1、1.1.1 空间向量及其线性运算一知识梳理(1)在空间，把具有_和_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_或_.空间向量用有向线段表示，有向线段的_表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为_. (2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫_，记为0单位向量_的向量叫单位向量相反向量与向量a长度_而方向_的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向_且模_的向量称为相等向量，_且_的有向线段表示同一向量或相等向量二 每日一练一、单选题1若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中mn1，则（ ）APABBPABC点P可能在直线AB上D以上都不对2若是平面内的
2、两个向量，则（ ）A内任一向量(，R)B若存在，R使，则0C若不共线，则空间任一向量 (，R)D若不共线，则内任一向量 (，R)3已知向量，满足，则（ ）A BC与同向 D与同向4已知与不共线，则存在两个非零常数m，n，使是，共面的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5如图所示，在空间四边形中，点在上，且，为中点，则（ ）ABCD6向量互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）AB为实数0C 与方向相同D7如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则（ ）A BC D
3、8已知为空间任意一点，若，则四点（ ）A一定不共面B一定共面C不一定共面D无法判断二、多选题9在平行六面体中，下列各式中运算结果为的是（ ）ABCD10如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且：，设，则下列选项正确的为（ ） ABCD11(多选)下列命题中，真命题是（ ）A向量与的长度相等 B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于0 D共线的单位向量都相等12(多选)下列命题中为假命题的是（ ）A任意两个空间向量的模能比较大小B将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等三、填空题13如
4、图所示，在平行六面体中，若，则_.14已知点M是ABC的重心，则_.15给出下列命题：若，则或；若向量是向量的相反向量，则；在正方体ABCDA1B1C1D1中，；若空间向量满足，则其中正确命题的序号是_16设，是空间两个不共线的向量，已知，且A，B，D三点共线，则k_.四、解答题17在三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量表示.（1）；（2）.18已知，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.（1）判断，三个向量是否共面；（2）判断点是否在平面内.19如图，已知为空间的9个点，且， ，求证：（1）四点共面，四点共面；（2）；（3）.20已知正四棱锥PABC
5、D，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值（1）；（2）21如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设，E，F分别是PC，PB的中点，试用，表示：，.22如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：（1）； （2）；（3）； （4）参考答案方向；大小；长度；模；长度；|a|或|零向量；模为1；相等；相反；相同；相等；同向；等长1A因为mn1，所以m1n，所以，即，即，所以与共线又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即PAB.2D当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，0时，故B项不正确；若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对
6、空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确3D由向量加法的定义，故A、B错误由，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向故D正确，C错误.4A若与不共线，根据平面向量的基本定理，则存在两个非零常数、 ，使 ，所以 与，共面；若存在两个常数m，n，使，不一定非零5B6D由题意，向量互为相反向量，可得，且方向相反，所以C不正确，可得，所以A不正确；可得，所以B不正确；又由，所以.7A由题图观察，平移后可以首尾相接，故有.8B由空间向量共面定理的推论若，满足，则四点共面，而，故四点共面.9BCD如图所示：A，故错误；B，故正确；C，故正确；D，故正确.10AD因为是的中点，所
7、以，因为点在上，且：，所以 ,11ABC共线的单位向量方向相同或相反，只有D错误12BCD对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等132解：因为，又，所以，则.14设D为AB的中点，则.又M为ABC的重心，则，所以15对于，向量与的方向不一定相同或相反，故错；对于，根据相反向量的定义知，故正确；对于，根据相等向量的定义知，故正确；对于，根据相等向量的定义知正确168又A，B，D三点共线，所以，即所以：，解得.17（1）；（2）.（1），（2）.18（1）共面；（2）点在平面内.（1）由题意，知：，即，故共面得证.（2）由（1）知：共面且过同一点.所以四点共面，从而点在平面内.19（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.证明：（1），A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面（2.（3）.20（1）；（2）x2，y2（1）如图，（2）O为AC的中点，Q为CD的中点21，.连接BO，则，故； ；.22（1）；（2）；（3）；（4）（1）（2）（3）（4）
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