新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期期末复习--概率专题练习.rar

1、必修第二册期末复习-概率专题必修第二册期末复习-概率专题考点一：事件的关系和运算考点一：事件的关系和运算1某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（ ）A至少一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都没有中靶【答案】B【分析】直接利用对立事件的定义判断即可.【解析】由已知条件得事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，故选：B.2从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A至少有一个白球与都是红球B恰好有一个白球与都是红球C至少有一个白球与都是白球D至少有一个白球与至少一

2、个红球【答案】B【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【解析】对于 A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故 A 错误；对于 B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故 B 正确；对于 C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故 C 错误；对于 D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故 D 错误.

3、故选：B.3对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A“两次都击中飞机”，B“两次都没击中飞机”，C“恰有一枚炮弹击中飞机”，D“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）AADBBDCACDDABBD【答案】D【分析】按照事件间的互斥关系和包含关系分析求解即可.【解析】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中， “至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中故 AD ，ACDB，D 为互斥事件，BD；AB“两个飞机都击中或者都没击中”，BD 为必然事件，这两者不相等故选：D考点二、事件的性质考点二、事件的性质1我国西部一个

4、地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示：年降水量（mm）100，150)150，200)200，250)250，300概率0.210.160.130.12则年降水量在200，300（mm）范围内的概率为（ ）A0.29B0.41C0.25D0.63【答案】C【分析】将年降水量在200，300(mm)范围内的事件分拆成两个互斥事件的和，再用互斥事件概率的加法公式即可得解.【解析】年降水量在200，300范围内的事件 A，它是年降水量在200，250)范围内的事件 B 与年降水量在250，300范围内的事件 C 的和，而事件 B 与 C 互斥，且( )0.13, ( )0.12P BP C，则(

5、 )( )( )0.25P AP BP C，所以年降水量在200，300(mm)范围内的概率为 0.25.故选：C2抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为（ ）A23B13C12D56【答案】A【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件 A 和事件 B 发生的概率， 又通过列举可得事件 A 和事件 B 为互斥事件，进而得出事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率即为事件 A 和事件 B 的概率之和【解析】事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“

6、不小于 5 的点数出现”，P(A)2163，P(B)2163，又小于 5 的偶数点有 2 和 4，不小于 5 的点数有 5 和 6，所以事件 A 和事件 B 为互斥事件，则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为P（AB）P(A)+P(B)112333，故选：A【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题3甲乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为 0.2，甲不输的概率为 0.7，则甲乙下成和棋的概率为（ ）A0.5B0.7C0.9D0.4【答案】A【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出【解析】甲不输包含甲、乙两人下成和棋与甲获胜，且甲、乙两人下

7、成和棋与甲获胜是互斥事件，甲、乙下成和棋的概率0.70.20.5P 故选：A4口袋中装有编号为、的 2 个红球和编号为、的 5 个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出 1 个小球，记事件A为“取到的小球的编号为”，事件B为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）AA与B互斥BA与B对立C6()7P ABD6()7P AB 【答案】C【分析】利用互斥事件、对立事件的意义判断 A，B；利用古典概率求出( ), ( ), ()P A P B P AB判断 C，D 作答.【解析】依题意，取到的小球为黑球且编号为，事件A与B同时发生，则A与B不互斥，也不对立，A，B都不正确；由古典

8、概率得：2( )7P A ，5( )7P B ，1()7P AB ，于是得6()( )( )()7P ABP AP BP AB，C 正确，D 不正确.故选：C5已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是13，选中两人都是女生的概率是215，则选中两人中恰有一人是女生的概率为_【答案】815【分析】记“选中两人都是男生”为事件A，“选中两人都是女生”为事件B，“选中两人中恰有一人是女生”为事件C，根据,A B为互斥事件，AB与C为对立事件，从而可求出答案.【解析】记“选中两人都是男生”为事件A，“选中两人都是女生”为事件B，“选中两人中恰有一人是女生”为事件C，易知,A B为

9、互斥事件，AB与C为对立事件，又 12731515P ABP AP B，所以 78111515P CP AB .故答案为：815.考点三、概率基本类型考点三、概率基本类型（一）古典概型（一）古典概型1盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色相同的概率等于（ ）A310B35C25D12【答案】C【分析】将5个球进行编号，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【解析】记3个红色球分别为a、b、c，记2个黄色球分别为A、B，从这5个球中随机抽取2个，所有的基本事件有：ab、

10、ac、aA、aB、bc、bA、bB、cA、cB、AB，共10个，其中，事件“所取出的2个球颜色相同”包含的基本事件有：ab、ac，bc，AB，共 4 个.故所求概率为42105P .故选：C.25 张卡片上分别写有数字 0，1，2，3，4，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是（ ）A12B15C25D35【答案】C【分析】根据古典概型的概率公式计算可得；【解析】5 张卡片中卡片上的数字为奇数的有2张， 从中任意抽取一张， 抽到的卡片上的数字为奇数的概率是25；故选：C3 北京 2022 年冬奥会新增了女子单人雪车短道速滑混合团体接力跳台滑雪混合团体男子自由式滑雪大跳台女子自由式滑

11、雪大跳台自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲乙两人的选择互不影响，那么甲乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ）A249B649C17D27【答案】C【分析】根据古典概型概率的计算公式直接计算.【解析】由题意可知甲乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7 749种情况，其中甲乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是71497，故选：C.4甲、乙两人随机去A，B，C三个景点旅游参

12、观，每人只去一个景点，则两人去同一景点的概率为_.【答案】13【分析】求出基本事件的总数，以及甲乙两人去同一景点包含的基本事件的个数，利用古典概率公式即可求解.【解析】甲、乙两人随机去A，B，C三个景点旅游参观，每人只去一个景点，基本事件有：,A A， ,A B ，,A C，,B A， ,B B， ,B C，,C A ，,C B ，,C C共有9个，两人去同一景点基本事件有,A A，,B B，,C C共有3个，所以两人去同一景点的概率为3193，故答案为：13.5某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从A、B、C、D四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个得分规则是：“全部选对的得

13、5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分”已知某选择题的正确答案是CD，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是_【答案】310【分析】先确定同学随机选择选项一个或两个选项的基本事件总数，再确定其中“能得分”的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式即可计算出所求概率【解析】某同学随机选择选项一个或两个选项，分别为：选择一项有 A， B， C， D；选择两项有：,A B，,A C，,A D，,B C，,B D，,C D；共有基本事件 10 种，其中“能得分”的基本事件有 C， D，,C D，共 3 种，故“能得分”的概率为310故答案为：3106为建立中国特色现

14、代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习“立交桥”，江西省进行高考改革，2021 级高一学生高考不再采用“33”考试模式（即理科学生考语，数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地） ；而改革为“312”考试模式，“312”考试模式为 3 门必考1 门首选2 门再选即“3”统一高考科目语文、数学、外语 3 科 （不分文理科） ； “1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、 历史 2 门首选科目中所选择的 1门科目，“2”政治、地理、化学、生物 4 门中选择的 2

15、 门科目(1)若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“33”考试模式的概率；(2)若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率【答案】(1)16(2)118【分析】（1）根据“312”考试模式为 3 门必考1 门首选2 门再选，得到基本事件的总数，再由甲所选组合恰好是原“33”考试模式有 2 种，利用古典概型的概率求解；（2）由甲同学不选政治，则从物理、历史中选 1 门，从地理、化学、生物中选 2 门得到基本事件数，同理得到乙同学不选化学的基本事件数，从而得到甲同学不选政治，乙同学不选化学基本事件数，再由甲乙两位同学选择了同一种组合

16、2 种，利用古典概型的概率求解.【解析】(1)因为“312”考试模式为 3 门必考1 门首选2 门再选则语文、数学、外语 3 科不用选，从物理、历史中选 1 门有物理、历史 2 种，从政治、地理、化学、生物中选 2 门有（政治、地理） 、 （政治、化学） 、 （政治、生物） 、 （地理、化学） 、 （地理、生物） 、 （化学、生物）共 6 种，则共有2 612种，甲所选组合恰好是原“33”考试模式有（物，化，生） 、 （政，史，地）共 2 种，所以甲所选组合恰好是原“33”考试模式的概率为21126p ；(2)因为甲同学不选政治，则从物理、历史中选 1 门有物理、历史 2 种，从地理、化学、生

17、物中选 2 门有（地理、化学） 、 （地理、生物） 、 （化学、生物）3 种，共有2 36 种；同理乙同学不选化学，共有2 36 种；所以甲同学不选政治，乙同学不选化学有6 636种；甲乙两位同学选择了同一种组合有（物理、地理、生物） ， （历史、地理、生物）2 种，所以甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率213618p 7设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27、9、18，现用分层抽样的方法从三个协会中抽取6名运动员参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；(2)现从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛.列出所有可能的结果；求选到的两名运动员来自同一协会的概

18、率.【答案】(1)甲、乙、丙三个乒乓球协会分别抽取运动员人数为3、1、2(2)答案见解析，415【分析】（1）求出甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数的比例，然后可得答案；（2）列出所有的情况，然后求解即可.【解析】(1)甲、乙、丙三个乒乓球协会分别抽取运动员人数为3、1、2；(2)设甲乒乓球协会分别抽取的3名运动员编号为123,a a a，乙乒乓球协会分别抽取的 1 名运动员编号为b，丙乒乓球协会分别抽取的2名运动员编号为12,c c，选出两人共有 15 种结果， 121311112,a aa aa ba ca c， 2322122,a aa ba ca c， 33132,a ba ca c

19、， 12,b cb c，12( ,)c c两名运动员来自同一协会的结果：1213( ,),( ,),a aa a23,a a12( ,)c c，共有4种；所以选到的两名运动员来自同一协会的概率为415.8甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为 1，2，3，4 的 4 个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n，用,m n表示摸球的结果，如果5mn，算甲赢，否则算乙赢.(1)写出该实验的样本空间；(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)不公平，理由见解析【分析】（

20、1）考虑摸出球的编号情况，根据题意直接写出甲乙两人摸球实验的样本空间；（2）根据（1）的结果，计算两人赢的概率，可得答案.【解析】(1)由题意可得样本空间为 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 3,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4.(2)这种游戏规则是不公平的，理由如下：设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件，由题意事件A包含的基本事件有2,4，3,3，3,4，4,2，4,3，4,4，共 6 个.由古典概型的概率计算公式可得 63168P A ，所以 351188P BP

21、 A ，所以 P AP B，即这种游戏规则不公平9 袋子里有 6 个大小质地完全相同且带有不同编号的小球， 其中有 1 个红球， 2 个白球， 3 个黑球，从中任取 2 个球.(1)写出样本空间；(2)求取出两球颜色不同的概率；(3)求取出两个球中至多一个黑球的概率.【答案】(1)答案见解析；(2)1115；(3)45.【分析】（1）将 1 个红球记为,2a个白球记为12,3b b个黑球记为123,c c c，进而列举出所有可能性，进而得到样本空间；（2）由题意，有 1 红 1 白，1 红 1 黑，1 白 1 黑，共三大类情况，由（1） ，列举出所有可能性，进而求出概率；（3）由题意，有 1

22、红 1 白，1 红 1 黑，1 白 1 黑，2 白，共四大类情况，由（1） ，列举出所有可能性，进而求出概率.【解析】(1)将 1 个红球记为,2a个白球记为12,3b b个黑球记为123,c c c，则样本空间 1212312111213,a ba ba ca ca cb bb cb cb c 212223121323,b cb cb cc cc cc c，共 15 个样本点.(2)记 A 事件为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是 1 红 1 白，1 红 1 黑，1 白 1 黑，则 1212311121321,Aa ba ba ca ca cb cb cb cb c 2223,b cb

23、cA包含 11 个样本点，所以 1115P A .(3)记B事件为“取出两个球至多有一个黑球”，则两球颜色可能是 1 红 1 白，1 红 1 黑，1 白 1 黑，2 白，则 1212312111213,Ba ba ba ca ca cb bb cb cb c 212223,b cb cb cB包含 12 个样本点，所以 124155P B .10某学校对高一某班的50名同学的身高（单位：cm）进行了一次测量，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间） ，画出如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中m的值，估计全班同学身高的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从全班同学中抽取了4名身高在1

24、80,200内的同学，再从这4名同学中任选2名去参加跑步比赛，求选出的2名同学中恰有1名同学身高在190,200内的概率.【答案】(1)0.004m ，中位数为167.5cm(2)12【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可求得m的值，设中位数为x，利用中位数左边的矩形面积之和为0.5列等式可求得x的值；（2）分析可知所抽取的4名学生，身高在180,190的学生人数为3，分别记为a、b、c，身高在190,200的学生人数为1，记为A，列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【解析】(1)由图可得20.0120.0160.

25、0240.040101m，解得0.004m .设中位数为x，前两个矩形的面积之和为0.0040.016100.2，前三个矩形的面积之和为0.20.04 100.60.5，可知160,170 x，所以，0.040.161600.040.5x，解得167.5x，故估计全班同学身高的中位数为167.5cm.(2)所抽取的4名学生，身高在180,190的学生人数为0.012430.0120.004，身高在190,200的学生人数为0.004410.0120.004，设身高在180,190内的同学分别为a、b、c，身高在190,200内的同学为A，则这个试验的样本空间可记为 ,a ba ca Ab cb

26、 Ac A ，共包含6个样本点，记事件:M选出的2名同学中恰有一名同学身高在190,200内.则事件M包含的基本事件有, a A、, b A、, c A，共3种，故3162P M .11第 19 届亚运会将于 2022 年 9 月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障，某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组45，55） ，第二组55，65） ，第三组65，75） ，第四组75，85） ，第五组85，95） ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求 a，

27、b 的值；(2)估计这 100 名候选者面试成绩的众数，平均数；(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取 5 人，然后再从这 5 人中选出 2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】(1)0.005a ，0.025b (2)众数为70，平均数为69.5.(3)25【分析】（1）由频率分布直方图列方程组即能求出, a b的值；（2）观察频率分布直方图即可得众数，根据加权平均数的求解公式可得平均值；（3）根据分层抽样，在75,85和85,95中分别选取 4 人和 1 人，列举出这 5 人中选出 2 人的总的基本事件数，和选出的两人来自不同组的基本事件数，利用

28、古典概型的概率公式求解即可.(1)由题意可知：100.650.7a，20.065101ab，解得0.005a ，0.025b ；(2)由频率分布直方图得众数为6575702，平均数等于50 0.0560 0.2570 0.4580 0.290 0.0569.5.(3)根据分层抽样，75,85和85,95的频率比为0.0240.005，故在75,85和85,95中分别选取 4 人和 1 人，分别设为1234,a a a a和1b，则在这 5 人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有，1213141 123242 1343 14 1,a a a a a a ab a a a a a b a a a

29、 b a b共 10 个，即10n ，记事件A “两人来自不同组”，则事件A包含的样本点有1 12 13 14 1,ab a b a b a b共 4 个，即 4n A ，所以 25n AP An.12某部门举办法律知识问答活动，随机从该市 1868 岁的人群中抽取了一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：18,28） ，28,38） ，38,48） ，48,58） ，58，68，再将其分别编号为第 1 组、第 2 组、第 5 组.该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表和如图所示的频率分布直方图.组号分组回答正确回答正确的人数占的人数本组的比例第 1 组18,28)50.5第 2 组2

30、8,38)18a第 3 组38,48)270.9第 4 组48,58)x0.36第 5 组58,6830.2(1)分别求出a x，的值.(2)从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组各应抽取多少人？(3)在（2）的前提下，在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率.【答案】(1)0.9a ；9x (2)第 2，3，4 组每组各应抽取2,3,1人.(3)35【分析】（1）结合频率分布直方图和频率分布表计算求解即可；（2）根据分层抽样的方案确定抽样比例，进而得答案；（3）根据古典概型列举基本事件，再结合

31、公式计算即可.【解析】(1)由表中的数据可知：第 1 组的人数为50.510人，所以根据频率分布直方图得100.1100n 人，所以第二组有1000.220人，其中回答正确的有18人，故180.920a ，第四组有1000.2525人，所以回答正确的人数25 0.369x 人.综上，0.9a ；9x (2)第 2,3,4 组回答正确的人数比为18:27:92:3:1，所以采用分层抽样的方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组各应抽取2,3,1多少人.(3)设抽出的 6 人来自第 2 组的两人为12,a a，来自第 3 组的三人为123,b b b，来自第 4 组的一人为c，则在所抽取的 6

32、人中随机抽取 2 人颁发幸运奖的可能有：12111213121( ,),( ,),( ,),( ,),( , ),(,)a aa ba ba ba ca b，222321213(,),(,),(, ),( ,),( ,)a ba ba cb bb b，12323( , ),(,),(, ),( , )b cb bb cb c共 15 种，其中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖有12111213121( ,),( ,),( ,),( ,),( , ),(,)a aa ba ba ba ca b，22232(,),(,),(, )a ba ba c共 9 种所以第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的

33、概率为93.155P 13在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了 100个，将其质量指标值分成以下六组 ：40,50，50,60，60,70，90,100，得到如下频率分布直方图.(1)求出直方图中m的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和 75%分位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表） ；(3)现规定：质量指标值小于 70 的口罩为二

34、等品，质量指标值不小于 70 的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的 100 个口罩中抽出 5 个口罩，并从中再随机抽取 2 个作进一步的质量分析，试求这 2 个口罩中恰好有 1 个口罩为一等品的概率.【答案】(1)0.030m (2)平均数为 71，75%分位数为 82(3)35【分析】（1）依据频率之和为 1 即可求得m的值；（2）依据平均数和百分位数定义即可解决；（3）利用分层抽样一等品、二等品各取 3 个、2 个，再以古典概型即可求得这 2 个口罩中恰好有 1个口罩为一等品的概率.【解析】(1)由100.0100.0150.0150.0250.0051m，得0.030m .

35、(2)平均数45 0.1 55 0.1565 0.1575 0.385 0.2595 0.0571x ， 设 75%分位数为n，则0.1 0.15 0.15 0.30800.0250.75n，得82n ， 故估计该企业所生产口罩的质量指标的平均数为 71，75%分位数为 82.(3)由频率分布直方图可知，100 个口罩中一等品、二等品各有 60 个、40 个，由分层抽样可知，所抽取的 5 个口罩中一等品、二等品各有 3 个、2 个.记这 3 个一等品为a，b，c，2 个二等品为d，e，则从 5 个口罩中抽取 2 个的可能结果有：, a b，, a c，, a d，, a e，, b c，, b

36、 d，, b e，, c d，, c e，,d e， 共 10 种， 其中恰有 1个口罩为一等品的可能结果有：, a d，, a e，, b d，, b e，, c d，, c e，共 6 种.故这 2 个口罩中恰好有 1 个口罩为一等品的概率为63105P .（二）相互独立事件的概率（二）相互独立事件的概率1若随机事件,A B满足16P AB ， 23P A ， 14P B ，则事件A与B的关系是（ ）A互斥B相互独立C互为对立D互斥且独立【答案】B【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可【解析】因为 23P A ， 14P B ，又因为106P AB ，所以有 P ABP A

37、 P B，所以事件A与B相互独立，不互斥也不对立故选：B.2在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为 0.8，乙去参观市博物馆的概率为 0.6，且甲乙两人各自行动则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）A0.48B0.32C0.92D0.84【答案】C【分析】根据题意求得甲乙都不去参观博物馆的概率，结合对立事件的概率计算公式，即可求解.【解析】由甲去参观市博物馆的概率为 0.8，乙去参观市博物馆的概率为 0.6，可得甲乙都不去参观博物馆的概率为1(1 0.8) (1 0.6)0.08P ,所以甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是111 0.080.92PP .故选：C.3

38、从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到 2 个红灯的概率为（ ）A124B14C1124D38【答案】B【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【解析】由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到 2 次红灯的概率：111111111(1)(1)(1)23423423441P 故选：B4甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是 0.9 和 0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ）A0.72B0.26C0.7D0.98【答案】D【分析】利用对立事件

39、的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.【解析】由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为0.1、0.2，所以飞行目标被雷达发现的概率为1 0.1 0.20.98.故选：D5某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移栽已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为 0.5，0.6，移栽后成活的概率分别为 0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为_【答案】0.492【分析】记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件 A，“乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件 B，利用相互独立事件的概率公式分别求出两个事件的概率，从而可得出答案.【解析】记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”

40、为事件 A，“乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件 B，则 0.5 0.60.3P A ， 0.6 0.80.48P B ， 0.7P A ， 0.52P B ，故恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为 0.3 0.520.7 0.480.492P ABP ABP A P BP A P B故答案为：0.492.6甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为23，乙投篮命中的概率为34，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.(1)求甲乙各投篮一次，恰好有 1 人命中的概率；(2)求甲乙各投篮一次，至少有 1 人命中的概率.【答案】(1)512；(2)1112.【分析】（1）利

41、用独立事件乘法公式及互斥事件加法求恰好有 1 人命中的概率；（2）首先求出两人都没有命中的概率，利用对立事件的概率求法即可得至少有 1 人命中的概率.【解析】(1)记“甲投篮命中”为A事件，“乙投篮命中”为B事件, 则2( )3P A ，3( )4P B ，由甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B互为独立事件，那么，恰好有 1 人命中的概率P21135P(AB)P(AB)343412.(2)由（1） ，两人都没有命中的概率111()3412P AB ，所以，至少有 1 人命中的概率1PP(AB112)11 .7甲乙两支足球队进行罚点球比赛，约定每轮两队各罚一球，如果有一方罚进点球而另一方罚

42、丢，那么罚进点球的一方获胜， 如果两队都罚进或都罚丢则进行下一轮， 直到有一方获胜或双方都已罚 3球时比赛结束.设两队每次罚进的概率均为23，且各次罚球互不影响.(1)求双方各罚 1 球后比赛结束的概率；(2)求甲队获胜的概率.【答案】(1)49；(2)302729【分析】（1）双方各罚 1 球后比赛结束分为两种情况，甲罚进，乙罚丢，或者乙罚进，甲罚丢，结合事件的概率可得结果；（2）把甲队获胜的事件表示为三个互斥事件的和，结合基本事件的概率可求结果.【解析】(1)设事件kA “甲队第 k 轮点球罚进”，其中 k=1，2，3；事件Bk“乙队第 k 轮点球罚进”，其中 k=1，2，3.设事件 C=

43、“双方各罚 1 球后比赛结束”，则 11111111P CP A BP ABP A P BP A P B22412339.(2)设事件 E=“甲队获胜”，则 211223311P EP A BP CP A BP CP A B22152152130233933933729.8某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲乙两人在笔试中“通过”的概率依次为0.5,0.6，在面试中“通过”的概率依次为0.4,0.3，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么(1)甲乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？

44、(2)甲乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.【答案】(1)甲获得录取的可能性大；(2)0.308.【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求出甲乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果.（2）应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.【解析】(1)记“甲通过笔试”为事件1A，“甲通过面试”为事件2A，“甲获得录取”为事件 A，“乙通过笔试”为事件1B，“乙通过面试”为事件2B，“乙获得录取”为事件 B，则 12( )0.5 0.40.2P AP A P A， 12( )0.6 0.30.18P BP B P B，即( )( )P AP

45、B，所以甲获得录取的可能性大.(2)记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件 C，则( )()()P CP ABP AB( ) ( )( ) ( )P A P BP A P B0.2 0.820.8 0.180.308.9甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为34，乙每轮答对的概率为23.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求： （1）甲，乙在两轮比赛中分别答对 1 道题和 2 道题的概率；（2）该队伍在两轮比赛中答对 3 道题的概率.【答案】 （1）甲两轮答对 1 道题，2 道题的事概率分别为38，916； 乙两轮答对 1 道题，2

46、道题的事概率分别为49，49； （2）512.【分析】(1)利用相互独立事件的概率公式求解即得；(2)把队伍答对 3 道题的事件分拆成甲答对 1 道乙答对 2 道的事件与甲答对 2 道乙答对 1 道的事件的和，再利用互斥事件的概率公式计算而得.【解析】（1）设1A，2A分别表示甲两轮答对 1 道题，2 道题的事件，1B，2B分别表示乙两轮答对 1 道题，2道题的事件，依题意得：13 1324 48P A，2239( )416P A，12 1423 39P B，2224( )39P B；（2）设A “两轮比赛队伍答对 3 道题”，则1221AABA B，且12AB与21A B互斥，1A与2B，2

47、A与1B分别相互独立，所以 122112213 4945( )8 916 912P AP ABP A BP A P BP AP B.因此，该队伍在两轮比赛中答对 3 道题的概率是512.10进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会经济生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q pq，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512.（1）求p和q的值；（2）试求

48、两人共答对 3 道题的概率.【答案】 （1）34p ，23q ； （2）512.【解析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得, p q；（2）分别求出两人答对 1 道的概率，答对两道题的概率，两人共答对 3 道题，则是一人答对 2 道题另一人答对 1 道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论【解析】（1）设A 甲同学答对第一题，B 乙同学答对第一题，则 P Ap， P Bq.设C 甲、乙二人均答对第一题，D=甲、乙二人中恰有一人答对第一题，则CAB，DABAB.由于二人答题互不影响， 且每人各题答题结果互不影响， 所以A与B相互独立，AB与AB相互互斥，所以 P CP ABP

49、A P B，P DP ABAB 11P ABP ABP A P BP A P BP AP BP AP B.由题意可得1,2511,12pqpqqp即1,217.12pqpq解得3,42,3pq或2,33.4pq由于pq，所以34p ，23q .（2）设iA甲同学答对了i道题，iB 乙同学答对了i道题，0i ，1，2.由题意得，11331344448P A，23394416P A，12112433339P B，2224339P B.设E 甲乙二人共答对 3 道题，则1221EABA B.由于iA和iB相互独立，12AB与21A B相互互斥，所以 12211221349458916912P EP

50、ABP A BP A P BP AP B.所以，甲乙二人共答对 3 道题的概率为512.【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设A 甲同学答对第一题，B 乙同学答对第一题，设C 甲、乙二人均答对第一题，D=甲、乙二人中恰有一人答对第一题，则CAB，DABAB同样两人共答对 3 题分拆成甲答对 2 题乙答对 1 题与甲答对 1 题乙答对 2 题两个互斥事件四、概率与数学文化融合四、概率与数学文化融合1中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气歌”是以“春夏秋冬”开始的四句诗，2016 年