全国通用版2019版高考数学大一轮复习第十一章坐标系与参数方程第57讲坐标系优选学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 57 讲 坐标系 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解坐标系的作用 2了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 3能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化 4能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义 2017 全国卷 ，22 2017 全国卷 ，22 2016 全国卷 ，23 2016 北京卷， 11 极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆

2、的极坐标方程 分值： 5 10 分 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：? x x ， 0 ，y y ， 0 的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x ， y) ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2极坐标系 (1)相关概念 极坐标系： 如图所示，在平面内取一个 _定点 _O，点 O 叫做极点，自极点 O 引一条 _射线 _Ox，Ox 叫做极轴；再选定一个 _长度单位 _、一个 _角度单位 _(通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系 极坐标： =【 ;精品教育资源文库 】 =

3、一般地，没有特殊说明时，我们认为 0 ， 可取任意实数 点与极坐标的关系： 一般地，极坐标 ( ， )与 _ ( ， 2k)( k Z) _表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为 _ (0， )( R) _，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有 _无数_种表示 如果规定 0,0 0)， M 的极 坐标为 ( 1， )( 10)， 由题设知 |OP| ， |OM| 1 4cos . 由 |OM| OP| 16，得 C2的极坐标方程为 4cos ( 0) 因此 C2的直角坐标方程为 (x 2)2 y2 4(x0) (2)设点 B 的极坐标为 ( B， )? ? B0， ? ? 2 ， 2 .

4、由题设知 |OA| 2， B 4cos ，于是 OAB 的 面积 S 12|OA| Bsin AOB =【 ;精品教育资源文库 】 = 4cos ? ?sin? ? 3 2? ?sin? ?2 3 32 2 3. 当 12时， S 取得最大值 2 3. 所以 OAB 面积的最大值为 2 3. 1求双曲线 C： x2 y264 1 经过 ： ? x 3x，2y y 变换后所得曲线 C 的焦点坐标 解析 设曲线 C 上任意一点 P( x ， y) ，将? x 13x ，y 2y代入 x2 y264 1，得x 29 4y264 1，化简得x 29 y 216 1，即x29y216 1 为曲线 C 的

5、方程，可见仍是双曲线，则所求焦点坐标为 F1( 5,0)， F2(5,0) 2已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 2， 2 2 2 cos ? ? 4 2. (1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 解析 (1)由 2 知 2 4，所以 x2 y2 4. 因为 2 2 2 cos? ? 4 2， 所以 2 2 2 ? ?cos cos 4 sin sin 4 2. 所以 x2 y2 2x 2y 2 0. (2)将两圆直角坐标方程相减，得过两圆交点的直线方程为 x y 1.化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin? ? 4 2

6、2 . 3设过原点 O 的直线与圆 (x 1)2 y2 1 的一个交点为 P，点 M 为线段 OP 的中点，当点 P 在圆上移动一周时，求点 M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线 解析 圆 (x 1)2 y2 1 的极坐标方程为 2cos ? ? 2 2 ，设点 P 的极坐标为 ( 1， 1)，点 M 的极坐标为 ( ， )， 点 M 为 线段 OP 的中点， 1 2 ， 1 ，将 1 2 ， 1 代入圆的极坐标方程，得 cos . 点 M 轨迹的极坐标方程为 =【 ;精品教育资源文库 】 = cos ? ? 2 2 ，它表示圆心为点 ? ?12， 0 ，半径为 12的圆 4 (2017

7、全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为? x 2 t，y kt (t 为参数 )，直线 l2的参数方程为? x 2 m，y mk (m 为参数 )设 l1与 l2的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程； (2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： (cos sin ) 2 0， M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径 解析 (1)消去参数 t 得 l1的普通方程为 y k(x 2)；消去参数 m 得 l2的普通方程为 y 1k(x 2) 设 P(x， y)，由题设得? y k?x 2?，y 1k?x

8、2?， 消去 k 得 x2 y2 4(y0) 所以 C 的普通方程为 x2 y2 4(y0) (2)C 的极坐标方程为 2(cos2 sin2 ) 4(0 2 ， ) 联立 ? 2?cos2 sin2 ? 4， ?cos sin ? 2 0， 得 cos sin 2(cos sin ) 故 tan 13，从而 cos2 910， sin2 110. 代入 2(cos2 sin2 ) 4，得 2 5，所以交点 M 的极径为 5. 易错点 忽略变量的取值范围 错因分析：忽略变量的取值范围，导致错误 【例 1】 求极坐标方程 2 2cos sin2 所对应的直角坐标方程 解析 由 2 2cos si

9、n2 (sin 0) ，得 21 cos (cos 1) ， cos 2(cos 1) ， (*) =【 ;精品教育资源文库 】 = x2 y2 x 2，化简得 y2 4x 4， 当 cos 1 时， (*)式不成立； 当 cos 1 时，由 (*)式知 1， x cos 1. 综上可知， y2 4x 4(x 1)即为所求 【跟踪训练 1】 (2016 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为? x acos t，y 1 asin t (t 为参数， a 0)在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 4cos . (1)说明 C1是哪一种曲线，并将

10、 C1的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 0 2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a. 解析 (1)消去参数 t 得到 C1的普通方程为 x2 (y 1)2 a2，则 C1是以 (0,1)为圆心， a为半径的圆 将 x cos ， y sin 代入 C1的普通方程中 ，得到 C1的极坐标方程为 2 2 sin 1 a2 0. (2)曲线 C1， C2的公共点的极坐标满足方程组 ? 2 2 sin 1 a2 0， 4cos . 若 0 ，由方程组得 16cos2 8sin cos 1 a2 0，由 tan 2，可得 16cos2 8si

11、n cos 0，从而 1 a2 0，解得 a 1(舍去 )或 a 1. a 1 时，极点也为 C1， C2的公共点，且在 C3上所以 a 1. 课时达标 第 57 讲 解密考纲 高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程，常以解答题的形式出现 1求椭圆 x24 y2 1 经过伸缩变换? x 12x，y y后的曲线方程 解析 由? x 12x，y y，得? x 2x ，y y. 将 代入 x24 y2 1，得 4x24 y2 1，即 x 2 y 2 1. 因此椭圆 x24 y2 1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2 y2 1. =【

12、 ;精品教育资源文库 】 = 2在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为 ? ?2， 4 ，直线 l 的极坐标方程为 cos? ? 4 a，且点 A 在直线 l上 (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； (2)圆 C 的参数方程为? x 1 cos ，y sin ( 为参数 )，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系 解析 (1)由点 A? ?2， 4 在直线 l 上，得 2cos? ? 4 4 a，则 a 2，故直线 l 的方程可化为 sin cos 2，得直线 l 的直角坐标方程为 x y 2 0. (2)消去参数 ，得圆 C

13、的普通方程为 (x 1)2 y2 1，圆心 C(1,0)到直线 l 的距离 d |1 0 2|12 12 121，所以直线 l 与圆 C 相交 3已知曲线 C1的极坐标方程为 6cos ，曲线 C2的极坐标方程为 4( R)，曲线 C1， C2相交于 A， B 两点 (1)把曲线 C1， C2的极坐标方程转化为直角 坐标方程； (2)求弦 AB 的长度 解析 (1)曲线 C2： 4( R)表示直线 y x，曲线 C1： 6cos ，即 2 6 cos ，所以 x2 y2 6x，即 (x 3)2 y2 9. (2) 圆心 (3,0)到直线的距离 d 3 22 ， r 3， 弦长 AB 2 r2 d2 3 2. 弦 AB 的长度为 3 2. 4在极坐标系 Ox 中，直线 C1的极坐标方程为 sin 2，点 M 是 C1上任意一点，点P 在射线 OM 上 ，且 |OP| OM| 4，记点 P 的轨迹为 C2，求曲线 C2的极坐标方程 解析 设 P( 1， )， M( 2， )， 由 |OP| OM| 4，得 1 2 4，即 2 41. M 是 C1上任意一点， 2sin 2，即 41sin 2， 1 2sin . 曲线 C2的极坐标方程为 2sin . 5在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知=【 ;精品教