机理分析和测试分析课件.pptx

1、机理分析：基于问题的特点，建立数学模型来揭示问题的内在规律和本质。例：经典力学的Newton定律，万有引力定律，光的折射定律，计算体积的微积分方法等。机理分析的基本工具： 微分方程 差分方程 数学规划 图与网络的方法 概率的方法 随机过程 .测试分析的基本工具： 函数插值 最小二乘拟合 随机模拟 统计分析如数据的分布等机理分析是数学建模的主要方法。机理分析是从根上分析事物，揭示事物的内在规律和区别于其他事物的基本特征。测试分析基于实验和观测数据，方法具有普适性，但对事物区别于其他事物的特性难以做出深刻的刻画。因此，能够利用机理分析建立模型的问题，一般不要利用数据处理的一般方法进行建模。机理分析

2、和测试分析的结合是我们建模的基本方法。通过机理模型建立模型的基本结构，然后利用测试分析确定模型中的相关参数，是完成建模的基本步骤。函数插值：我们的数学工具通常是处理连续问题的，如微积分、微分方程等。但是由于连续问题涉及到无穷个元素和无穷次运算，无法利用计算机处理，我们的通常做法为：把问题离散化。所谓离散化，就是将采集和处理的数据限制在有限个给定的点上。所谓曲线拟合，就是利用已知的离散点信息，求在这些点的附近的未知点的信息。曲线拟合的两种基本方法：(1)插值。过已知点做光滑曲线，把离散信息转化为连续信息。从而得到没有给出信息的近似值。一维插值类似于数据点的曲线板连接。二维插值类似于抹腻子。插值的

3、matlab函数 interp1 interp2 spline插值的应用例1：水塔流量的估计。(美国数学建模竞赛题)例2：逢山开路(全国大学生数学建模竞赛题)例3：最小二乘逼近。在许多情况下，数据带有随机波动(如图)。在这种情况下，例1：降落伞的选择为向灾区投放救灾物质2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为500米，要求降落伞落地时速度不超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长l共16根绳索连接所载重物m。(如图)每个降落伞的价格由三部分组成。伞面的费用C1由伞的半径r决定,规格和单价如下表绳索费用为4元/米，固定费用为200元r(m) 2 2.5 3 3.5 4C1(元)

4、65 170 350 660 1000降落伞在降落过程中受到空气阻力，可以认为空气阻力与降落速度及伞的面积成正比。为了确定阻力系数，用半径r=3m，载重m=300kg从500m高度作降落试验，测的各时刻t的高度x如下表t(s)0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30X(m) 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径。在满足空投条件下，费用最低。问题分析：这是一个购买降落伞的问题。决策变量：第i种伞购买xi个。记第i种伞可以载重mi，伞面价格Ci,则总费用为551511min200() 16

5、iiiiiiC xxxk xL载重量约束为513000iiix m问题分析：设空气的阻力系数为，根据题意可以列出降落伞的运动方程(以下方为正向)(0)0dvmSvmgvdt解得：1StmmgveS问题归结为：伞面Ci的大载重量mi是多少？由解得( )(0)0dxv txdt1StmmgmxteSS下面先确定空气阻尼系数。代入m=300，S=2r3/3=18得到 3505050133tgxte利用最小二乘拟合函数lsqcurvefit来确定参数。其中数据为t(s)0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30X(m) 500 470 425 372 317 264 215 160 10

6、8 55 1程序：function paric tdata=0:3:30;Xdata=500-500,470,425,372,317,264,215,160,108,55,1;r0=0.1;r=lsqcurvefit(paric1,r0,tdata,Xdata)x=paric1(r,tdata);plot(tdata,Xdata,tdata,x)end function f=paric1(r,tdata)f=50*9.8/(3*r*pi)*(tdata+50/3/r/pi*(exp(-3*r*pi*tdata/50)-1);end 计算得到 =2.9377下面的图显示了拟合效果。0510152

7、025300501001502002503003504004505001StmmgmxteSS落地时间t0满足且 005001StmmgmteSS00()120Stmmgv teS由上面两个式子可以求出m。一个最直接的模型是Logistic模型(1)dxxrxdtN其精确解为 0( )1 (1)rtNx tNex利用最小二乘法可以求出参数r,x0和N。但计算得到的x(50)=650万2011 C题题 企业退休职工养老金制度的改革企业退休职工养老金制度的改革养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我

8、国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率

9、计息，为简单起见，利率统一设定为3%。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%

10、. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的

11、参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。197519801985199019952000200

12、5201000.511.522.533.5x 104下面的图是题目所给出的职工工资随时间增长数据。许多同学分析这个问题的一个误区是把这组数据看作无法分析机理的问题，即只能见黑箱模型。因此，一眼看上去像一个3次多项式，马上利用三次多项式拟合，并利用这个多项式做预测得到下图1970198019902000201020202030204020500123456x 105yearincome 预 测数 据人均达到五十五万！先不谈预测的正确与否，我们来分析问题是否没有机理可以在建模中起作用。首先读一下题目中下面段落：养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近

13、30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。这一段告诉我们：(1)职工工资逐年增长；(2)发达国家的经济和工资增长率都较低，而要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，因此工资增长率要逐年降低，到2050年到较低的水平。利用数学模型描述，就是：其中r(x)是单调减函数，且r(2050)很小。由于x(1978)=566，是一个很小的数，我们可以作变换y=x-1978. ( )dxr x xdt一个最直接的模型是Logistic模型(1)(0)566dyyry

14、ydtN其精确解为 0( )1 (1)rtNy tNey利用最小二乘法可以求出参数r,y0和N。但计算得到的y(50)=200万1975198019851990199520002005201000.511.522.533.5x 104timeincome simulationdata拟合结果(好像不错)19701980199020002010202020302040205001234567x 106timeincome simulationdata预测结果：到2050年人均650万！(合理吗？)模型的修改：修改后的模型与数据产生偏移。所以，模型和数据拟合的不太好。是不是可以改进模型呢？可以考虑

15、更一般的模型：1(0)566dyyryydtN问题：这个方程的解比较复杂，难以写成解析形式。那么，如何对解作最小二乘拟合呢？ ( , , )yy t N r例3：城市表层土壤中重金属污染的传播在微分方程模型中，我们推导了问题的基本模型。设重金属浓度为w(t,x,y)，流量q(t,x,y)，地势高度h(x,y)，则设 是初始浓度，我们的问题是求反问题：已知当t充分大时的w(t,x,y)如何得到yxzqqqwtxyzkw h q(0, , )wx y(0, , )wx yyxzqqqwtxyzkw h q上面式子是以w(t,x,y)为解函数的偏微分方程。但与普通微分方程的求解不同，我们不是根据初始

16、条件w(0,x,y)求解w(t,x,y)求初始状态w(0,x,y)。这样的问题称为反问题。上面仅仅是第一步，即建立了描述重金属传播的机理模型。下一步是利用数据来求解，最后得到所求的结果。这里，测试分析的技术将发挥重要作用。首先，方程的自变量是(t,x,y)。在空间位置上属于直角坐标。在对方程离散时，需要建立矩形网格(如图)xyO(xi,yj)为什么要建立网格呢？在实际问题中，我们通常需要把连续的模型离散化。即只考虑一些离散的点。在这种情况下，只有这些点上的值对我们的处理有意义。比如，在一个油田的勘探中，我们每隔50米测一个数据。这样就建立了一个步长为50的网格。网线的交点称为网格点。我们测量、分析和采集的数集以及计算的结果都在这些点上。如果需要网格点以外的数据怎么办？进行插值计算！什么是插值？就是插入的非数据点的值。如何计算这样的插值点呢？我们可以利用插值方法。一维插值方法很像一个曲线板，把数据点用曲线光滑地连接起来，然后利用曲线上的值近似插入点的值。一元函数插值的matlab函数有interp1和spline。二元函数的插值