1、9.2.3总体集中趋势的估计一、教学目标 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)2.会求样本数据的众数、中位数、平均数3.理解集中趋势参数的统计含义4.通过对总体集中趋势的估计的学习，培养学生数学分析、数学运算、数学建模等数学素养二、教学重点 会用样本的数字特征估计总体的数字特征教学难点 会用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本估计总体的思想解决问题三、教学过程1、情境引入问题1: 在初中的学习中我们学习了平均数、中位数和众数等刻画“中心位置”的量，请大家探究它们之间的联系与区别以及根据样本的集中趋势估计总体的集中趋势，教师点拨引出本节课所学内容2、探索新知1
2、）众数、中位数和平均数的定义 平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数中位数：将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数. 若数据个数是偶数，则取中间两个数据的平均数众数：一组数据中出现次数最多的数据 2）平均数、中位数和众数的比较名 称优 点缺 点平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变数据越“离群”，对平均数的影响越大中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响对极端值不敏感众 数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感问题2：小明用统计软件计算了100户居民
3、用水量的平均数和中位数，但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77. 请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量的值变化更大？答：平均数由原来的8.79t变为9.483t，中位数没有变化，还是6.6t.这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感 探究1：平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形
4、态有关. 在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？ 答：一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（如图（1），那么平均数和中位数大体上差不多如果直方图在右边“拖尾”（如图（2），那么平均数大于中位数如果直方图在左边“拖尾”（如图（3），那么平均数小于中位数。也就是说，平均数总是在“长尾巴”那边 【例1】某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如表所示校服规格155160165170175合计频数39641679026386如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位
5、数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论用表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据，如图可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理探究2：样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据。例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图。这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以
6、下面的频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？问题3：根据频率分布直方图如何计算样本平均数？ 答：因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替，即每一组的平均数为该组小矩形底边中点横坐标。 那么由上图可得样本平均数为 问题4：根据频率分布直方图如何计算样本中位数？ 答：根据中位数的意义可得，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等由于0.0773=0.231，（0.077+0.107）3=0.552因此中位数落在区间4.2，7.2）内设中位数为x，由0.0773+0.
7、107（x-4.2）=0.5，得到x6.71因此，中位数约为6.71 问题5：根据频率分布直方图观察，样本众数应该在哪个小矩形内？由此估计众数是多少？ 答：根据众数定义得，出现次数最多数据是众数。 如上图所示，月均用水量在区间4.2,7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值 问题6：以上我们讨论了平均数、中位数和众数在刻画一组数据的集中趋势时的各自特点，并研究了用样本的特征量估计总体特征量的方法。那么，这种方法有什么不足？ 答：这些特征量有时会被利用而产生误导 问题7：假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元“。你如何理解这句
8、话？ 答：这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况。例如，可能这个公司的工资水平普遍较高，也就是员工收入的中位数、众数与平均数差不多；也可能是绝大多数员工的年收入较低，而少数员工的年收入很高；在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大得多。尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数。 所以，我们要强调”用数据说话”,但同时又要防止被误导【例2】 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩防护服消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，
9、不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如下频率分布直方图（1）求出直方图中的值（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01)解：（1）由，得（2）平均数为设中位数为，则，得故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33方法规律：利用频率分布直方图求众数、中位数以及平均数的方法(1)众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中.中位数即为从小到大中间的数(或中间两数的平均数).平均数为每个小矩形
10、中点的横坐标与小矩形面积乘积之和(2)用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数四、课堂练习P208 练习1、为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成40，50)，50，60)，90，100六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图（2）请根据频率分布直方图，估计样本的中位数.（每组数据以区间的中点值为代表）解：（1）因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为补全的频率分布直方图如图所示(2) 前三组的频率之和为：前四组的频率之和为
11、：设中位数为，则应有又，即样本的中位数为抽取学生的平均数约为 2、某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01)(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数解：(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以由,得所以,这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为, (2)因为样本中90分及以上的频率为 所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数为人五、课堂小结1、众数、中位数、平均数2、频率分布直方图中的众数、中位数、平均数3、用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征及会用样本估计总体的思想解决问题六、课后作业习题9.2 9七、课后反思
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