行列式的应用课件.ppt

1、第二章第二章 行列式行列式 (determinant )2.1 行列式的定义行列式的定义2.2 行列式的性质行列式的性质2.3 行列式的应用行列式的应用 一一 、克拉默克拉默(Cramer) 二、矩阵求逆公式二、矩阵求逆公式 三、矩阵的秩三、矩阵的秩2.3 行列式的应用行列式的应用一一 、克拉默克拉默(Cramer)法则法则设设n n个方程个方程n n个未知数的非齐次线性方程组为个未知数的非齐次线性方程组为11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式11

2、12121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa定理定理2.2 克拉默法则克拉默法则 且解可以表示为且解可以表示为那么线性方程组那么线性方程组(1)有唯一解，有唯一解，.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 定理定理2.32.3 如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式

3、必为零解，则它的系数行列式必为零. .对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组 1111221211222211220020nnnnnnnnna xa xa xa xa xaxa xaxax 定理定理2.42.4 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)(2)的系数行列式的系数行列式 , ,则齐次线性方程组则齐次线性方程组 (2)(2)只有零解只有零解. .0 D方程组方程组(2)(2)是方程组（是方程组（1 1）的特例，将定理）的特例，将定理2.22.2应用到方程应用到方程组组(2)(2)得到得到定理定理2.52.5如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2) (2) 有非零解有非零解, ,则它

4、则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. . 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解. .今后可证今后可证: :系数行列式系数行列式0 D例例1 用克拉默法则解线性方程组用克拉默法则解线性方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81

5、 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx例例2 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？ 111132421D解解 101112431 1331212332212cc)2)(3( 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 0

6、01121223312)1(13 cc二、矩阵求逆公式二、矩阵求逆公式定义定义2.2 伴随矩阵伴随矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵称为矩阵A 的的伴随矩阵伴随矩阵,(),ijn nijijAaaAn 设设矩矩阵阵元元素素的的代代数数余余子子式式按按如如下下的的顺顺序序构构成成的的 阶阶矩矩阵阵例例3 123214221A. 求求的的伴伴随随矩矩阵阵A 记记为为定理定理2.6n n()ijAa,AAA AA E. 设设则则证明证明 ,ijaA 设设 ,ijbAA 记记则则jninjijiijAaAaAab 2211 0 Aijij 111211121121222

7、122221212nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAA AAA EA112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnAAAaaaAAAaaaA AAAAaaa AAA EA定理定理2.72.7 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 A0 A.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.,0,0非非奇奇异异矩矩阵阵称称为为时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA AA.由由此此可可得得是是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是为为非非奇奇异异矩矩阵阵,11 AAA且且11A,A

8、.A 从从证证明明中中可可知知: :若若 可可逆逆 则则有有 .,1 ABEBAEAB则则或或若若推论推论例例4 求下列矩阵的逆矩阵求下列矩阵的逆矩阵1112112212212122aa(1)B,a aa a0.aa其其中中a(2)Ab,a,b,c0c123(3) A221343 112131122232132333AAAAAAAAAA 得得2343122321 A解解.1存在存在 A故故 AAA11 22256346221.11125323231 264365,222 11AA,A,AA.A例例5 5 若若 可可逆逆 证证明明亦亦可可逆逆 且且 .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆

9、可逆若若逆矩阵的运算性质小结逆矩阵的运算性质小结 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若, 0,2AA .111 AA .,3AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 .,411AAAAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,5ABBA 1ABB1 1 A112(3 )2A, A,AA 设设 为为三三阶阶方方阵阵求求例例612821A,BA BABAE,A,B 例例7 7设设满满足足方方程程求求三、矩阵的秩三、矩阵的秩. , 数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为

10、为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵nmA 矩阵的秩矩阵的秩定义定义2.32.3 k k阶子式阶子式列列行行中任取中任取矩阵矩阵在在kkAmn (kmin m,n ), 位于这些行、列交叉处的位于这些行、列交叉处的2k个元素，个元素，.阶子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵k k阶行列式，阶行列式，中所处的位置次序而得的中所处的位置次序而得的kA不改变它们在不改变它们在A. 个个阶子式共有阶子式共有的的矩阵矩阵knkmCCkAnm 例如例如 123421213112A. 求求的的所所有有子子式式解：解：A的每一个元素为的每一个元素为A的一阶子式的一阶子式同理，还

11、可取第一、第三行；第二、第三行计算出的所有二阶子式同理，还可取第一、第三行；第二、第三行计算出的所有二阶子式 1213,212214232434,21121121A的二阶子式可先选的二阶子式可先选A的第一、第二行，的第一、第二行， A中含有这两行元素中含有这两行元素的所有二阶子式为的所有二阶子式为若若A中取三行，可得三阶子式为中取三行，可得三阶子式为123212311,124 134 234211 ,221 121312 312 112,由于由于A为为 矩阵，所以矩阵，所以A中最高阶子式为三阶子式中最高阶子式为三阶子式. . 3 4 010R(4)2.ArD.rDArAA . 设设在在矩矩阵阵

12、中中有有一一个个不不等等于于的的阶阶子子式式，且且所所有有阶阶子子式式（如如果果存存在在的的话话）全全等等于于 ，那那末末称称为为矩矩阵阵 的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数称称为为矩矩阵阵的的秩秩，记记作作并并规规定定零零矩矩阵阵定定的的秩秩等等于于零零义义.)( 子式的最高阶数子式的最高阶数中不等于零的中不等于零的是是的秩的秩矩阵矩阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显有显有( )R A 显显然然m,n,min( )=m,n,R Amin若若则称则称A为满秩矩阵为满秩矩阵例例1 1，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 510231202231A, 022031 1021

13、20231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR做初等变换，做初等变换，对矩阵对矩阵 510231202231A如果如果31r2r1322132202130213B,20150000 显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，R(B)=2此方法简单！此方法简单！说明对说明对A施行施行ijrkr 的初等变换后的初等变换后,矩阵的秩不变矩阵的秩不变此时此时B与与A的秩相同的秩相同如果对如果对B再施行初等行变换再施行初等行变换12rr或或2rk(k0)也不会改变也不会改变B的秩的秩,从而

14、也不改变从而也不改变A的秩的秩 8 2.A B,R AR B . 则则理理若若定定 上例上例说明说明: 经有限次初等行变换矩阵的秩仍不经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变变 ).()(,BRARBA 也有也有经初等列变换变为经初等列变换变为设设初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例2.,41461351021632305023 秩秩的的求矩阵求矩阵设设AA 阶阶梯梯形形矩矩阵阵：作作初初等等行行变变换换，变变成成行行对对A解解 4

15、1461351021632305023 A 00000840001134041461 由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知. 3)( AR例例3 3 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),( bAB的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为设设分析：分析：的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则则AA).()(),(BRARbA及及中可同时看出中可同时看出故从故从 46063332422084211221B)|(00000100000120011221bA . 3)(, 2)( BRAR k(1)R(A)1;(2

16、)R(A)2;(3)R(A)31-23k1-23k例例4 4 设设A= -12k-3A= -12k-3 问问 取取何何值值时时k-23k-23可可使使下面讨论矩阵秩的一些性质和公式下面讨论矩阵秩的一些性质和公式性质性质1 0( )=r00rm nrEAmnAAEr 设设 为为矩矩阵阵, ,则则R R的的标标准准型型为为其其中中为为 阶阶单单位位阵阵. . ,.例例5 5 写写出出下下列列矩矩阵阵的的标标准准型型 并并指指出出哪哪个个是是满满秩秩矩矩阵阵, 2)(,A)1(43 AR, 3)(,A)2(43 AR, 3)(,A)3(33 AR, 1)(,A)4(41 AR小结：小结：.,)(则如

17、下几个命题等价则如下几个命题等价设设nnijaA A A,R(A)n;可可逆逆方方阵阵 满满秩秩 即即AEA0;12Si AP PP ,P;为为初初等等方方阵阵性质性质2 m nn mm nA,B,C 设设(1) R( )=n(),R()=R( )AAABB若若此此时时称称 为为列列满满秩秩 则则(2) R( )=m(),R()=R( )AACAC若若此此时时称称 为为行行满满秩秩 则则,R()=R()=R( )AABBAB特特别别地地 若若 可可逆逆 则则 23416232344630Ax,B 设设例例6()=2,x,R AABA. 若若求求 并并写写出出 的的标标准准型型关于矩阵秩的几个常见公式关于矩阵秩的几个常见公式: m nm n(1) A,B,max R(A),R(B)R(A,B)R(A)R(B);R(AB)R(A)R(B)设设 )(),(min)()()( ,A )2(nmBRARABRnBRARBsn 设设n n A,R(A)r,R(A ) 例例8 8 设设求求 1-nR(A) 01-nR(A) 1 nR(A) n)(AR2n n A,AE,R(A)R(AE)n 例例7 7 设设证证