二重积分的计算法课件.ppt

1、高等数学高等数学下页结束返回*四、二重积分的换元法四、二重积分的换元法 第二节二、利用直角坐标计算二重积分二、利用直角坐标计算二重积分 三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 下页一、曲顶柱体体积的计算一、曲顶柱体体积的计算(二重积分几何意义) 高等数学高等数学下页结束返回bxaxyxD)()(:21对于平面区域 称 D 为 X - 型区域型区域. O)(1xy)(2xyxbyDadycyxyD)()(:21、平面区域的两种基本类型、平面区域的两种基本类型下页对于平面区域 称 D 为 Y - 型区域型区域. Oydcx)(2yx)(1yx高等数学高等数学

2、下页结束返回一、曲顶柱体体积的计算一、曲顶柱体体积的计算-几何意义设曲顶柱体的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为截柱体的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO120(, )zf xyzy12O高等数学高等数学下页结束返回21( )( )( , )ddbaxxfyxx yxbad 一、曲顶柱体体积的计算一、曲顶柱体体积的计算-几何意义设曲顶柱体的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为(元素法元素法)( , )dDVf x yyyxf

3、xAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21d( )baA xx截柱体的记作记作 下页先写类型积分限先写类型积分限类型积分后计算类型积分后计算)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO12高等数学高等数学下页结束返回dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱体的底为则其体积可这样计算:DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21dcyd下页Oydcx)(2yx)(1yx先写类型积分限先写类型积分限类型积分后计算类型积分后计算高等数学高等数学下页结束返回例例1. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.解解: 设两个圆柱面的方

4、程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为所求体积为yxxRVDdd82222220dRxRxyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz220:0 yRxDxR08dRx222Ryx222RzxDxyzRRO下页其底为高等数学高等数学下页结束返回Oy)(1yx)(2yxxdc且在D上连续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X - 型区域 则O)(1xy)(2xyxbyDax若D为Y - 型区域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd)

5、,()()(21dcydDyxyxfdd),(则二、利用直角坐标计算二重积分二、利用直角坐标计算二重积分下页高等数学高等数学下页结束返回2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1因此上面讨论的累次积分法仍然有效.Dyxyxfdd),(2下页当被积函数在积分域上变号时, 所述方法仍可用.这是因为:高等数学高等数学下页结束返回xyOxyDO说明说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域, Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序

6、交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂, 可将它分成若干2D1D3DX - 型域或Y - 型域, 321DDDD则 下页高等数学高等数学下页结束返回121221d y例例2. 计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法解法1 将D看作X - 型区域, 则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2 将D看作Y - 型区域, 则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89

7、1xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO下页高等数学高等数学下页结束返回例例3. 计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 下页高等数学高等数学下页结束返回例例4. 计算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.OxyDxxy 解解: 由被积函数可知,因此取D 为X - 型域:00:xxyDDyxx

8、xddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.下页高等数学高等数学下页结束返回2例例5. 交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD将:D视为Y - 型区域, 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy221xy 下页1D221xy 高等数学高等数学下页结束返回例例6. 计算2ln(1)d d ,DIxy

9、yx y其中D 由,42xy3 ,1yx x 所围成. (奇函数示例)Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224下页说明说明高等数学高等数学下页结束返回说明说明:如图作辅助线, ,1上在D),(),(yxfyxf0Oyx124xyxy32D1D1x411112DDDD1分成两部分: D12D111( , )d dDf x yx y1112( , )d d( , )d dDDf x yx yf x yx y

10、11( , )d dDf x yx y而33( , )dyyxxfy30dy12( , )d d0;Df x yx y 同理2( , )d d0Df x yx y 奇函数对称区间返回高等数学高等数学下页结束返回三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分Ox在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,12()rrrr r212r212()rr增量为r, 下页分划区域 D .射线 =常数, 增量为,用表示一般小区域及其面积 则212()rrr 212()()rro drr ddd drrr r rr(,0)0r D高等数学高等数学下页结束返回三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分

11、Ox在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,r增量为r, 下页分划区域 D .射线 =常数, 增量为,dd dr rrrcossinxy又( , )dDf x yddrr( cos , sin )Df rr故D高等数学高等数学下页结束返回)(rDOxD)(1r)(2rOx)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别, 对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(1r)(2rOxD下页高等数学高等数学下页结束返回此时若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd思考思考: 下

12、列各图中域 D 分别与 x, y 轴相切于原点, 试答答: (1) 0问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2()(rDyxO)(rDyxO)(rDOx下页高等数学高等数学下页结束返回例例7. 计算,dde22Dyxyx其中.:222ayxD解解: 在极坐标系下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2ex的原函数不是初等函数, 故本题无法用2erddrr20d由于故直角坐标计算.下页高等数学高等数学下页结束返回注注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2de02xx因 )e1 (lim2aa222Rddeyxyx又下页22222lime

13、d dxyaxyax y20ed2xx2201ed2edxxxx2211eded22xxxx2211eded22yxxy222R1ed d4xyx y高等数学高等数学下页结束返回例例8. 求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DO2 cosraxyza2O下页高等数学高等数学下页结束返回练习练习: 计算d d ,Dy x y其中 D 由曲线1cos(0)r 与极轴围成.下页转

14、小结转小结高等数学高等数学下页结束返回*四、二重积分换元法四、二重积分换元法 baxxfd)() )(txtttfd)()(定积分换元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一阶偏导数连续;雅可比行列式上在D)2( , )( , )0( , );x yJ u vu v(3) 变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理.,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的,vuvuJdd),(OvuDTyxDO下页高等数学高等数学下页结束返回yxDOuOvD证证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的

15、 ,坐标面上在vOu 直线分割区域 ,D任取其中一个小矩T形, 12( , ),(, ),M u vMuh vuhu 1M4M3M2Mvkv通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令则12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux下页其顶点为高等数学高等数学下页结束返回14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于

16、平行四 边形, 故其面积近似为4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(下页yxDO1M4M3M2M高等数学高等数学下页结束返回vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐标转化为极坐标时, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(下页高等数学高等数学下页结束返回例例9. 计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线2 yx所围成的闭域.

17、 解解: 令,uyx vyx则2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxDxyxyddevuvuDdde2120d21vvvd)ee(211201ee2121212121vvvuudexyxye,ddyx)(DD D2 yxDxyOD2vvu vuuvO下页高等数学高等数学下页结束返回uvOybx 2yax 2DOyxxqy 2xpy 222,yxuvxy例例10. 计算由22,ypx yqxybxyax22,( 0, 0)pqab所围成的闭区域 D 的面积 S.解解: 令Dpqab则bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJD

18、dd)(31abpq下页高等数学高等数学下页结束返回例例11. 试计算椭球体1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由对称性, 1:2222byaxD取令cosi,s,nxarybr则D 的原象为20,1:rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的体积V.下页高等数学高等数学下页结束返回内容小结内容小结(1) 二重积分化为二次积分的方法二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形: 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d

19、),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O下页老式写法高等数学高等数学下页结束返回)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf*(2) 一般换元公式一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J极坐标系情形极坐标系情形: 若

20、积分区域为ddrr在变换下D)(1r)(2rOx下页高等数学高等数学下页结束返回(3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(先写类型积分限先写类型积分限, 类型积分后计算类型积分后计算)充分利用对称性*应用换元公式下页高等数学高等数学下页结束返回yx1xy 1O1. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交换积分序得 yIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010dx

21、yx2I yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A下页2/ 2IA思考与练习思考与练习高等数学高等数学下页结束返回cosar xaO2. 交换积分顺序ararccos)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf下页高等数学高等数学下页结束返回作业作业(习题10-2, P153)(直) 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 7; 8(极) 11 (1), (2); 13 (3); 14

22、(2); 15 (1) 结束高等数学高等数学下页结束返回axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax备用题备用题1. 给定改变积分的次序.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aOxyayx2222yaax22yaax下页高等数学高等数学下页结束返回xyO36sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx2. 计算其中D 为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx4220

23、3 xy及直线, 03yx解：解：平面闭区域.03 xysin2 r2436dD结束高等数学高等数学下页结束返回三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分 (原原)Oxkkkrr,cossinkkkkkkrr对应有在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外, 小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k(),kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数, 分划区域 D 为kkrkrkrkO下页高等数学高等数学下页结束返回kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(下页