高中数学基础知识考点.pdf

1、专题专题 01 三角函数与三角恒等变换三角函数与三角恒等变换【命题规律】【命题规律】高考对三角恒等变换、三角函数图象和性质的考查，往往在通过小题考查的同时，在大题中将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查.具体的，先利用三角公式将三角函数式化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档为主. 主要考查数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养.在解题过程中,要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性,注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法,灵活地实现问题的转化.【知识技能方法】【知识技能方法】1

2、、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ Z)函数ysinxycosxytanx图象定义域RR |,2x xkkZ值域 1,1RR R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(,0)k(,0)2k(,0)2k对称轴方程2xkxk无2三角函数的周期性(1)函数sin()yAx的最小正周期2|T 应特别注意函数|sin()|yAx的周期为|T，函数|sin()|yAxb(0b )的最小正周期2|T(2)函数cos()yAx的最小正周期2|T应特别注意函数|cos()|yAx的周期为|T函数|cos()|yAxb(0b )的最小正周期均为2|T第1 页, 共4 0 页(3)函数tan()yA

3、x的最小正周期|T应特别注意函数|tan()|yAx|的周期为|T，函数|tan()|yAxb(0b ) 的最小正周期均为|T3三角函数的奇偶性(1)函数sin()yAx是奇函数k(kZ)，是偶函数2k(kZ)；(2)函数cos()yAx是奇函数2k(kZ)， 是偶函数k(kZ)；(3)函数tan()yAx是奇函数k(kZ)4三角函数的对称性(1)函数sin()yAx的图象的对称轴由2xk(kZ)解得，对称中心的横坐标由xk(kZ)解得；(2)函数cos()yAx的图象的对称轴由xk(kZ)解得， 对称中心的横坐标由2xk(kZ)解得；(3)函数tan()yAx的图象的对称中心由2kxkZ)解

4、得5两角和与差的正弦、余弦、正切公式C()cos()coscossinsinC()cos()coscossinsinS()sin()sincoscossinS()sin()sincoscossinT()tantantan()1tantan变形：tantantan()(1tantan)T()tantantan()1tantan；变形：tantantan()(1tantan)6辅助角公式：22sincossin()axbxabx，（其其中中tanba）；7二倍角公式 第2 页, 共4 0 页S2sin 2x2sinxcosx；变形：1sin 2x(sinxcosx)2，1sin 2x(sinxco

5、sx)2C2cos 2xcos2xsin2x2cos2x112sin2x；变形-降幂公式：21cos2sin2xx21cos2cos2xxT222tanxtan21tanxx8.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：22()1sincosR(2)商数关系：(sintan,)2kkZcos=.9.应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀“奇奇变变偶偶不不变变，符符号号看看象象限限”的应用(2)对给定的式子进行化简或求值问题要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转

6、化 特别要注意每一个角所在的象限， 防止符号及三角函数名出错10.“sincossincos，”关系的应用2(1)2sincossincos，2()12sincossincos，21()2sincossincos.因此在解题中已知 1 个可求另外 2 个11.解决三角函数综合问题的一般步骤第一步：将( )f x化为sincosaxbx的形式第二步：构造222222( )(sincos)abf xabxxabab.第三步：和角公式逆用，得22( )sin()f xabx(其中为辅助角)第四步：利用22( )sin()f xabx研究三角函数的图象与性质第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规

7、范 第3 页, 共4 0 页专专题题 02 解解三三角角形形【命命题题规规律律】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查正弦定理、余弦定理以及解三角形问题，主要考查：1边和角的计算2三角形形状的判断3周长、面积的计算4有关的最值、范围问题.5.平面几何（三角形中线）问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视，在新高考中很多题目开始以开放性题型命.由于 2019 版 A 版教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量的结合考查大概率上升.无论怎样都离不开与三角恒等

8、变换的结合.预测试题难度控制在中等或中等以上，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想【知知识识技技能能方方法法】1、正弦定理及其变形12 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC（）(边化角公式）2 sin,sin,sin222abcABCRRR（ ）(角化边公式）3: :sin:sin:sina b cABC（ ）2、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab3、常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）Bc

9、aAbcCabSABCsin21sin21sin21（两边夹一角） ； 第4 页, 共4 0 页4、基本不等式2abab222abab5、向量化(三角形中线问题）如图在ABC中，D为CB的中点，2ADACAB (此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）6仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)7方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)8方向角：相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似9在ABC

10、中，常有以下结论：（1）ABC.（2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.（3） sin(AB)sinC； cos(AB)cosC； tan(AB)tanC； sin2AB12cos2C； 第5 页, 共4 0 页cos2ABsin2C.（4）三角形中的射影定理在ABC中，abcosCccosB；bacosCccosA；cbcosAacosB.10解三角形的基本元素的计算(1)已知三边a，b，c.运用余弦定理可求三角A，B，C.(2)已知两边a，b及夹角C.运用余弦定理可求第三边c.(3)已知两边a，b及一边对角A.先用正弦定理，求 sinB，sinBsinbAa.A为锐角时，若a

11、bsinA，无解；若absinA，一解；若bsinAab，一解.(4)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边.11.判断三角形形状的两种思路（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用ABC这个结论.12.三角形面积公式的应用原则（1）对于三角形面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.13.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤（1）分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图.（2）

12、建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.（3）求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解.（4）检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.14.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三角恒等变形化简三角函数式进行解三角形.(2)解三角形与三角函数图象与性质的综合应用.15.平面几何中解三角形问题的求解思路（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理 第6 页, 共4 0 页求解.（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.提醒：

13、做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.16.解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系， 然后把角或边作为自变量， 所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.（1）求角的三角函数值的最值：关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅助角公式.（2）求边的最值

14、：边的最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解.有时也可利用均值不等式求解.（3）利用三角函数的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是一种解决此类问题的常规方法. 第7 页, 共4 0 页专专题题 03 数数列列之之通通项项问问题题【命命题题规规律律】数列问题是高考的必考内容，主要考查：1等差等比数列的证明2数列求通项3数列求和4数列不等式问题.5.与概率、导数结合问题在新高考中开放性题型命题值得关注【知知识识技技能能方方法法】1、2,111nSSnSannn，说明：此公式考点为两个方向：方向一，1(2)

15、nnnaSSn即在求通项问题中，用na替换题目中的1nnSS；此考点为主要考点；方向二：1(2)nnnSSan，即在求通项问题中，用1nnSS替换题目中的na，此法和方向一刚好是反方向的；此考点出现频率较少。2.累加法（叠加法）若数列 na满足)()(*1Nnnfaann，则称数列 na为“变差数列”，求变差数列 na的通项时，利用恒等式)2() 1()3()2() 1 ()()()(1123121 nnffffaaaaaaaaannn求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：21(1)aaf32(2)aaf43(3)aaf1(1)nnaaf n将上述1n个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：2

16、132431()()()()nnaaaaaaaa=(1)(2)(3)(1)ffff n整理得：1naa=(1)(2)(3)(1)ffff n3. 累乘法（叠乘法） 第8 页, 共4 0 页若数列 na满足)()(*1Nnnfaann，则称数列 na为“变比数列”，求变比数列 na的通项时， 利用)2() 1()3()2() 1 (113423121 nnffffaaaaaaaaaaannn求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：21(1)afa32(2)afa43(3)afa1(1)nnaf na将上述1n个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：2341231(1)(2) (3)(1)nnaaa

17、affff naaaa整理得：1(1)(2) (3)(1)naffff na4.构造法类型 1： 用“待定系数法”构造等比数列形如pkaann1（pk,为常数，0kp）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为)(1makmann（其中：1kpm），由此构造出新的等比数列man，先求出man的通项，从而求出数列 na的通项公式。类型 2：用“同除法”构造等差数列（1）形如)(*11Nnqpqaannn，可通过两边同除1nq，将它转化为pqaqannnn11，从而构造数列nnqa为等差数列，先求出nnqa的通项，便可求得 na的通项公式。（2） 形如)0(11kakaaannnn， 的数列， 可通

18、过两边同除以nnaa1， 变形为kaann111 第9 页, 共4 0 页的形式，从而构造出新的等差数列na1，先求出na1的通项，便可求得 na的通项公式5.用“倒数变换法”构造等差数列类型 1：形如qpaqaannn1（qp,为常数，0pq）的数列，通过两边取“倒”，变形为qpaann111，即：qpaann111，从而构造出新的等差数列na1，先求出na1的通项，即可求得na.类型 2：形如1nnnkaapaq（qp,为常数，0p ，0q ，0k ）的数列，通过两边取“倒”，变形为111nnqpak ak，可通过换元：1nnba，化简为：1nnqpbbkk（此类型符合专题四类型 1： 用

19、“待定系数法”构造等比数列：形如pkaann1（pk,为常数，0kp） 的数列， 可用 “待定系数法” 将原等式变形为)(1makmann（其中：1kpm） ，由此构造出新的等比数列man， 先求出man的通项， 从而求出数列 na的通项公式。 ） 第1 0 页, 共4 0 页专专题题 04 数数列列之之综综合合问问题题【命命题题规规律律】数列问题是高考的必考内容，主要考查：1等差等比数列的证明2数列求通项3数列求和4数列不等式问题.5.与概率、导数结合问题在新高考中开放性题型命题值得关注【知知识识技技能能方方法法】（一）求和公式1. 等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aa

20、n nSnad.2等比数列前n项和公式一般地，设等比数列123,na a aa的前n项和是nS123naaaa，当1q时，qqaSnn1)1 (1或11nnaa qSq；当1q 时，1naSn（错位相减法）.3. 数列前n项和重要公式：（1）1nkk1 23n 2) 1( nn（2）1(21)nkk1 3521n 2n（3）31nkk2333) 1(2121nnn（4）21nkk) 12)(1(613212222nnnn等差数列中，m nmnSSSmnd；等比数列中，nmm nnmmnSSq SSq S.（二）常见数列求和问题1.倒序相加法，即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项

21、之和都相等，则 第1 1 页, 共4 0 页可使用倒序相加法求数列的前n项和（满足mn maaA（A为常数）的数列）.2.分组求和法，如果一个数列可写成nnncab的形式，而数列 na， nb是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。(2)常见的裂项技巧类型)11(1)(1knnkknn特别注意nnnnknnnnk111) 1(1, 1;111) 1(1, 1类型)(11nknknkn类型)121121(211412nnn（尤其要注意不能丢前边的21）理论上来讲像形如)(11(1

22、1qpqppqpq其中都可以裂项的像)11(1)(1CAnBAnBCCAnBAn也是这种类型类型)2)(1(1) 1(1(21)2)(1(1nnnnnnn类型kkkknnnnn112121)2)(2(24错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列 nc的通项公式nnncab，其中 na、 nb中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比， 然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和这种方法叫q倍错位相减法易错提醒：（1）错位

23、相减过程中最后一项是“”，易错为把原来的“”抄下来； 第1 2 页, 共4 0 页（2）错位相减后，其中一部分构成新的等比数列，应避免等比数列项数数错或漏掉其余的项；5.奇数项、偶数项讨论法. 第1 3 页, 共4 0 页专专题题 05 立立体体几几何何之之线线面面角角问问题题【命命题题规规律律】利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点， 内容以解答题中的一问为主， 主要围绕考查空间直角坐标系的建立、 空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题， 以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式

24、呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.【知知识识技技能能方方法法】（一）直线与平面所成的角1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线l是平面的一条斜线，斜足为M，斜线上一点A在平面上的射影为O，则直线MO是斜线l在平面上的

25、射影.2、直线和平面所成角： （有三种情况）（1） 平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角， 叫这条直线与这个平面所成的角.由定义可知：斜线与平面所成角的范围为0,2；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为2；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为 0.结论：直线与平面所成角的范围为0,2.3、向量法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量， 转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； 第1 4 页, 共4 0 页(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.（3）设直线l的方向向量为a，平

26、面的一个法向量为n，直线l与平面所成的角为，则cos,|a na na n ，sin|cos,|a n . 第1 5 页, 共4 0 页专专题题 06 立立体体几几何何之之二二面面角角问问题题【命命题题规规律律】利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点， 内容以解答题中的一问为主， 主要围绕考查空间直角坐标系的建立、 空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题， 以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通

27、过计算解决立体几何问题距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.【知知识识技技能能方方法法】1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点P，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线PA、PB,则APB称为二面角的平面角。2、二面角的范围：0, 3、向量法求二面角平面角（1）如图，AB，CD是二面角l 的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小,AB CD （2）如图，1n，2n 分别是二面角l 的两个半平面, 的法向量，则二面角的大小满足：121212cos

28、,|nnn nnn ；12coscos,n n ，二面角的大小12,n n(或12,n n ) 第1 6 页, 共4 0 页（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角） 第1 7 页, 共4 0 页专专题题 07 解解析析几几何何之之“三三定定”问问题题【命命题题规规律律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与抛物线和椭圆的位置关系问题，椭圆出现的更多，近年出现了直线与双曲线位置关系或

29、与圆综合的题目， 难度、 位置比较稳定； 命题的主要特点有：一是结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程（轨迹方程） ，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题” ，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究直线方程、斜率、弦长、图形面积等，比如中点弦（弦中点）问题、定点问题、定值问题、定直线问题、范围与最值问题、探索性问题等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题.【知知识识技

30、技能能方方法法】（一）常用的计算弦长的公式:1.若直线AB的方程设为,),(,2211yxByxAmkxy则akxxxxkxxkAB221221221214112.若直线AB的方程设为,),(,2211yxByxAtmyx,则amyyyymyymAB22122122121411注:其中a指的是将直线的方程代入圆锥曲线方程后,化简得出的关于x或y的一元二次方程的平方项系数,指的是该方程的判别式.通常用akAB21或amAB21计算弦长较为简便 第1 8 页, 共4 0 页（二）中点弦问题与“点差法”设直线与圆锥曲线交于BA,两点，AB中点为M，这类与圆锥曲线的弦和弦中点有关的问题， 一般叫做中点

31、弦问题， 点差法是解决中点弦问题的重要方法.其解题的一般步骤是：（1）设BA,两点的坐标分别为 11yxA,、 22yxB,；（2）代入圆锥曲线的方程；（3）将所得方程作差， 结合中点公式 222121yxxyyyMM、 斜率公式2121xxyykAB 等化简，得出结果.（三）在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用1.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计

32、算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2.解题的一般步骤为:（1）设出直线的方程bkxy或tmyx、点的坐标;（2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距离等)表示成直线方程中引入的变量，通过计算得出目标变量为定值3.常考题型：面积有关的定值问题；与角度有关的定值问题；与比值有关的定值问题；与参数有关的定值问题；与斜率有关的定值问题（四）证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型,这类问题解题一般有两种解法. 第1 9 页, 共4 0 页方法 1：设直线，求解参数，一般的解题步骤为：(1)设出直线的方程bkxy或tmyx；(2)通过题

33、干所给的已知条件,进行正确的运算,找到k和mb,和t的关系，或者解出tb,的值；(3) 根据(2)中得出的结果,找出直线过的定点.方法 2：求两点，猜定点，证向量共线.一般的解题步骤为：(1) 通过题干条件，求出直线上的两个点BA,的坐标(含参)；(2)取两个具体的参数值，求出对应的直线AB，并求出它们的交点P，该点即为直线过的定点；(3)证明PA与PB共线，得出直线AB过定点P.注：上面的两个解法中，解法 2 的计算量通常要大一些，故一般首选解法 1.当解法 1 失效或处理起来较为复杂时再考虑解法 2.（五）解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：引进动点的坐

34、标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量 ） ；利用条件找到 过定点的曲线 之间的关系，得到关于 与 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 第2 0 页, 共4 0 页专专题题 08 解解析析几几何何之之最最值值与与范范围围问问题题【命命题题规规律律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与

35、抛物线和椭圆的位置关系问题，椭圆出现的更多，近年出现了直线与双曲线位置关系或与圆综合的题目， 难度、 位置比较稳定； 命题的主要特点有：一是结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程（轨迹方程） ，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题” ，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究直线方程、斜率、弦长、图形面积等，比如中点弦（弦中点）问题、定点问题、定值问题、定直线问题、范围与最值问题、探索性问题等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量

36、积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题.【知知识识技技能能方方法法】1、解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围2.求最值(范围)问题解题的一般步骤是：(1)设出直线的方程bkxy或tmyx、点的坐标；(2)

37、将直线的方程代入圆锥曲线中,计算弦长、点到直线的距离等中间量；(3)将求范围的目标量表示成直线中引入的参数的函数关系式; 第2 1 页, 共4 0 页(4)运用函数、均值不等式等基本方法求出最值(范围).(5 范围问题:首选均值不等式，其次用二次函数，最后选导数.3.均值不等式222( ,)abab a bR变式：22( ,);() ( ,)2ababab a bRaba bR作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”4.圆锥曲线问题常用到的均值不等式形式：（1）2226464

38、tSttt（注意分0,0,0ttt三种情况讨论）（2）224222121212333196123696kABtkkk 当且仅当2219kk时，等号成立（3）2222200002222000025925934259342 25964925925yxyxPQxyxy 当且仅当22002200259259925yxxy时等号成立.（4）22222131111812(8)222222223mmmSmmm当且仅当228mm 时，等号成立(5)222112222211112222221221(21)22 2 14 24 22 21212121kmmmkmkmmSkkkkk 当且仅当221212km 时等号

39、成立. 第2 2 页, 共4 0 页专专题题 09 解解析析几几何何之之探探索索性性问问题题【命命题题规规律律】纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，离心率问题居多，难度在中等以下；大题则是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，较多的考查直线与抛物线和椭圆的位置关系问题，椭圆出现的更多，近年出现了直线与双曲线位置关系或与圆综合的题目， 难度、 位置比较稳定； 命题的主要特点有：一是结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程（轨迹方程） ，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）

40、的位置关系为基础设计“连环题” ，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究直线方程、斜率、弦长、图形面积等，比如中点弦（弦中点）问题、定点问题、定值问题、定直线问题、范围与最值问题、探索性问题等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题.【知知识识技技能能方方法法】（一一）探探索索、存存在在性性问问题题1存在性问题的解法：2先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点

41、、直线、曲线或参数)不存在要注意的是：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.3.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值4.解题的一般步骤为:（1）设出直线的方程bkxy或tmyx、点的坐标;（2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距 第2 3 页, 共4 0 页离等)表示成直线方程中引入

42、的变量，通过计算得出目标变量为定值（二二）三三点点共共线线问问题题1.处理方法一般来说有三个：斜率相等；向量共线；先由其中两点确定直线方程，证明其过第三点.2.证明三点共线问题的解题步骤：（1）求出要证明共线的三点的坐标； （如果已给出，则无需这一步）（2）运用斜率相等或向量共线来证明三点共线，或先由其中两点确定直线方程，证明其过第三点特别提醒：三点共线问题的两个处理方法中，向量共线往往更方便，因为无需考虑斜率不存在的情形，所以大题一般用向量共线，小题用斜率相等。（三三）求求轨轨迹迹方方程程的的方方法法：1.定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义

43、，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2.直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立， 则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系， 再用点P的坐标( , )x y表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标, x y与该参数t的函数关系( )xf t，( )yg t，进而通过消参化为轨迹的普通方程( , )0F x y .4.代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而

44、该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出( , )P x y，用( , )x y表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 第2 4 页, 共4 0 页5.点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122( ,), (,)A x yB xy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12xx，12yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点( , )P x y的坐标满足122xxx，122yyy且直线AB的斜率为2121yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程. 第2 5 页, 共4

45、 0 页专专题题 10 导导数数之之恒恒成成立立问问题题【命命题题规规律律】导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合， 且有综合化更强的趋势 其中涉及不等式恒成立问题是常见类型题目之一.【知知识识技技能能方方法法】1利用导数研究函数的单调性在( , )a b内可导函数( )f x，( )fx在( , )a b任意子区间内都不恒等于 0.( )0( )fxf x在( , )a b上为

46、增函数( )0( )fxf x在( , )a b上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其它点的函数值都小， f(a)0，而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值极小值点，极大值点

47、统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值4、与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理 第2 6 页, 共4 0 页( )

48、f xa：minmaxmax( )( )( )f xaf xaf xa恒成立有解无解5.分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题， 是指在能够判断出参数的系数正负的情况下， 可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题有时需要构造新函数，通过借助导函数，求出新构造函数的最大（小）值；往往涉及到二阶导数.（1）一般地，若不等式 af(x)恒成立，a 的取值范围是 af(x)max；若不等式 af(x)恒成立，则 a 的取值范围是 af(x)min（2）含参数的不等式( )( )f xg x恒

49、成立、有解、无解的处理方法：( )yf x的图象和( )yg x图象特点考考虑；构造函数法，一般构造( )( )( )F xf xg x，转化为( )F x的最值处理；参变分离法，将不等式等价变形为( )ah x，或( )ah x，进而转化为求函数( )h x的最值. 第2 7 页, 共4 0 页专专题题 11 导导数数之之零零点点问问题题【命命题题规规律律】导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、

50、函数的图象等相结合， 且有综合化更强的趋势 其中涉及函数零点问题是常见类型题目之一，主要有零点的确定、零点所在区间的判断、零点个数的判断、根据零点的存在或零点个数确定参数（参数的范围） 、根据零点情况证明不等式等.【知知识识技技能能方方法法】1利用导数确定函数零点的常用方法(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数2.利用函数的零点求参数范围的方法(1)分