1、第一章第一章 向量与坐标向量与坐标1.9 三向量的三向量的混合积混合积1. 定义定义已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacbazyxzyxbbbaaaxcyczckji2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcy
2、czc3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是0(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabcbc a baS=|a b| h| | abc|jPr| cbaba h S V 4.4. 混合混合积的几何意义积的几何意义|cba h ac a bb4.4. 混合混合积的几何意义积的几何意义.| | abc|jPr| cbaba h S V |cba h ac a bb4.4. 混合混合积的几何意义积的几何意义.其混合积其混合积 abc = 0| | abc|jPr| cbaba h S V |cba 三矢三矢 a, b, c共面共面因此，因此
3、，例例1. 已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2, 1( k4 ) , 求该四面体体积 . 1A2A3A4A解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA例例1. 证明四点, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面 .解解: 因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四点共面 .ADACAB内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:
4、),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2j
5、ibkjia,baba及BabcAC证证: 由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB22343cos322)2(17备用题备用题1. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba22200)2(211ABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC| BD5211| BD52|BD2.而故有作业作业P58 1，2，4，5
