1、基底基底 2【注意】【注意】（1）由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 .00（2）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。两两垂直两两垂直 1 两两垂直两两垂直 34D5类型类型1 1基底的判断基底的判断C6111111111111,4,4,5,60 ,60,.,2.ABCDA B C DABADAABAADAAM ND CC BMNAC 如如图图 在在平平行行六六面面体体中中的的分分别别为为中中点点求求证证：例例ABCDMNB1A1C1D111111,0.,.MNACMN ACAB AD
2、 AAMNACMN AC 由由已已知知可可构构成成空空间间的的一一个个基基底底把把和和分分别别用用要要分分析析：基基底底表表示示证证只只需需证证明明然然后后计计算算即即可可1, , , ,ABa ADb AAca b c 证证明明：设设这这三三个个向向量量不不共共面面构构成成空空间间的的一一个个基基底底类型类型2 2基底在几何中的应用基底在几何中的应用11111,11,.22MN ACMNMCC Nab ACABBCCCabc 我我们们用用它它们们表表示示则则111()22111111222222MN ACababca ba ba cb ab bb c 222211144cos604 5 co
3、s602221114cos6044 5 cos602220 1MNAC 所所以以ABCDMNB1A1C1D1CABDD A B C EFG,1,.(1)/;(2)3ABCDA B C DE F GC DA D D DEFACCEAG 如如图图 正正方方体体的的棱棱长长为为分分别别为为的的中中点点求求证证：求求与与所所成成角角例例的的余余弦弦值值. .(1)/,., , , ,.EFACEFACDAi DCj DDki j kEFAC 分分析析：要要证证明明只只需需证证明明与与共共线线设设则则构构成成空空间间的的一一个个单单位位正正交交基基底底 把把和和分分别别用用基基向向量量表表示示作作相相应
4、应的的运运算算证证明明它它们们共共线线即即可可(2),.CEAGCE AG 要要求求与与所所成成角角的的余余弦弦值值 只只需需求求所所成成角角的的余余弦弦值值即即可可(1), , , .DAi DCj DDki j k 证证明明：设设则则构构成成空空间间的的一一个个单单位位正正交交基基底底111(),222,EFD FD EijijCADADCij 1,/.2EFCAEFAC 所所以以所所以以CABDD A B C EFG1111,1,.(1)/;(2)3ABCDA B C DE F GC DA D D DEFACCEAG 如如图图 正正方方体体的的棱棱长长为为分分别别为为的的中中点点求求证证
5、：求求与与所所成成角角例例的的余余弦弦值值. .1(2),2CECCC Ejk 解解：因因为为12AGADDGik 11222cos,55522jkikCE AGCE AGCEAG 2.5CEAG故故与与所所成成角角的的余余弦弦值值为为1111,1,.(1)/;(2)3ABCDA B C DE F GC DA D D DEFACCEAG 如如图图 正正方方体体的的棱棱长长为为分分别别为为的的中中点点求求证证：求求与与所所成成角角例例的的余余弦弦值值. .CABDD A B C EFG1213.,OABCOBOCAOBAOCAOBC 求求证证: : 变变式式练练习习1 1： 已已知知四四面面体体，14ABCDB1A1C1D1111111111,2,2,5,.,60ABCDA B C DABADAABADBAADAABCCA 如如中中求求与与图图 在在平平行行所所变变式式练练习习2 2成成角角的的面面：体体余余弦弦值值六六,.ABCDADCDDCOAOAOCD 中中和和相相交交于于点点 ，连连接接，变变式式练练习习3 3：求求证证如如图图 在在正正方方体体CABDD A B C O
