全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 幂函数与二次函数 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 幂函数的图象和性质 1五种幂函数图象的比较 2幂函数的性质比较 =【 ;精品教育资源文库 】 = 必会结论 1一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2 bx c 0(a0) 恒成立的充要条件是? a 0， 0. (2)ax2 bx c 0(a0) 恒成立的充要条件是? a 0， 0. 2二次函数表达式 的三种形式 (1)一般式： y ax2 bx c(a0) (2)顶点式： y a(x h)2 k(其中 a0 ，顶点坐标为 ( h， k) (3)两根式： y a(x x1)(x x2)(

2、其中 a0 ， x1， x2是二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标 ) 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)幂函数的图象都经过点 (1,1)和 (0,0) ( ) (2)二次函数 y ax2 bx c(x R)，不可能是偶函数 ( ) (3)二次函数 y ax2 bx c， x a， b的最值一定是 4ac b24a .( ) (4)当 0， 0，1 20a120. 板块二 典例探究 考向突破 考向 幂函数的图象与性质 例 1 (1)函数 f(x) (m2 m 1)xm 是幂函数，且在 x (0， ) 上为增函数，则实数 m 的值是 ( ) A 1

3、 B 2 C 3 D 1 或 2 答案 B 解析 f(x) (m2 m 1)xm是幂函数 ?m2 m 1 1?m 1 或 m 2.又 x (0， )上是增函数，所以 m 2. (2)2016 全国卷 已知 a 243， b 425， c 2513，则 ( ) A b1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定 (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较 【变式训练 1】 (1)已知幂函数 f(x) (n2 2n 2)xn2 3n(n Z)的图象关于 y 轴对称，且在 (0， ) 上是减函数，则 n 的值为 ( ) A 3 B 1 C 2 D 1 或 2

4、 答案 B 解 析 由于 f(x)为幂函数，所以 n2 2n 2 1，解得 n 1 或 n 3，经检验只有 n 1 符合题意故选 B. (2)2018 昆明模拟 设 a 20.3， b 30.2， c 70.1，则 a， b， c 的大小关系为 ( ) A a c b B c a b C a b c D c b a 答案 B 解析 由已知得 a 80.1， b 90.1， c 70.1，构造幂函数 y x0.1， x (0， ) ，根据幂函数的单调性，知 c a b. 考向 求二次函数的解析式 例 2 已知二次函数 f(x)满足 f(2) 1， f( 1) 1，且 f(x)的最大值是 8，试确

5、定此二次函数的解析式 解 解法一： (利用一般式 ) 设 f(x) ax2 bx c(a0) 由题意得? 4a 2b c 1，a b c 1，4ac b24a 8，解得? a 4，b 4，c 7.=【 ;精品教育资源文库 】 = 所求二次函数的解析式为 f(x) 4x2 4x 7. 解法二： (利用顶点式 ) 设 f(x) a(x m)2 n(a0) f(2) f( 1)， 抛物线的对称轴为 x 2 ? 1?2 12. m 12.又根据题意函数有最大值 8， n 8. y f(x) a? ?x 12 2 8. f(2) 1， a? ?2 12 2 8 1，解得 a 4， f(x) 4? ?x

6、12 2 8 4x2 4x 7. 解法三： (利用两根式 ) 由已知 f(x) 1 0 两根为 x1 2， x2 1， 故可设 f(x) 1 a(x 2)(x 1)(a0) ， 即 f(x) ax2 ax 2a 1. 又函数有最大值 f(x)max 8，即 4a? 2a 1? a24a 8. 解得 a 4 或 a 0(舍 ) 所求函数的解析式为 f(x) 4x2 4x 7. 触类旁通 确定二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【变 式训练 2】 已知二次函数 f(x)满足 f(1 x) f(1 x)，且 f(0) 0， f(1) 1，求 f(x

7、)的解析式 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 解法一： (一般式 )设 f(x) ax2 bx c(a0) ， 则? c 0，a b c 1， b2a 1? a 1，b 2，c 0， f(x) x2 2x. 解法二： (两根式 ) 对称轴方程为 x 1， f(2) f(0) 0， f(x) 0 的两 根分别为 0,2. 可设其解析式为 f(x) ax(x 2) 又 f(1) 1，可得 a 1， f(x) x(x 2) x2 2x. 解法三： (顶点式 )由已知，可得顶点为 (1,1)， 可设其解析式为 f(x) a(x 1)2 1. 又由 f(0) 0，可得 a 1， f(x) (x 1)

8、2 1 x2 2x. 考向 二次函数的图象和性质 命题角度 1 二次函数的单调性 例 3 已知函数 f(x) x2 2ax 3， x 4,6 (1)求实数 a 的取值范围，使 y f(x)在区间 4,6上是单调 函数； (2)当 a 1 时，求 f(|x|)的单调区间 解 (1)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x a，所以要使 f(x)在 4,6上是单调函数，应有 a 4 或 a6 ，即 a 6 或 a4. (2)当 a 1 时， f(x) x2 2x 3， f(|x|) x2 2|x| 3，此时定义域为 x 4,6， 且 f(x)? x2 2x 3， x ?0， 6，x2 2x

9、3， x 4， 0. f(|x|)的单调递增区间是 (0,6， 单调递减区间是 4,0 命题角度 2 二次函数的最值 例 4 2016 浙江高考 已知函数 f(x) x2 bx，则 “ b2，所以 “ b1 时，如图 3 所示 当 x 1 时， y 有最大值 ymax f(1) 2a a 2. a 2，且满足 a1， a 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 综上可知， a 的值为 1 或 2. 答题启示 二次函数在区间上的最值问题，可分成三类： 对称轴固定，区间固定； 对称轴变动，区间固定； 对称轴固定，区间变动 .此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分

10、对称轴在区间内、左、右三 种情况讨论 . 跟踪训练 设函数 f(x) x2 2x 2， x t， t 1， t R，求函数 f(x)的最小值 解 f(x) x2 2x 2 (x 1)2 1， x t， t 1， t R，函数图象的对称轴为 x 1. 当 t 11 时，函数图象如图 (3)所示，函数 f(x)在 区间 t， t 1上为增函数，所以最小值为 f(t) t2 2t 2. 综上可知， f(x)min? t2 1， t1.板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 秦皇岛模拟 若幂函数的图象过点 ? ?2， 14 ，则它的单调递增区间是 ( ) A (0， ) B 0，

11、) C ( ， ) D ( ， 0) 答案 D 解析 设 y xa，则 14 2a， a 2， y x 2其单调递增区间为 ( ， 0)故选 D. 2 2018 武汉模拟 如果函数 f(x) x2 bx c 对任意的实数 x，都有 f(1 x) f(x)，那么 ( ) A f(0)f(2)f(0)故选 A. 3若不等式 (a 2)x2 2(a 2)x 41 时，恒有 f(x)1 时，恒有 f(x)1 时，函数 f(x) x 的图象在 y x 的图象的下方，作出幂函数 f(x) x 在第一象限的图象，由图象可知 1 时满足题意故选 B. 5已知函数 f(x) x2 4x， x m,5的值域是 5,4，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ( ， 1) B ( 1,2 C 1,2 D 2,5) 答案 C 解析 二次函数 f(x) x2 4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为 4，且在 x 2时取得，而当 x 5 或 1 时， f(x) 5，结合图象可知 m 的取 值范围是 1,2 6 2018 吉林松原月考 设函数 f(x) x2 x a(a 0)，已知 f(m) 0，则 ( ) A f(m 1)0 B f(m 1)0 C f(m 1) 0 D f(m 1) 0 答案 C 解析 f(x)的对称轴为 x 12， f(0) a 0， f(x)的大致图象如图所示