1.1.1空间向量及其线性运算 ppt课件-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册.ppt

1、1.1.1 空间向量及其运算一、回顾旧知一、回顾旧知 1.1.我们已经学过向量的概念，请同学们回顾：我们已经学过向量的概念，请同学们回顾：（1 1）. .向量的概念是什么？基本要素是什么？如何表示？向量的概念是什么？基本要素是什么？如何表示？（2 2）. .什么是向量的模？什么是向量的模？既有大小又有方向的量就叫做向量既有大小又有方向的量就叫做向量;几何表示法几何表示法向量的大小，长度向量的大小，长度ABAB a( , )axiy jx y坐标表示法坐标表示法大小和方向大小和方向1.1.我们已经学过向量的概念，请同学们回顾：我们已经学过向量的概念，请同学们回顾：（3 3）. .什么是零向量与单

2、位向量？什么是零向量与单位向量？（4 4）. .什么是相等向量？相反向量？什么是相等向量？相反向量？长度为长度为1 1个单位长度的向量叫单位向量个单位长度的向量叫单位向量相等向量：方向相同且模相等的向量相等向量：方向相同且模相等的向量相反向量：方向相反且模相等的向量相反向量：方向相反且模相等的向量 长度长度( (模模) )为为0 0的向量叫零向量的向量叫零向量一、回顾旧知一、回顾旧知 2 2提出问题：提出问题：（1 1）. .我们学过平面向量的哪些运算？我们学过平面向量的哪些运算？向量的加减法运算向量的加减法运算实数与向量的乘积实数与向量的乘积两个向量的数量积运算两个向量的数量积运算一、回顾旧

3、知一、回顾旧知 2 2提出问题：提出问题：（2 2）. .平面向量的加减法法则是什么？平面向量的加减法法则是什么？ 满足什么样的运算律？满足什么样的运算律？ 平面向量的加法法则是平面向量的加法法则是“平行四边形法则平行四边形法则”和和“三角形法则三角形法则”，向量的加法满足交换律、结合律，向量的加法满足交换律、结合律 。 平面向量的减法法则是平面向量的减法法则是 “三角形法则三角形法则”， 向向量的减法不满足交换律、结合律。量的减法不满足交换律、结合律。一、回顾旧知一、回顾旧知 （1 1）三角形法则：）三角形法则：ABCabAB+BC=AC（2 2）平行四边形法则：）平行四边形法则：首首尾尾相

4、相接接OABabCOA+OB=OC起起点点相相同同平面向量的加法法则平面向量的加法法则()()abbaabcabc（1）（2）加法的运算律：加法的运算律：一、回顾旧知一、回顾旧知 平面向量的加法法则推广平面向量的加法法则推广: :（1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2 2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn一、回顾旧知一

5、、回顾旧知 2 2、减法运算：、减法运算：OAB?abb起起点点相相同同三角形法则三角形法则OB-OA=ABa注：向量加法与减法的关系注：向量加法与减法的关系OABCOAOBOCOBOAAB 一、回顾旧知一、回顾旧知 1 1我们以前研究向量（特别是多于两个向量时）是在我们以前研究向量（特别是多于两个向量时）是在同一个平面内研究，即所研究的向量都在同一个平面同一个平面内研究，即所研究的向量都在同一个平面内，为此我们称它为平面向量。内，为此我们称它为平面向量。二、引入新课二、引入新课 问：难道向量只有平面上的吗？问：难道向量只有平面上的吗？2 2（凭直觉）举出一个（凭直觉）举出一个“似乎是空间中的

6、向量似乎是空间中的向量”的例子的例子ACBF1F2F3OG钢板受力钢板受力手中的一支笔手中的一支笔二、引入新课二、引入新课 三、探究新知1 1提出问题：让我们类比平面向量的相关概念、表提出问题：让我们类比平面向量的相关概念、表示方法，大胆的猜想给出空间向量的相关概念、表示示方法，大胆的猜想给出空间向量的相关概念、表示方法。方法。 a平面向量平面向量空间向量空间向量定义定义既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量表示方法表示方法几何表示法：几何表示法： 。 几何表示法几何表示法： 。模模向量的大小，记为：向量的大小，记为： 。 向量的大小，记为：向量的大小

7、，记为： 。 零向量零向量模为模为0 0的向量的向量模为模为0 0的向量的向量单位向量单位向量模为模为1 1的向量的向量模为模为1 1的向量的向量相等向量相等向量 方向相同且模相等的向量方向相同且模相等的向量方向相同且模相等的向量方向相同且模相等的向量相反向量相反向量 方向相反且模相等的向量方向相反且模相等的向量方向相反且模相等的向量方向相反且模相等的向量,AB a ,AB a a三、探究新知三、探究新知3 3提出问题：平面向量可以在平面内平移，那么空间提出问题：平面向量可以在平面内平移，那么空间向量能否在空间中平移？向量能否在空间中平移？4.4.类比平面向量的加减法法则，空间向量的加减法法类

8、比平面向量的加减法法则，空间向量的加减法法则应怎样定义？加减法满足哪些运算律？则应怎样定义？加减法满足哪些运算律？ 任意两个空间向量，我们总可以把它们平移到任意两个空间向量，我们总可以把它们平移到同一个平面内同一个平面内ababab+OABbCOBOAABCAOAOC 三、探究新知三、探究新知4 4提出问题：类比平面向量的加减法法则，空间向量提出问题：类比平面向量的加减法法则，空间向量的加减法法则应怎样定义？加减法满足哪些运算律？的加减法法则应怎样定义？加减法满足哪些运算律？ abba )(cbacba ）（1）加法交换律：）加法交换律：（2）加法结合律：）加法结合律：空间向量的加法运算满足交

9、换律和结合律空间向量的加法运算满足交换律和结合律问：空间向量的加法法则能否推广至若干个向量相加？问：空间向量的加法法则能否推广至若干个向量相加？三、探究新知三、探究新知abca + b a + b + c abca + b a + b + c 空间向量的加法法则推广空间向量的加法法则推广: :（1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2 2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。

10、们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn三、探究新知三、探究新知三、理解新知 1 1提出问题：提出问题：(1).(1).零向量的方向应当怎样定义？零向量的方向应当怎样定义？(2).(2).单位向量的方向确定吗？单位向量的方向确定吗？(3).(3).所有单位向量移到同一起点上，终点构成一个什所有单位向量移到同一起点上，终点构成一个什么图形？么图形？ 规定零向量的方向是任意的规定零向量的方向是任意的不确定不确定构成一个半径为构成一个半径为1 1的球的球三、理解新知 BACA1DB1D1C1 始点相同的三个不共始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六

11、面体个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对的以公共始点为始点的对角线所示向量角线所示向量四、运用新知四、运用新知ABCA1DB1D1C1M共线向量与共面向量共线向量与共面向量回回 顾顾aOBb结论结论：空间任意两个向量都可：空间任意两个向量都可平移平移到同到同一个平面内，成为同一平面内的向量一个平面内，成为同一平面内的向量. .ba 一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一个向的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，aa| |;aa（1 1）（2 2）当）当 时，时， 的方向与的方向与 的方向相同；的方向相同； 当当 时，时，

12、 的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。aa0aa0特别的，当特别的，当 时，时，00.a平面向量数乘的定义平面向量数乘的定义它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：回回 顾顾()() ;();().aaaaaabab （1）（2）（3）回回 顾顾平面向量数乘的运算规律：平面向量数乘的运算规律：一、空间向量数乘运算一、空间向量数乘运算1.1.实数实数 与空间向量与空间向量 的乘积的乘积 仍然仍然是一个是一个向量向量. .当 时， 当 时， 与向量 方向相同； 与向量 方向相同； 是零向量.aa00aaaa当 时，0a（1）方向：方向：（2）大小：）大小： 的长度是 的长度的 倍.a

13、|a2.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()( )()ababaaaaa （）一、空间向量数乘运算一、空间向量数乘运算问题问题：平面向量中，平面向量中，) 0(/bba.ab的充要条件是：存在唯一的充要条件是：存在唯一的实数的实数 ，使，使能否推广到空间向量中呢？能否推广到空间向量中呢？零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. .二、共线向量共线向量: :如果表示空间向量的有向线段所在如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合直线互相平行或重合, ,则这些向量叫做则这些向量叫做共线向量共线向量( (或或平行向量平行向量),),记作记作/a b

14、)0(/bba)0(bba)0(/bba作用：作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 共线向量定理共线向量定理: : 对空间任意两个向量对空间任意两个向量 ， 。 存在实数存在实数, ,使使a(0).ab b )0(/bba)0(bba)0(bb如图，如图，l l为经过已知点为经过已知点A A且平行已知非零向且平行已知非零向量的直线，若点量的直线，若点P P是直线是直线l l上任意一点，则上任意一点，则al/atAP 对空间任意一点对空间任意一点O, ,OAOPAP所以a tOAOPa tOAOP即 若在若在l l上取上取 则有则有ABtOAOP

15、和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线和都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定由空间一点及直线的方向向量唯一决定. .由此可判断空间任意三点共线由此可判断空间任意三点共线。.alABPO 由由 知存在唯一的知存在唯一的t, t, 满足满足aAB因为因为 ,BBOAOA所以所以 )A( tAOPOOBOOBtOAt)1 (特别的，当特别的，当t = 时，时，21)B(21OPOOA则有则有aABPOABtOAOP进一步，进一步，OBOAOP_还可表示为：OPt1-tP点为点为A,B 的中点的中点A A、B B、P P三点共线三点共线ABtOAOPABtAP

16、 ) 1(APyxOByOxO三、共面向量三、共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行平行于同一平面的向量于同一平面的向量, ,叫做叫做共面向量共面向量. .NoImage注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量任意三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与两不共线向量 ， 共面，共面，那么可将三个向量平移到同一平面那么可将三个向量平移到同一平面 ，则有，则有 byxppb那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？2211eeaaa1e2e反过来，对空间任

17、意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 , 有什么位有什么位置关系？置关系？abbyxpab共线，分别与 bbya, a x确定的平面内，都在 bbya, ax确定的平面内，并且此平行四边形在 ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPp Cp2.共面向量定理：如果两个向量共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线不共线，byaxpabpab 则向量则向量 与向量与向量 ， 共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x, ,y使使abABPp 推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCAB

18、C内的充要条件是存在有内的充要条件是存在有序实数对序实数对x, y,使使ACyABxAPCOOCOBOAOP(_)(_)(_)abABPp 对空间任一点对空间任一点O,O,有有填空：填空：1-1-x- -yxyACyABxOAOPC 式称为空间平面式称为空间平面ABCABC的向量表示式，空间中任意平的向量表示式，空间中任意平面由空面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定间一点及两个不共线的向量唯一确定. .作用：作用：由此可判断空间任意四点共面由此可判断空间任意四点共面P与与A,B,C共面共面ACyABxAPACyABxOAOP(1)OPxOAyOBzOCxyz ACyABxAPACABAPA

19、PACABAPOAOCOAOBOAOPOAOCOB3131,33)()(332) 1 (所以所以即共面，因为OAOPOCOB3) 1 (引例引例.已知已知A、B、C三点不共线，对于平面三点不共线，对于平面ABC外外的任一点的任一点O，确定在下列各条件下，点，确定在下列各条件下，点P是否与是否与A、B、C一定共面？一定共面？OCOBOAOP 4)2(1)OPxOAyOBzOCxyz 例例1.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，过平，过平面面AC外一点外一点O作射线作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使，并且使求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECD 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫叫做共面向量做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断三点共线，或两判断三点共线，或两直线平行直线平行判断四点共线，或直线平判断四点共线，或直线平行于平面行于平面) 0(/ababap，a，bbyaxpABtOAOPACyABxOAOP小结小结共面共面ABtAP ACyABxAP