1、10.4 直线与圆锥曲线的位置关系,高考数学,考点直线与圆锥曲线的位置关系1.判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线r的方程F(x,y)=0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程,即?消去y后得ax2+bx+c=0.(1)若a0,则当0时,直线l与曲线r相交;当=0时,直线l与曲线r相切;当0.所以x1、x2是方程Ax2+Bx+C=0的解.由根与系数的关系求出x1+x2=-?,x1x2=?.所以M、N两点间距离为|MN|=?|x1-x2|,即弦长公式.也可以写成关于y的形式,|MN|=?|y1-y2|(k0).3.已知
2、弦的中点、研究弦的斜率和方程(1)AB是椭圆?+?=1(ab0)的一条弦,中点M坐标为(x0,y0)(y00),则AB的斜率为-?.,运用点差法求AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2).A、B都在椭圆上, ?两式相减得?+?=0. ?+?=0,即?=-?=-?.故kAB=-?.(2)运用类比的方法可以推出:已知AB是双曲线?-?=1(a0,b0)的弦,中点M(x0,y0)(y00),则kAB=?;已知抛物线y2=2px(p0)的弦AB的中点M(x0,y0)(y00),则kAB=?.,有关位置关系、弦长、面积问题的解题策略1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,可
3、以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题,往往通过消元最终归结为讨论方程解的情况.需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时,直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点.2.涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题,主要有这样几个方面:相交弦的长(弦长公式|AB|=?|x2-x1|);弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等)、弦的中点的轨迹等,可以利用“设点代点、设而不求”(设交点坐标,将交点坐标代入曲线方程,并不具体求出坐标,而是利用坐标应满足的关系直接解决问题)的方法解决.例1(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,21)已知椭圆C:?+,方法技巧,=1(ab0)的离心
4、率为?,且椭圆经过点M(-?,1).(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l与圆O:x2+y2=1相切,与椭圆C相交于A,B两点,求AOB的面积的最大值.,解题导引(1)由离心率的定义、点的坐标满足椭圆方程以及a,b,c之间的关系,得关于a,b,c的方程组解方程组得结论(2)当斜率存在时,设直线方程为y=kx+m由直线与圆相切得m与k的关系式联立直线和椭圆方程,由韦达定理计算弦长|AB|把面积的平方表示成k的函数利用换元法求得面积的最大值计算斜率不存在时三角形面积比较后得结论,解析(1)由?得a=2,b=?,所以椭圆的标准方程为?+?=1.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,因为
5、直线l与圆O相切,所以点O到直线l:y=kx+m的距离d=?=1,所以m2=1+k2.由?得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,=32k2-8m2+160,x1+x2=-?,x1x2=?.所以|AB|=?=?=?,所以SAOB=?1,令1+2k2=t(t1),得?=?=-?+22,当t=1,即k=0时,AOB的面积取得最大值,为?.当直线l的斜率不存在时,l:x=1,此时SAOB=?.综上所述,AOB的面积的最大值为?.,评析本题考查椭圆的标准方程和性质,直线与椭圆的位置关系,直线与圆的位置关系,韦达定理,弦长的计算以及三角形面积的最值的求法等基础知识.考查运算求解能力,逻辑推理能力
6、和综合运用能力.,探索性问题的解题策略解决探索结论的开放性问题的一般方法是研究特例、观察、归纳、猜想,然后加以论证,对存在判断型问题,常以条件和假设存在为出发点进行推理.若推出矛盾,则否定存在;若不出现矛盾,则肯定存在.对结论开放性问题,常需对不同的情形加以分类讨论.例2(2017浙江宁波期末,21)已知椭圆C:?+?=1(0n0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-?,x1x2=?,由?+?=0,得(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即k(x1-m)(x2+2)+k(x2-m)(x1+2)=0.,当k0时,2x1x2-(m-2)(x1+x2)-4m=0,所以2?+(m-2)?-4m=0,化简得?=0,所以m=-1.当k=0时,检验也成立.所以存在点M(-1,0),使得NMA+NMB=180.,评析本题考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,韦达定理,直线斜率的运算以及定点问题等基础知识.考查运算求解能力,逻辑推理能力和综合运用能力,化归与转化思想.,
