1、10.2 双曲线及其性质,高考数学,考点一双曲线的定义和标准方程1.双曲线的基本知识,知识清单,2.(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.(2)等轴双曲线?离心率e=?两条渐近线互相垂直(位置关系).3.双曲线?-?=1(a0,b0)的共轭双曲线的方程为?-?=1,它们有共同的渐近线y=?x,它们的离心率e1、e2满足的关系式为?+?=1.,考点二双曲线的几何性质1.双基表,2.点P(x0,y0)和双曲线?-?=1(a0,b0)的关系(1)P在双曲线内?-?1(含焦点);(2)P在双曲线上?-?=1;(3)P在双曲线外?-?0,b0)的弦.设直线AB的斜率存在,为k(k0
2、),A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0).(1)弦长l=|x1-x2|?=|y1-y2|?(k0);(2)k=?;(3)直线AB的方程:y-y0=?(x-x0);(4)线段AB的垂直平分线方程:y-y0=-?(x-x0).5.与双曲线?-?=1(a0,b0)有共同渐近线的双曲线方程为?-?=k(k0).,6.以直线?=0(a0,b0)为渐近线的双曲线方程为?-?=k(k0).,双曲线标准方程的求法1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义确定2a,进而确定b,再结合焦点位置写出双曲线标准方程.2.待定系数法,方法技巧,例1(2017课标全国理,5,5分)已
3、知双曲线C:?-?=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=?x,且与椭圆?+?=1有公共焦点,则C的方程为?()A.?-?=1B.?-?=1C.?-?=1D.?-?=1,B,解析本题考查求解双曲线的方程.由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为?-?=k(k0),即?-?=1,双曲线与椭圆?+?=1有公共焦点,4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为?-?=1.故选B.,一题多解椭圆?+?=1的焦点为(3,0),双曲线与椭圆?+?=1有公共焦点,a2+b2=(3)2=9,双曲线的一条渐近线为y=?x,?=?,联立可解得a2=4,b2=5.双曲线C的方程为?-?=1.,双曲线的几何性质的
4、解题策略双曲线的几何性质包括:范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等.常考内容是离心率、渐近线等,解决此类问题的关键在于构造关于a,b,c的等式或不等式.例2(2017浙江宁波期末,8)过双曲线x2-?=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线的两条渐近线分别相交于点B,C,且2?=?,则此双曲线的离心率是?()A.?B.?C.?D.,C,解题导引求直线与双曲线两渐近线的交点坐标利用向量关系求得b的值结论,解析直线l的方程是y=x+1,与渐近线y=-bx的交点为B?,与渐近线y=bx的交点为C?,由2?=?,得?=?,解得b=2,所以c=?=?,故双曲线的离心率是?,故选C.,评析本题考查双曲线的标准方程和几何性质,向量的坐标表示等知识,考查推理运算能力和方程思想.,
