1、1.1.2 空间向量的 数量积运算2021.7新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.掌握空间向量的数量积掌握空间向量的数量积1数学抽象：空间向量的夹角数学抽象：空间向量的夹角及数量积的定义及数量积的定义2.能运用向量的数量积判断两向量的能运用向量的数量积判断两向量的垂直及平行垂直及平行 2数学运算、逻辑推理：空间数学运算、逻辑推理：空间向量数量积的性质及运算律向量数量积的性质及运算律知识点一空间向量的夹角知识点一空间向量的夹角什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？平面向量的夹角 两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做 OAa ， OBb ，则AOB叫做
2、向量a，b的夹角，记作a，b，规定0 a，b .OABab 如果a，b ，那么向量a，b互相垂直，记作ab .2空间向量的夹角空间向量的夹角ab.OAB 两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，做 OAa ， OBb ，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，规定0 a，b . 如果a，b ，那么向量a，b互相垂直，记作ab .2平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？知识点二知识点二空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab|a|b|cosa，b(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合
3、律(a)b_，R交换律ab_分配律(ab)c_(ab)baacbc(3). 空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则ab_若a与b同向，则ab_；若反向，则ab_.特别地，aa_若a，b为a，b的夹角，则cosa，b_|ab|a|b|ab0|a|b|a|b|a|2知识点三投影向量及直线与平面所成的角知识点三投影向量及直线与平面所成的角1 1投影向量投影向量(1)向量a在向量b上的投影先将向量a与向量b平移到同一平面内，如图向量c称为向量a在向量b上的投影向量abaca(2)向量a在直线l上的投影如图向量c称为向量a在直线l上的投影aacl(3)向量a在平面上的投影如图分
4、别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，B，则向量AB(a)称为向量a在平面上的投影向量aaABABa2直线与平面所成的角直线与平面所成的角AaBaABa如图向量a与向量a的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角2. 如图所示，直线l平面，若m，n且向量i，j，k分别是直线l，m，n的方向向量，则ij_，ik_ljkimn00探究点探究点1空间向量数量积的运算空间向量数量积的运算例1.如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：ABCDEFcos 60cos 600.ABCDEF 计算空间向量数量积的计算空间向量数量积的2种方法种方法(1)利用定义：
5、利用利用定义：利用ab|a|b|cos a，b并结合运算律进行计算并结合运算律进行计算(2)利用图形：计算两个向量的数量积时，可先将各向量移到同一顶利用图形：计算两个向量的数量积时，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 的边长为，求：11; ( )AB CC12; ( )AB DC13. ( )AC DAABCDA1B1C1D1=0.1cos451. ABDC11cos,1222 (-)=-1.ACDAAC DA探究点探究点2利用空间向量的数量积求夹角利用空间向量的数量积求夹角
6、ABCDABCD不一定不一定或或.2如何利用数量积求直线的夹角或夹角的余弦值？EA1ABCB1C1因为因为A1A平面平面ABC，所以所以A1AAB，A1AAC.又BC2AE2，所以E为BC的中点，即异面直线AE，A1C所成的角是60.利用数量积求夹角或其余弦值的步骤取向量根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量求余弦角转化把异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题利用数量积求余弦值或角的大小异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应加上绝对值定结果如图，在正方ABCD-A1B1C1D1中，ABCDA1B1C1D1探究点探究点3利用向量的数量积判断或证明垂直问题利用向量的数量积判断或证
7、明垂直问题例3：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.ABCDA1B1C1D1OG( )又因为OGBDO，OG平面GBD，BD平面GBD，所以A1O平面GBD.已知在空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC.ABCOMNG利用向量数量积判断或证明线线、线面垂直的思路利用向量数量积判断或证明线线、线面垂直的思路(1)由数量积的性质由数量积的性质abab0(a，b0)可知，要证两直线垂直，可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明
8、这两个向量的数量积为可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可即可(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可 探究点探究点4利用向量的数量积求两点间的距离利用向量的数量积求两点间的距离 例4：正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长A1ABCB1C1FE14如图，在三棱锥A-BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB2AM， 求MN的长ABCDMN
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