1、 3.4 单值函数的孤立奇点单值函数的孤立奇点 函数的奇点以及关于函数在孤立奇点邻域内的性质的讨论在很多问题(留数理论及其应用、线性常微分方程的解析理论)中有重要意义。 重点讨论：单值函数(或多值函数的单值分支)的孤立奇点一、孤立奇点与非孤立奇点孤立奇点的定义： 若 f(z)在z = b不解析 (或没有定义)，而在z=b的无心邻域 0 |zb | 0)，而不含z的更高次项， 则称无限远点为 f (z)的 m 阶极点。(III) 如果展开式(2) 中不含z的正幂项，则称无限远点为f(z) 的可去奇点。此时(因为不含正幂项)00lim( )zf zba因而可以去掉这个奇点，而说函数 f (z) 在
2、无限远点解析。这相当于重新定义一个函数： z时的极限值 = 函数值例 求函数 有哪些极点，并判断极点的阶数。azsinsin1sinsin0sinsinzaza122(21)( ,0, 1, 2,)znazman m 解：sinzsina 的n阶零点就是所给函数的n阶极点。此三角方程有解：azsinsin1z1, z2 是函数sinzsina 的零点，也就是 的极点。为了判断零点的阶数，可以将sinzsina 在z1, z2 作泰勒展开，看其不为零的最小正幂项的幂次为多少，也可求sinzsina在z1, z2 点的导数值，看其不为零的导数的次数为多少。)2cos()sin(sin1anazz如果 ， 此导数不为零，故z1为函数sinzsina的一阶零点，因而是函数 的一阶极点。(0, 1, 2,)2akk azsinsin1当 时，需要求sinzsina的二阶导数： 2 ka0)22sin(sin)sin(sin11 nkzazz这表明，当 时， z1是sinzsina 的二阶零点，2 ka从而是函数 的二阶极点。 azsinsin1同理可证，当 时，z2 是 的一阶极点；2 kaazsinsin1当 时， z2 是 的二阶极点。 2 kaazsinsin1
