3.3-力矩-转动定律解读课件.ppt

1、 寻求类似于牛顿定律、确定刚体寻求类似于牛顿定律、确定刚体在外力矩作用下运动状态发生变化的在外力矩作用下运动状态发生变化的规律规律转动定律。转动定律。1 . .对固定点的力矩对固定点的力矩FrM 这种情况相当于质点绕固定这种情况相当于质点绕固定点点O 转动的情形转动的情形, 可用上面公式可用上面公式.2 . .对固定转轴的力矩对固定转轴的力矩（1）力垂直于转轴力垂直于转轴OPdrrFM（2）力与转轴不垂直力与转轴不垂直FF转轴转轴o rFz转动平面转动平面 可以把力分解为平行于转轴的可以把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量分量和垂直于转轴的分量. . 平行于转轴的力不产生转动效平行于转

2、轴的力不产生转动效果，该力对转轴的力矩为零果，该力对转轴的力矩为零.FrM大小大小：sin rFM方向：沿转方向：沿转轴方向轴方向.M（一）刚体定轴转动的力矩（一）刚体定轴转动的力矩(3) 若刚体受若刚体受N个外力作用个外力作用，NF,F,F21iiiiFrMa合)(FdrM合NNiiFrFrFrMM2211合(4) 若作用在刚体若作用在刚体各处的力是连续分布的，各处的力是连续分布的，可将可将刚体分割成很多小质元，先求作用在每个质刚体分割成很多小质元，先求作用在每个质元上的元力矩，再对所有元力矩求和元上的元力矩，再对所有元力矩求和 (b) 以上公式中以上公式中, 力都应理解为垂直于转轴的分量力

3、都应理解为垂直于转轴的分量, 下同下同.iiiiiMFr注意注意:(5) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消, ,即即内力矩之和总是为零。内力矩之和总是为零。,jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM0Mji,ij合内力M例例1：一匀质细杆，长为一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m ，在摩擦系数为在摩擦系数为 的的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻阻。解：解：摩擦力沿杆摩擦力沿杆连续分布连续分布，杆上各质元均受摩擦力作，杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同用，但各质元受的摩擦阻力矩不同。mlod

4、mdxxx细杆的质量密度细杆的质量密度lm/质元的质量质元的质量dxdm质元受质元受摩擦阻摩擦阻力矩力矩：kdmgxFdrMd阻细杆受的阻力矩：细杆受的阻力矩：阻阻dMM221glmgl21lgxdx0, i xrjdmgFdydmgxdM阻大小方向沿方向沿 -z 轴轴z如图建立坐标系，分割质元。如图建立坐标系，分割质元。例例2）现有一质量为）现有一质量为m，半径为，半径为R的匀质薄圆盘在的匀质薄圆盘在平面内以角速度平面内以角速度转动，求摩擦力产生的力矩。转动，求摩擦力产生的力矩。rdr解：解：rdrRmdsdm 22 取细圆环为质元取细圆环为质元krdrRmgrkgdmrFdrMd22gmR

5、drrRmgdMMR322022( (二）转动定律二）转动定律 要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一要揭示转动惯量的物理意义，实际上是要找到一个类似于牛顿定律的、个类似于牛顿定律的、确定刚体在外力矩作用下运动确定刚体在外力矩作用下运动状态发生变化的规律状态发生变化的规律转动定律。转动定律。质点系的角动量定理：质点系的角动量定理：dtLdM外问题归结为确定刚体的角动量。问题归结为确定刚体的角动量。质点的牛顿运动定律：质点的牛顿运动定律：dtpdF应用于刚体应用于刚体 = = 转动定律转动定律 1. 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量 (a) 质点对点的角动量质点对点的角动量vmrpr

6、L作圆周运动质点的角动量作圆周运动质点的角动量 L rmv (b) 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量在以角速度在以角速度作定轴转动的刚体内作定轴转动的刚体内, 取取质元质元 mi , 则其对则其对OZ 轴的角动量为轴的角动量为rmrmrvmrLiiiiiiiii2 刚体的总角动量，应为组成刚体的所有质元的角刚体的总角动量，应为组成刚体的所有质元的角动量的矢量和。由于刚体作定轴转动时，各质点对定动量的矢量和。由于刚体作定轴转动时，各质点对定轴的角动量都具有相同的方向轴的角动量都具有相同的方向(沿转轴方向沿转轴方向)，因此，因此iiLL矢量式：矢量式：IL irPovZiiirm)(2I2

7、. 转动定律转动定律质点系的角动量定理：质点系的角动量定理：dtLdM外IL 应用于定轴转动刚体：应用于定轴转动刚体：刚体的转动定律刚体的转动定律：dtLdM外dtId)(dtdII刚体的角动量：刚体的角动量：比较：质点的牛顿运动定律比较：质点的牛顿运动定律amdtpdF( (二）转动定律另一推导（由牛顿第二定律导出）二）转动定律另一推导（由牛顿第二定律导出）O OziriFiF内ii刚体可看成是由许多小质元组成，在刚体可看成是由许多小质元组成，在p p点取一点取一质元质元 ，im受力：外力受力：外力 ，与，与 成成 角角iFiri合内力合内力 ，与，与 成成 角角iF内iri) 1)(iin

8、iiiiiaamamFF内只考虑外力与合内力均在转动只考虑外力与合内力均在转动平面内的情形。平面内的情形。对对 mi 应应用牛顿第二定律用牛顿第二定律：)()()(iiiniiiiniiiiiararmaarmFFr内用用 左叉乘左叉乘1）式）式ir0 iniar)()(iiiiiiarmFFr内,iira2iiirar-2 2） 2iiiiiirmFrFr内 1)(iiniiiiiaamamFF内)(方向沿iinra)(2iiiiiiiiirmFrFr内将将2）式对整个刚体求和）式对整个刚体求和0 iiiFr内iiirmI2IFrMiii合外力IM 刚体的转动定律刚体的转动定律-2 2） 2

9、iiiiiirmFrFr内刚体的转动定律刚体的转动定律：绕某定轴转动的刚体，所：绕某定轴转动的刚体，所受合外力矩等于刚体对该轴的转动惯量与角受合外力矩等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向沿转轴。加速度的乘积，方向沿转轴。IM 说明说明：2） ,IM应是对同一轴而言的应是对同一轴而言的；4) 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 3）转动定律是瞬时对应关系转动定律是瞬时对应关系；1) 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）5 5）转动定律说明了转动定律说明了I I 是物体转动惯性大小的量是物体转动惯性大小的

10、量度。因为度。因为： IM一定时一定时 I即即I 越大的物体，保持原来转动状态的性质就越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转动惯性就越大；反之，越强，转动惯性就越大；反之，I I 越小，越容越小，越容易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或者说转动惯性越小说转动惯性越小。如一个外径和质量相同的实心圆柱与如一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转空心圆筒，若受力和力矩一样，谁转动得快些呢动得快些呢？IM MM纸风车纸风车不敢不敢！电风扇电风扇没事没事！I小，速度慢，用很小小，速度慢，用很小阻力矩就可以停下阻力矩就可以停下I大，速度

11、快，用很大，速度快，用很大阻力矩才能停下大阻力矩才能停下, IIM怎么解释怎么解释？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？飞轮是一种惯性装置，是连接在曲轴上的一个飞轮是一种惯性装置，是连接在曲轴上的一个盘状的构件，它依靠较大的转动惯性来维持发盘状的构件，它依靠较大的转动惯性来维持发动机的平稳转动。动机的平稳转动。 竿子长些还是短些较安全竿子长些还是短些较安全？由刚体转动定律由刚体转动定律IM 设杆子倾斜设杆子倾斜 角，则角，则LmgLMsin外2231LmLILLg1sin3即：杆越长即：杆越长, 角加角加速度越小速度越小, 状态越状态越不容改变不容改变 ( 惯

12、性惯性大大), 因而越安全因而越安全.mgL支撑点支撑点（肩膀）（肩膀）T例例1: 一质量为一质量为 m1 的物体绕在一半径为的物体绕在一半径为 r 质量为质量为 m2 的圆的圆盘上盘上, 开始时静止开始时静止, 求重物的加速度、绳中的张力和求重物的加速度、绳中的张力和 t 时时刻重物下降多高刻重物下降多高? (绳的质量与轴上的磨擦力不计绳的质量与轴上的磨擦力不计).r rm m2 2m m1 1m1grm2gTTN N已知已知: : m1 、m2、r求求：a、T、h解：取刚体顺时针转解：取刚体顺时针转动、动、m1 1 向下运动为向下运动为正方向正方向. .T隔离物体，分析受力隔离物体，分析受

13、力列方程列方程：a +m1g - T= m1a.(1)Tr=I (2)221mrI a = r (3)(4)(4)T=TTrm2m1m1grm2gTTNTa+ +m1g - T= m1a.(1)Tr=I (2)221mrI a = r (3)T=T (4)T=T=I rm1g - = m1aI rm1g - = m1r I r =m1grm1r2+Im1grm1r2+ m2r212 =2m1g(2m1+m2)r=a = r =2m1g2m1+m2由由(2)(2)式式: :代入代入(1)(1)式式: :所以所以: :Trm2m1m1grm2gTTNTa+ +a = r221ath m1gt22m

14、1+m2=注意注意: a等于常数且初速为零等于常数且初速为零!T=T=I r2m1g(2m1+m2)r= T=m1m2g2m1+m2所以所以:2m1g2m1+m2=m1gm1g - T= m1a.(1)Tr=I (2)221mrI a = r (3)T=T (4)例例2. 如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为平轴转动。已知棒长为L，质量为，质量为m，开始时棒处于水平位置。开始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，求：令棒由静止下摆，求：(1) 棒在任意位置时的重力矩棒在任意位置时的重力矩; (2)棒在任棒在任意位置

15、时的角加速度和角速度意位置时的角加速度和角速度. 矩棒在任意位置时的重力解) 1 ( :,31)2(2mLIMdddtddddtd00cos23dLgd分离变量积分Lg)sin3(coscos000gdllgldmdMMLLLcoscos2cos212CmgLLmggLLC为为质心质心到转到转轴的轴的距离距离cos23Lgcos23Lg可见：刚体的可见：刚体的重力矩等于重重力矩等于重力集中于刚体力集中于刚体质心处的力矩质心处的力矩dmldoNcmg例例3. 两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为合轮。小圆盘的半径为r，质量为质量

16、为m；大圆盘的半径大圆盘的半径 r=2r，质量，质量 m = 2m。组合轮可以绕通过其中心且垂组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴直于盘面的光滑水平固定轴o 转动。两圆盘边缘上分转动。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为 m 的物体的物体A 和和 B，这一系统从静止开始运动这一系统从静止开始运动, 绳与盘无相对滑动且绳与盘无相对滑动且长度不变。已知长度不变。已知 r =10cm. (1)证明组合轮的转动惯量证明组合轮的转动惯量 I = 9mr2/ 2 ；(2) 求组合轮的角加速度；求组合轮的角加速度；(3) 求物体求物体 A 上上

17、升升h=0.4m 时，组合轮的角速度。时，组合轮的角速度。解：解：aTTTTamgmgrm,rm,ABo(1) 组合轮的转动惯量组合轮的转动惯量22m21m21IrrII大轮小轮22)(2m)(221m21rr 229mr121srad08. 9)2(2rhaTTTTamgmgrm,rm,ABott,212, ra2srad3 .10)19(2:rg解得IrTrT 2ra2amTmgmamgT(2) 求组合轮的角加速度求组合轮的角加速度229mrI 设设 为组合轮转过的角度，为组合轮转过的角度，则则(3) 求物体求物体 A 上升上升h=0.4m 时，组合轮的角速度。时，组合轮的角速度。rh/取

18、任一状态取任一状态, ,由转动定律由转动定律ImglMsin21外231mlI sin23lg例例4.4. 一长为一长为 l, 质量为质量为m 的匀质细杆竖直放置的匀质细杆竖直放置,其下端与其下端与一固定铰链一固定铰链O 相连相连, 并可绕其转动并可绕其转动. 当其受到微小扰动时当其受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链 O 转动转动. 试计试计算细杆转到与铅直线呈算细杆转到与铅直线呈 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度. 细杆受重力细杆受重力mg 和铰链对细杆的约束和铰链对细杆的约束力力FN 作用作用)cos1 (23lg00dsi

19、n23dlgsin23dd dddd ddlgttdsin23dlg初始条件为：初始条件为： =0， =0 例例5. 一静止刚体受到一等于一静止刚体受到一等于M0的不变力矩的作用的不变力矩的作用, 同时又引起一阻力矩同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的角速与刚体转动的角速度成正比度成正比, 即即| M1 |= a , (a为常数为常数)。已知刚体对转。已知刚体对转轴的转动惯量为轴的转动惯量为 I , 试求刚体角速度变化的规律。试求刚体角速度变化的规律。M+M0M1已知已知：M0，M1= a ， I， |t=0=0求求： （t）=？解：解： 1 1）以刚体为研究对象以刚体为研究对象；2 2

20、）分析受力矩分析受力矩3 3）建立轴的正方向建立轴的正方向；4 4）列方程列方程： IMM 10IM+M0M1=a 解解：4 4）列方程列方程： IMM 10IMM10 IaM 0IaMdtd 0IdtaMd 0 tIdtaMd000 ItMaMa )(ln100 IateMaM 00 )1(10IateMa 分离变量分离变量：2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1armmm.321求：求：2121.TTaa解解：以：以.321mmm为研究为研究对象对象。受力分析受力分析：,:111Tgmm,:222Tgmm Ngmm,:3321,TT例例6. 质量分别为质量分别为 m1、m2 的物体

21、，通过轻绳挂在质量为的物体，通过轻绳挂在质量为m3半径为半径为 r 的圆盘形滑轮上。求物体的圆盘形滑轮上。求物体 m1 、m2 运动的加运动的加速度以及绳子的张力速度以及绳子的张力T1, T2（绳子质量不计）。（绳子质量不计）。, ,已知已知：建立轴的正向：取滑轮逆时建立轴的正向：取滑轮逆时针转动为力矩的正方向针转动为力矩的正方向m1m2)3(21 IrTrT )5(21raa)1(1111amTgm )4(2123rmI 321212121)(mmmgmmaa 列方程列方程：)2(2222amgmT +解上面解上面5个方程个方程，得得：2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1a m1m23213121121212mmmgmmgmmT321212121)(mmmgmmaa3213221221212mmmgmmgmmT+2T1Tr1T2Tgm2Ngm1gm3M2a1a m1m2