1、 任意角的三角函数任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概是三角学中最基本最重要的概念之一念之一. .三角学起源于对三角形边角关系的研究，三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学. .直到直到14641464年，德国数学家雷格蒙塔努斯著年，德国数学家雷格蒙塔努斯著论各论各种三角形种三角形，才独立于天文学之外对三角知识作，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；了较系统的阐说；14141616世纪，三角学曾一度成世纪，三角学曾
2、一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等三角恒等式的建立和推导等等.1631.1631年，三角学传年，三角学传入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线八线”和和“三角三角”.“.“八线八线”是指在单位圆上的八是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随着科线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随
3、着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用学工程和无线电学中有着广泛的应用. .5.2.1 任意角的任意角的三角函数三角函数1.复习引入复习引入初中我们已经学习过锐角的三角函数初中我们已经学习过锐角的三角函数,如图，如图，RtABC中，中，C=90，若已知，若已知a=3，b=4，c=5，试求，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值的值. . 当角当角不是锐角时，我们必须对不是锐角时，我们必须对sin，cos
4、，tan的值进行推广，的值进行推广，以适应任意角的需要以适应任意角的需要.如何定义任意如何定义任意角的三角函数呢角的三角函数呢? 1.1.1.1.掌握任意角的三角函数的定义，正确理解三角函数掌握任意角的三角函数的定义，正确理解三角函数掌握任意角的三角函数的定义，正确理解三角函数掌握任意角的三角函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数是以实数为自变量的函数是以实数为自变量的函数是以实数为自变量的函数. . . . （重点）（重点）2.2.2.2.已知角已知角已知角已知角终边上一点，会求角终边上一点，会求角终边上一点，会求角终边上一点，会求角的各三角函数值的各三角函数值的各三角函数值的各
5、三角函数值. . . .3.3.3.3.掌握三角函数的定义域掌握三角函数的定义域掌握三角函数的定义域掌握三角函数的定义域. . . . （重点、难点）（重点、难点）2、建立模型、建立模型以原点以原点O为圆心为圆心,以单位长度为半径的圆以单位长度为半径的圆称为称为单位圆单位圆.探究探究1：如图：以单位圆的圆心：如图：以单位圆的圆心o为原为原点，以射线点，以射线OA为为x轴的非负半轴建立轴的非负半轴建立直角坐标系，点直角坐标系，点A的坐标为（的坐标为（1,0），），点点P的坐标为（的坐标为（x,y）。射线）。射线OA从从x轴轴的非负半轴开始，绕点的非负半轴开始，绕点O按逆时针方按逆时针方向旋转角，
6、终止位置为向旋转角，终止位置为OP。2、建立、建立模型模型问题问题: :探究探究2:2:一般的，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？P(x,y)A(1,0)xy3.利用单位圆定义任意角的三角函数利用单位圆定义任意角的三角函数设设是一个任意角是一个任意角,它的终边它的终边OP与单位圆交与单位圆交于点于点P(x,y)(1) 把点把点P的纵坐标的纵坐标y叫做叫做的的正弦函数正弦函数,记作记作sin,即即 y=sin(2) 把点把点P的横坐标的横坐标x叫做叫做的的余弦函数余弦函数,记作记作cos,即即 x=cos(3) (3) 叫做叫做的的正切正切, ,记作记作tan,4.三
7、角函数三角函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常记为：称为三角函数，通常记为：yxBAO解解: 在直角坐标系中在直角坐标系中,作出作出5.典型例题典型例题练习练习1：利用三角函数的定义求利用三角函数的定义求 的三个三角函数值的三个三角函数值yxA(1,0)O解解:如图如图, 与单位圆的交点为与单位圆的交点为例例2 已知角已知角的终边上任意一点的终边上任意一点P(x,y),点点P与原点与原点的距离为的距离为r,求证：求证：解解:设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P0(x0,y0).分别过点分别过点P,P0作作x轴的垂线轴的垂线
8、MP,M0P0,则则yxOM0MP(x,y)P0(x0,y0)探究探究3 3 对于确定的角对于确定的角，上述三个比值是否随，上述三个比值是否随点点P P在角在角的终边上的位置的改变而改变呢？的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？为什么？ 提示：提示：由相似三角形的知识可知由相似三角形的知识可知, ,这三个比值不这三个比值不会随着点会随着点P P在角在角的终边上的位置的改变而改变的终边上的位置的改变而改变. .MOP由例由例2可知，只要知道可知，只要知道终边上任意一点终边上任意一点P(x,y),就可以就可以求出角求出角的三角函数值的三角函数值.yxOMP(x,y)练习练习2已知角已知角的终边过点
9、的终边过点P(-12,5),P(-12,5),求角求角的三的三角函数值角函数值. .解解:-+-+yOxOxyOxy6.三角函数在各个象限的三角函数在各个象限的符号符号口诀：口诀： 一全正二正弦；三正切四余弦一全正二正弦；三正切四余弦可以把求任意角的三角函数值转化为求可以把求任意角的三角函数值转化为求0到到2(或或0至至360)角的三角函数值角的三角函数值.7.终边相同的角的同一三角函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等公式一公式一角角终边每终边每绕原点旋转绕原点旋转一周一周,函数值函数值将重复出现将重复出现例例3 3 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号: :解解:(1)因为
10、因为250是第是第_象限角象限角,所以所以cos250 0 (2)因为因为 是第是第_象限角象限角,所以所以 (3)因为因为tan(-672)=tan48+(-2)360=tan48而而48是第一象限角是第一象限角,所以所以 tan(-672) 0(4)因为因为tan3=tan(+2)=tan=0三三四四例例4 4 求下列三角函数值求下列三角函数值1.1.任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义. .2.2.明确各种三角函数的定义域明确各种三角函数的定义域. .3.3.掌握各种三角函数在不同象限的正负掌握各种三角函数在不同象限的正负情况情况. .小结小结作业作业课本第课本第182182页练习页练习1 1、2 2、3 3
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