1、8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、教学目标 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积二、教学重点 通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法教学难点 会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积三、教学过程1、情境引入生产生活中，我们经常会遇见这样的问题：某产品呈棱锥状，现需对其表面进行涂色；一礼品盒呈长方体状，现需用彩纸对其进行包装在这些实际问题中，所需涂料的多少或者彩纸的大小围成几何体的各个面的面积密切相关，为此我们引入几何体表面积这一概念2、探索新知
2、问题1：将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？答：将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积，棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和 1）棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体的各个面的面积之和 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和【例1】如图，四面体的各棱长均为a，求它的表面积解：因为是正三角形，其边长为a，所以因此，四面体的表面积跟踪训练：现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和
3、15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积解：如图，设底面对角线ACa，BDb，交点为O体对角线A1C15，B1D9a252152，b25292a2200，b256该直四棱柱的底面是菱形AB22264AB8直四棱柱的侧面积S侧485160直四棱柱的底面积S底ACBD20直四棱柱的表面积S表16022016040方法规律：棱柱、棱锥、棱台的表面积求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和问题2、还记得以前学过的特殊棱柱正方体、长方体的体积公式吗？答：V正方体=a3(a为正方体的棱长) V长方体=abc(a、b、c为长方体的长、宽、高)
4、 2）棱柱、棱锥、棱台的体积 （1）棱柱的体积：一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h,那么这个棱柱的体积 V棱柱=Sh （2）棱锥的体积：一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积 : 问题3：棱柱与棱锥体积之间:有什么关系？答：一个三棱柱可以分解成三个体积相等的三棱锥，如图所示 棱锥的体积等于同底等高的棱柱体积的（3）棱台的体积：由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式，其中，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高 问题4：观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？答： 从柱体、锥体
5、、台体的形状可以看出，当台体上底面缩为一点时，台体成为椎体；当台体上底面放大到与下底面相同时，台体成为柱体.因此只要分别令 和 ，便可以从台体的体积公式得到柱体和椎体的体积公式.从而椎体和椎体的体积公式可以统一为台体的体积公式 【例2】如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？解：由题意知所以这个漏斗的容积跟踪训练：如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1D1EF的体积解：由EA1A1D1a2又三棱锥FA1D1
6、E的高为CDaaa2a3a3方法规律：求几何体体积的常用方法四、课堂练习P116 练习1、已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积解：如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心则O1O为正四棱台的高，则O1O12连接OE，O1E1，则OEAB126 ，O1E1A1B13过E1作E1HOE，垂足为H则E1HO1O12，OHO1E13HEOEO1E1633在RtE1HE中，E1E2E1H2HE2122323217所以E1E3所以S侧4(B1C1BC)E1E2(612)31082、
7、如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积解：如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥EABCD42316AB2EF，EFABSEAB2SBEFV三棱锥FEBCV三棱锥CEFBV三棱锥CABEV三棱锥EABCV四棱锥EABCD4多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420五、课堂小结1、棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键2、计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题3、在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”六、课后作业习题8.3 1、2七、课后反思
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