1、期末复习专题训练27立体几何（外接球1）1如图，正方形与正方形所在的平面互相垂直，点，在同一个球面上，则该球的体积是ABCD解：如图，连接，交与，则，连接、，设，则，连接，则，平面平面，平面平面，平面，则，即为点，所在球的球心，半径所求球的体积是故选：2球的两个相互垂直的截面圆与的公共弦的长度为2，若是直角三角形，是等边三角形，则球的表面积为ABCD解：如图，连接，则圆所在平面，圆所在平面，取的中点，连接，则四边形为矩形是直角三角形，且斜边，是等边三角形，在中，有，即，则，则球表面积为故选：3桌面上有3个半径为2021的球两两相外切，在其下方空隙中放入一个球，该球与桌面和三个球均相切，则该球的
2、半径是ABCD2021解：设三个半径为的球的球心分别为，与桌面三个切点分别为，如下图所示，则三棱柱，是一个底面边长为，高为的正三棱柱，则小球球心在底面上的投影必为的中心，连接，作，可得四边形为矩形，设小球半径为，则，为底面三角形的中心，又，即，整理得，即该球的半径是故选：4在三棱锥中，已知，是线段上的点，若三棱锥的各顶点都在球的球面上，则球的半径为A1BCD解：如图，在中，由，得，则，在中，可得，即，又，平面，得，而，平面设外接圆的半径为，则，即三棱锥的外接球的球心到底面外心的距离等于，球的半径为故选：5在三棱锥中，是边长为的等边三角形，二面角的大小为，且，则三棱锥体积的最大值为ABCD解：正
3、四面体中，二面角的余弦值，证明如下：取中点，连接，则，所以为二面角的平面角，由余弦定理得，所以在平面内，又因，所以在正三角形外接圆弧上（不含，当在点处时最大，所以三棱锥体积的最大值为故选：6已知四棱锥中，侧面底面，且，则此四棱锥外接球的表面积等于ABCD解：在等腰梯形中，由，可得梯形的高为，取的中点，则，即为梯形的外接圆的圆心，设四棱锥的外接球的球心为，等边三角形的外接圆的圆心为，由侧面底面，可得，在直角三角形中，可得，即外接球的半径，其表面积为故选：7已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为ABCD解：由直四棱柱内接于球，则、四点在球面上，四
4、边形为球的一截面圆的内接四边形，则对角互补，又是平行四边形，四边形为矩形，在直四棱柱中，平面，又，平面，则，四边形为正方形，得直四棱柱为正四棱柱，由外接球体积为，得球的半径，由为球的直径，得，设，则，则，在中，由余弦定理可得：，则设的外接圆的半径为，由正弦定理可得：，当且仅当，即时取等号故的最小值为，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为故选：8已知在三棱锥中，是正三角形，则此三棱锥外接球的体积等于ABCD解：如图所示，设为正三角形的外心，则，取的中点，则为直角三角形的外心，设三棱锥的外接球的球心为，则平面，平面，所以，所以三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥外接球的体积为，故选：9如图所示，在棱
5、锥中，底面是正方形，边长为，在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为ABC2D解：由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为，连接，、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为，求出四棱锥的表面积：，四棱锥的体积，利用公式，即可计算，故选：10如图，三棱锥中，二面角大小为，则三棱锥的外接球的表面积为ABCD解：分别取、的中点、，则，因为，所以，所以二面角的平面角为，因为，所以，又因，所以，因为是为直角的等腰直角三角形，所以的外心为（外心到三角形三个顶点距离相等），同理可证的外心为点，分别过点作平面的垂线，过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如图，连接，则，在中，所以，所以，所以球的半
6、径为，则故选：11已知三棱锥的四个顶点均在同一个确定的球面上，且，若三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的半径为A2B3C4D5解：由已知可得是等腰直角三角形，为截面圆的直径，故外接球的球心在截面中的射影为的中点，当，共线且，位于截面同一侧时棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为，解得，设外接球的半径为，则，在中，由勾股定理得：，解得故选：12已知的三个顶点均在球心为的球面上，若，球心到平面的距离为，则该球的体积为ABCD解：在中，因为，由余弦定理知，所以，设的外接圆半径为，则由正弦定理知，所以，设球的半径为，则有，所以球体积，故选：13在棱长为2的正方体，分别为棱，的中点，三棱锥的顶点在同一个球面上
7、，则该球的表面积为解：三棱锥的顶点在同一个球面上，由点为棱的中点，可得底面是等腰直角三角形，那么底面的外接圆半径，设球心到的外接圆的圆心的距离为，球半径，则，联立解得该球的表面积故答案为：14如图，在四棱锥中，底面为边长为4的正方形，则四棱锥外接球的表面积为解：如图，连接、相交于点，过点作底面正方形的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，由，可知，有，可得，故在直线上，由，且，可得平面，同理，在中，由，得，得，又由，得，由为正方形，且平面底面，得四棱锥外接球的球心为外接圆的圆心，设半径为，则，则四棱锥外接球的表面积为故答案为：15已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球心在上，则球的表面积为解：如图，取中点，由，得，由，得，连接并延长，交球于，连接，为球的直径，则，可得球的表面积为故答案为：16在正四棱锥中，若四棱锥的体积为，则该四棱锥外接球的体积为解：设，的交点为，球心为，设，则，四棱锥的体积为，在中，该四棱锥外接球的体积为：故答案为：
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