1、6.3.1平面向量基本定理一、教学目标 1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题二、教学重点 了解平面向量基本定理及其意义教学难点 了解向量基底的含义；在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量三、教学过程1、复习回顾情境引入问题1：向量的加法运算法则三角形法则：首尾连连首尾 平行四边形法则同起点,连角线 问题2：如图，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？ 答：如图，向量a可以分解为两个
2、向量的和问题3：当是零向量时，还能用表示吗？答：可以，取，则问题4：若向量与共线，那么还能用这种形式表示吗？答：若向量与共线，取，则若向量与共线时，取，则问题5：平面内任何一个向量a都可以表示成1e1+2e2的形式，这种表示形式是唯一的吗？答：假设即（11）e1+（22）e2=0 假设11，22不全为0不妨假设110则由此可得e1，e2共线，与已知e1，e2不共线矛盾则11，22全为0，即1=1，2=2所以表示形式是唯一的 2、探索新知平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a=1e1+2e2，我们把不共线向量e1
3、，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底注意：(1)基底不唯一，关键是不共线(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解(3)基底给定时，分解形式唯一【例1】如图，不共线，且，用表示解：因为所以 重要结论：如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则【例2】如图，CD是ABC的中线，且CDAB，用向量方法证明ABC是直角三角形证明：如图，设a，b则ab，ab因为CDAB，所以CDDA因为a2CD2，b2DA2所以因此CACB于是ABC是直角三角形方法规律平面向量基本定理的作用以及注意点(1) 根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三
4、角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算(2) 基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量四、课堂练习P27 练习1、如果e1，e2是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是(A)A.若存在实数1，2使1e12e20，则120B.对空间任意向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC.1e12e2(1，2R)不一定在平面内D.对于平面内任意向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对2、如图，在ABC中，若，则等于(A)A. B. C.3 D.解：由题意可得，据此可知，3、在ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以e1，e2表示解：e1e2因
5、为D，E，F依次是边AB的四等分点所以(e1e2)所以e2(e1e2)e1e24、如图所示，平行四边形ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若a，b，试用a，b表示向量，解：abba五、课堂小结1对基底的理解(1)基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决六、课后作业习题6.3 1、11（1）七、课后反思
