外力矩的功外力矩的功转动动能增量转动动能增量其中其中得得由转动定律由转动定律（瞬时性）（瞬时性）得得则则动能定理例题三段，段，外力矩作正功外力矩作正功段，段，外力矩

27、作负功外力矩作负功合外力矩的功合外力矩的功从水平摆至垂直从水平摆至垂直由得转轴对质心轴的位移转轴对质心轴的位移 代入得代入得摆至垂直位置时杆的摆至垂直位置时杆的水平位置静止释放含平动的转动问题机械外外非保内非保内力矩力矩力矩力矩动势动势平动转动平动转动系统（轮、绳、重物、地球）系统（轮、绳、重物、地球）忽略摩擦外力力矩非保守内力矩力平动转动势平动转动势可求或此外势势 例例1 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动 . 一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支点为点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30 . 子弹初速率

28、为多少子弹初速率为多少 ?vamm 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 .子弹子弹射入竿的过程射入竿的过程系统角动量守恒系统角动量守恒)31(22malmamvoamv302233malmamvmamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga射入竿后，射入竿后，子弹、杆和地球子弹、杆和地球为系统为系统 ，机械能守恒机械能守恒 Lo 例例2 2一长为一长为L L，质量为，质量为m m的匀质杆竖直立在地面，下端点由一水平的匀质杆竖直立在地面，下端点由一水平轴轴O O固定固定. .在微扰动作用下以在微扰动作

29、用下以O O为轴倒下为轴倒下. .求求: :杆与竖直方向成杆与竖直方向成 角时，对轴的角速度角时，对轴的角速度 = = ？解：（解：（1）利用刚体的定轴转动定律）利用刚体的定轴转动定律先求在先求在任意角任意角 时杆时杆对对O点点的的力矩力矩(重力矩重力矩)。质量元：质量元：xLmmdd gmG dd sind)sin(ddxgLmxGxM sin21dsin0mgLxxgLmML dmxGd质量元对轴的力矩为质量元对轴的力矩为 M是变力矩，是变力矩，由刚体定轴转动瞬时作用定律：由刚体定轴转动瞬时作用定律：sin23lgJM(变角加速度变角加速度) ddddddddtt 00dsin23dlg)

30、cos1(3 Lg进而可由进而可由 00)(ddtt积分求出积分求出)(t （2 2）又解：由）又解：由转动动能定理转动动能定理解解先求在任意角先求在任意角 时杆对点时杆对点O O的力矩的力矩( (重力矩重力矩) )由转动动能定理由转动动能定理 KEMd 021dsin2120 JmgL.Lcox sin21mgLM)cos1(3 LgcpmghE 刚体的重力势能与它的质量集中刚体的重力势能与它的质量集中在质心时的势能相同在质心时的势能相同. .Lco hc)cos1(21 mgLhc021cos1(212 JmgL）（3 3）再解）再解: :用用机械能守恒机械能守恒来解来解)cos1(3 L

31、g请比较这三种解法，要求掌握这三种方法，显然请比较这三种解法，要求掌握这三种方法，显然最后一种用能量守恒是最简单的。最后一种用能量守恒是最简单的。 L/2L/2hc刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：b bJM 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量：2iirmJdmrJ2角动量定理：角动量定理：dtdLMzz)( JLz角动量守恒定律：角动量守恒定律：恒量恒量21zzLL刚体转动的功和能：刚体转动的功和能： 21 MdW221 JEkcpmghE恒量当只有保守力矩作功pkEE刚刚 体体 定定 轴轴 转转 动动 小小 结结质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一

32、一)质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量m, 力力F转动惯量转动惯量 ,力矩力矩M力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能势能势能质心势能质心势能trvdd tdd tvadd tdd b b 221mvEk 221 JEk barFAd baMA dmghEp CpmghE dmrJ2质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二二)质点的运动质点的运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动运动定律运动定律转动定律转动定律动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒动量守恒角动量守恒角动量

33、守恒动能定理动能定理动能定理动能定理机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒amF b bJM .const pkEE.const iiivm.const J.const pkEE2022121 JJW 21222121mvmvW 00ppdtFt 1122 JJdtM 公式对比质点质点直线直线运动或刚体运动或刚体平动平动刚体的刚体的定定 轴轴转动转动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移匀速直线运动匀速直线运动匀角速定轴转动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变速直线运动匀变角速定轴转动匀变角速定轴转动说明：说明： 1、粘接、粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，

34、可把在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，可把它们它们看成一个刚体，不要分开考虑。看成一个刚体，不要分开考虑。不不同同。和和的的均均相相同同，但但不不同同半半径径处处和和它它们们的的a b b orR处处：如如图图，在在 rb b rart :R处处在在b b RaRt 1o2o1R1M2M2R1m2m 加加速速度度和和线线速速度度相相同同；同同一一根根绳绳上上各各点点的的切切向向1ABCD DaCaBaAatttt DCBA （2） 跨过有质量跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力的圆盘两边的绳子中的张力不相等不相等；DBATTT CBTT 但但（3） 两个圆盘的两个圆盘的角速度角速度和和角加速

35、度不相等。角加速度不相等。21 21b bb b 2、用一根绳连接、用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体两个或多个刚体时，要把刚体分开考虑分开考虑 urR例例1. 如图，质量为如图，质量为 M 半径为半径为 R 的转台初始角速度为的转台初始角速度为 0 ,有一质量为有一质量为m 的人站在的人站在转台的中心转台的中心,若他相对于转台以恒定的速度若他相对于转台以恒定的速度 u 沿半径向边缘走去沿半径向边缘走去,求人走了求人走了t 时间时间后后,转台转过的角度。（竖直轴所受摩擦阻力矩不计）转台转过的角度。（竖直轴所受摩擦阻力矩不计）解：解：人与转台人与转台系统对轴角动量守恒系统对轴角动量守恒设设

36、t 时刻人走到距转台中心时刻人走到距转台中心 r = ut 处，处，转台的角速度为转台的角速度为 . )2(222202tmuRMRM222021MRtmu dtd dtMRtmudtdtt 022200021 )2(arctan)2(21210RMmutMmuR 22刚刚 体体 定定 轴轴 转转 动动 趣趣 题题 例例2 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端处自由下落到跷板的一端A,并把跷并把跷板另一端的演员板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设跷板是匀质的设跷板是匀质的,长度为长度为l,质量为质量为 ,跷板可绕中部跷板可绕中部支撑点支撑点C

37、 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为m.假定演员假定演员M落在跷板上落在跷板上,与跷板与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演员N可弹起多高可弹起多高?ll/2CABMNh 解解 （1）碰撞前）碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度21M)2( ghv （2） 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度具有相同的线速度2lu m （3）把）把M、N和跷板作为一和跷板作为一个系统个系统, 角动量守恒角动量守恒22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演员演员 N 以以

38、u 起跳起跳,达达到的高度到的高度hmmmglguh2222)63(82解： ,4/ga得2TT23T1TT3mgmg2T1bramamgT3brmrTT23221)(brTTmr22121)(maTmg2213/113mgT例例3 3一轻绳跨过两个质量为一轻绳跨过两个质量为 m、半径为、半径为 r 的均匀的均匀圆盘状定滑轮圆盘状定滑轮, ,绳的两端分别挂质量为绳的两端分别挂质量为 2m 和和 m 的重物的重物, ,如图如图, ,绳与滑轮间绳与滑轮间无相对滑动无相对滑动, ,滑轮滑轮轴光滑轴光滑, ,两个定滑轮的转动惯量均为两个定滑轮的转动惯量均为 mr2 2/ /2, , 将由两个定将由两个

39、定滑轮以及质量为滑轮以及质量为 2m 和和 m 的重物组成的系统从的重物组成的系统从静止释放静止释放, ,求重物的求重物的加速度加速度和和两滑轮之间绳内的张两滑轮之间绳内的张力。力。mm2rm,rm,力矩的功算例力矩的功算例拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小总摩擦力矩总摩擦力矩 是是各微环带摩擦元力矩各微环带摩擦元力矩 的积分的积分环带面积环带面积环带质量环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力环带受摩擦力矩环带受摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功转一周摩擦力矩的总功得粗粗 糙糙 水水 平平 面面转轴转轴平放一圆盘平放一圆盘 习题一习题

40、一 如图，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮的质量为M 、半径为 R，其转动惯量为 ，滑轮轴光滑。试求该物体由 静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。221MRmMR 解：根据牛顿第二定律和刚体定轴转动定律对m： （1）Tgm对M： （2）又 （3）联立（1）、（2）、（3）解得：常矢量，与时间无关由初始条件： ，得 习题三习题三 如图所示，A、B 两圆盘可分别绕 ， 轴无摩擦地转动。重物 C 系在绳上（绳不伸长），且与圆盘边缘之间无相对滑动。已知 A、B 的半径分别为 ， ，A 、 B、C 的质量分别为 ， ，m，求：重物

41、 C 由静止下降 h 时的速度 v 。1O2O2R1R1m2m 解一：解一：应用机械能守恒定律ABC2O1O11,Rm22,Rmmh0PE不打滑：有不打滑：有考虑到：考虑到：得得ABC2O1O11,Rm22,Rmmh 解二：解二：应用牛顿第二定律和转动定律1T1T2T2TgmA： （1） B： （2）C： （3）不打滑，有 （4）联立（1）、（2）、（3）、（4）解得： 习题四习题四 一质量为 m 的子弹丸，穿过如图所示的摆锤 后，速率由 v 减少到 。若摆锤的质量为 M，摆杆的质量也为 M（均匀细杆），长度为 l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？2v

42、MMl,mv2v 解：解：取摆锤、地球和子弹为系统，子弹穿过摆锤过程中，系统对转轴的角动量守恒：即得摆锤开始转动的角速度为摆锤开始转动后机械能守恒，设摆锤在垂直位置为势能零点，到达最高点时有则得即 习题五习题五 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴空心圆环可绕光滑的竖直固定轴 AC 自由转动，自由转动，转动惯量为转动惯量为 ，环的半径为，环的半径为 R，初始时环的角速度为，初始时环的角速度为 。质量。质量为为 m 的小球静止在环内最高处的小球静止在环内最高处 A 点，由于某种干扰，小球沿环点，由于某种干扰，小球沿环向下滑动。问小球滑到与环心向下滑动。问小球滑到与环心 O 在同一高度的在同一高度的 B

43、点和环的最低处点和环的最低处的的 C 点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大？点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大？设环的设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径 Rr0J0 解：在小球下滑过程中，系统解：在小球下滑过程中，系统角动量守恒和机械能守恒：角动量守恒和机械能守恒：对对 B 点：点：0PEOABCR0解得：因为BvRv对对 C 点：点：所以得环的角速度仍为：小球相对环的速度即为小球相对地的速度：OABCR0 习题六习题六 试证（1）半径和质量都相同的实心圆柱体、圆筒和实心球，沿同一斜面、同一高度从静止纯滚动地

44、滚下时，它们到达底部的次序是：实心球最先，圆柱体次之，圆筒最后； （2）不同质量、不同半径的均匀实心圆柱体在斜面上滚下时质心具有同一加速度。0vh证一：机械能守恒考虑到纯滚动：质心速度所以得因为所以即得证得证证二：由上述结论0v质心速度hs质心加速度Ca因为所以得即因而有与 m 、R 无关，得证 习题七习题七 设某机器上的飞轮的转动惯量为 J，其在制动力矩 的作用下，角速度由 减小到 ，问此过程所需的时间和制动力矩所作的功各为多少？常量KKM020M解：解：由转动定律：移项后两边积分：得得再由转动动能定理得再由转动动能定理得 习题八习题八 两均匀圆柱分别绕它们本身的轴转动，二轴互相平行。一圆柱

45、的半径为 ，质量为 ，另一圆柱的半径为 ，质量为 。开始它们沿同一转向分别以 及 的角速度转动，然后平移二轴使它们在共同切点接触。当最后达到稳定状态时，求每个圆柱的角速度。1R2R2M1M12121M1R12R2M21f2fC 解一：接触时产生摩擦力21, ff由转动定理得考虑到两圆柱在摩擦力的作用下作匀减速转动，有考虑到在它们 C 点的线速度相等，有由（1）、（2）、（3）得由（4）、（5）得解（6）、（7）、（8）得 习题九习题九 水平面内有一静止的长为 l，质量为 m 的细棒，可绕通过棒一端 O 点的铅直轴旋转。今有一质量为 、速率为 v 的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射击棒的中点，子弹

46、穿出时速率减为 。当棒转动后，设棒上各点单位长度受到的阻力正比于该点的速率（比例系数为 k）。试求： （1）子弹穿出瞬间，棒的角速度 为多少？ （2）当棒以 转动时，受到的阻力矩 为多少？ （3）棒从 变为 时，经历的时间为多少？2m2v0fM0202mvmlO2mvmlO 解解：（1）系统所受外力矩为零，角动量守恒：所以得mlO2m2v（2）所以得（3）由有1. .一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1 和和 m2 的物体的物体 (m1 m2)，如图所示，如图所示. .绳与绳与轮之间无相对滑动，某

47、时刻滑轮沿逆时针轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力方向转动，则绳的张力 B o1m2m(A) 处处相等处处相等. .(B) 左边大于右边左边大于右边. .(C) 右边大于左边右边大于左边. .(D) 无法判断无法判断. . 2. .均匀细棒均匀细棒 oA 可绕通过其一端可绕通过其一端 o 而与棒垂直的水而与棒垂直的水平固定光滑轴转动平固定光滑轴转动, ,如图所示如图所示. .今使棒从水平位置由静今使棒从水平位置由静止开始自由下落止开始自由下落, ,在棒摆动到竖直位置的过程中在棒摆动到竖直位置的过程中, ,下列下列情况哪一种说法是正确的情况哪一种说法是正确的? ?(D) 角

48、速度从大到小角速度从大到小, ,角加角加速度从小到大速度从小到大 (C) 角速度从大到小角速度从大到小, ,角加角加速度从大到小速度从大到小(B) 角速度从小到大角速度从小到大, ,角加速度从小到大角加速度从小到大(A) 角速度从小到大角速度从小到大, ,角加速度从大到小角加速度从大到小 A oA (C) A (D) 逆时针方向逆时针方向逆时针方向逆时针方向RvmRJmR22RvJmR2RvJmR2RvmRJmR22 (A) 顺时针方向顺时针方向(B) 顺时针方向顺时针方向3. . 质量质量 m 为的小孩站在半径为为的小孩站在半径为 R、转动惯量为、转动惯量为 J 的可以自由转的可以自由转动的

49、水平平台边缘上动的水平平台边缘上 (平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动动). .平台和小孩开始时均静止平台和小孩开始时均静止. . 当小孩突然以相对地面为当小孩突然以相对地面为 v 的速的速率沿台边缘逆时针走动时率沿台边缘逆时针走动时, ,则此平台相对地面旋转的角速度则此平台相对地面旋转的角速度 为为4. .一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角速度以角速度 按按图示方向转动图示方向转动, ,若如图所示的情况那样若如图所示的情况那样, ,将两个大小相将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力等方向相反但不在同一条直线的力

50、F 沿盘面同时作用沿盘面同时作用到盘上到盘上, ,则盘的角速度则盘的角速度 A FOFO（A）必然增大必然增大; ; （B）必然减少必然减少; ; （C）不会改变不会改变; ; （D）如何变化如何变化, ,不能确定。不能确定。5. .一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上, ,双臂伸直双臂伸直水平地举起二哑铃水平地举起二哑铃, ,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中的过程中, ,人、哑铃与转动平台组成的系统的人、哑铃与转动平台组成的系统的 C （A）机械能守恒）机械能守恒, ,角动量守恒角动量守恒; ;（B）机械能守恒）机械能守