1.3.1 空间直角坐标系-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

1、空间直角坐标系空间直角坐标系要点一、空间直角坐标系要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系空间直角坐标系从空间某一定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴， 这样就建立了空间直角坐标系 Oxyz，点 O 叫做坐标原点， x 轴、 y 轴、 z 轴叫做坐标轴， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面， 分别是 xOy平面、yOz 平面、zOx 平面.要点二、空间直角坐标系中点的坐标要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中对称点的坐标空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点, ,P x y z，则有点P关于原点的对称点是1,Pxyz；点P关于横轴(x 轴)的对称点是2,P

2、xyz；点P关于纵轴(y 轴)的对称点是3, ,Px yz；点P关于竖轴(z 轴)的对称点是4,Pxy z；点P关于坐标平面xOy的对称点是5, ,Px yz；点P关于坐标平面yOz的对称点是6, ,Px y z；点P关于坐标平面xOz的对称点是7,Pxy z.要点三、空间两点间距离公式要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间两点间距离公式空间中有两点111222,A x y zB xyz，则此两点间的距离222121212|()()()dABxxyyzz.特别地，点, ,A x y z与原点间的距离公式为222OAxyz.2.空间线段中点坐标空间线段中点坐标空间中有两点11122

3、2,A x y zB xyz，则线段 AB 的中点 C 的坐标为121212,222xxyyzz.【典型例题】【典型例题】类型一：空间坐标系类型一：空间坐标系例 1画一个正方体 ABCDA1B1C1D1，以 A 为坐标原点，以棱 AB、AD、AA1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。（1）求各顶点的坐标；（2）求棱 C1C 中点的坐标；（3）求平面 AA1B1B 对角线交点的坐标。举一反三：举一反三：【变式 1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABCD1A1B1C1是单位正方体，N 是 BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点 N 的坐标【答案】O（0，0，0） ，

4、A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，1，0） ，D1（0，0，1） ，A1（1，0，1） ，B1（1，1，1） ，C1（0，1，1） ，N（1，1，12） 。例 2 （1）在空间直角坐标系中，点 P（2，1，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （2，1，4） B （2，1，4） C （2，1，4） D （2，1，4）（2）在空间直角坐标系中，点 P（2，1，4）关于 xOy 平面对称的点的坐标是（ ） A （2，1，4） B （2，l，4） C （2，1，4） D （2，1，4）举一反三：举一反三：【变式 1】如图，长方体1111ABCOABC O中，|OA|=4，|OC|

5、=6，12OO ，1BC与1BC相交于点 P，则点 P 的坐标是（ ）A （6，2，1） B （1，2，6）C （4，6，2） D （2，6，1）类型二：两点间的距离公式类型二：两点间的距离公式例 3如图所示，在长方体 OABCO1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，过点 O 作 ODAC 于 D，求点 O1到点 D 的距离。【解析】由题意得 A（2，0，0） ，O1（0，0，2） ，C（0，3，0）设 D（x，y，0）在 RtAOC 中，|OA|=2，|OC|=3，|13AC ，66 13|1313OD 如右图，过点 D 分别作 DMOA 于 M，DNOC 于 N，则

6、 RtODA 与 RtOMD 相似，可得|OMODODOA，|OM|=x，|OD|2=x|OA|，361813213x 同样的，利用 RtODC 与 RtODN 相似，可得236|1213|313ODyONOC18 12,013 13D 2212181211442 286|413131313O D举一反三：举一反三：【变式 1】在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，点 M 在 A1C1上，|MC1|=2|A1M1|，N 在 C1D 上且为 C1D 的中点，求 M、N 两点间的距离【变式 2】在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在 x 轴上求一点 P，使它与点 P

7、0（4，1，2）的距离为30；（2）在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M，使它到点 N（6，5，1）的距离最小例 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为平面 A1B1C1D1的中心，求证：PAPB1例 5正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，并且平面 ABCD平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N在 BF 上移动。若|CM|=|BN|=a（02a） 。（1）求 MN 的长度；（2）当 a 为何值时，MN 的长度最短。【解析】因为平面 ABCD平面 ABEF，且交线为 AB，BEAB，所以 BE平面 ABCD，所以 BA，BC，BE 两两垂直。取 B 为坐

8、标原点，过 BA，BE，BC 的直线分别为 x 轴，y 轴和 z 轴，空间直角坐标系。因为|BC|=1，|CM|=a，且点 M 在坐标平面 xBz 内且在正方形 ABCD 的对角线上，所以点22,0,122maa因为点 N 在坐标平面 xBy 内且在正方形 ABEF 的对角线上，|BN|=a，所以点22,022Naa（1）由空间两点间的距离公式，得：22222222|010212222MNaaaaa，即 MN 的长度为221aa（2）由（1）得2221|2122MNaaa ，当22a （满足02a）时，22122a取得最小值，即 MN 的长度最短，最短为22举一反三：举一反三：【变式 1】 正

9、方体 ABCDA1B1C1D1棱长为 1，M 为 AC 的中点，点 N 在 DD1上运动，求|MN|的最小值.【巩固练习】【巩固练习】1点（1，0，2）位于（ ） Ay 轴上 Bx 轴上 CxOz 平面内 DyOz 平面内2点 P（1，2，3）关于 xOy 平面对称的点的坐标是（ ） A （1，2，3） B （1，2，3 C （1，2，3） D （1，2，3）3在空间直角坐标系中，点 P（3，4，5）关于 yOz 平面对称的点的坐标为（ ） A （3，4，5） B （3，4，5） C （3，4，5） D （3，4，5）4在空间直角坐标系中，P（2，3，4） ，Q（2，3，4）两点的位置关系是（

10、 ） A关于 x 轴对称 B关于 yOz 平面对称 C关于坐标原点对称 D以上都不对5已知 A（3，1，4） ，B（5，3，6） ，设线段 AB 的中点为 M，点 A 关于 x 轴的对称点为 N，则|MN|=（ ）A3 B4 C5 D66ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，2，11） ，B（4，2，3） ，C（6，1，4） ，则ABC 的形状为（ ） A正三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形7在空间直角坐标系中，x 轴上到点 P（4，1，2）的点的距离为30的点有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D无数个8到两点 A（3，4，5） ，B（2，3，0）距离相等的点（x，y，z）

11、的坐标满足的条件是（ ） A10 x+2y+10z37=0 B5xy+5z37=0 C10 xy+10z+37=0 D10 x2y+10+37=09已知 A（4，7，1） ，B（6，2，z） ，若|AB|=10，则 z=_10已知点 A（1，a，5） ，B（2a，7，2） ，则|AB|的最小值为_11在空间直角坐标系中，已知点 A（2，4，3） ，B（0，6，1） ，则以线段 AB 为直径的圆的面积等于_12若 A（1，2，1） ，B（2，2，2） ，点 P 在 x 轴上，且|PA|=|PB|，则点 P 的坐标为_13 （1）在 z 轴上求与点 A（4，1，7）和 B（3，5，2）等距离的点的

12、坐标（2）在 yOz 平面上，求与点 A（3，1，2） 、B（4，2，2）和 C（0，5，1）等距离的点的坐标14如图以正方体的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 O-xyz，点 P 在正方体的对角线 AB上，点 Q 在正方体的棱 CD 上（1）当点 P 为对角线 AB 的中点，点 Q 在棱 CD 上运动时，探究|PQ|的最小值；（2）当点 Q 为棱 CD 的中点，点 P 在对角线 AB 上运动时，探究|PQ|的最小值空间直角坐标系空间直角坐标系要点一、空间直角坐标系要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系空间直角坐标系从空间某一定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴， 这样就建

13、立了空间直角坐标系 Oxyz，点 O 叫做坐标原点， x 轴、 y 轴、 z 轴叫做坐标轴， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面， 分别是 xOy平面、yOz 平面、zOx 平面.要点二、空间直角坐标系中点的坐标要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中对称点的坐标空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点, ,P x y z，则有点P关于原点的对称点是1,Pxyz；点P关于横轴(x 轴)的对称点是2,Pxyz；点P关于纵轴(y 轴)的对称点是3, ,Px yz；点P关于竖轴(z 轴)的对称点是4,Pxy z；点P关于坐标平面xOy的对称点是5, ,Px yz；点P关于坐标

14、平面yOz的对称点是6, ,Px y z；点P关于坐标平面xOz的对称点是7,Pxy z.要点三、空间两点间距离公式要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间两点间距离公式空间中有两点111222,A x y zB xyz，则此两点间的距离222121212|()()()dABxxyyzz.特别地，点, ,A x y z与原点间的距离公式为222OAxyz.2.空间线段中点坐标空间线段中点坐标空间中有两点111222,A x y zB xyz，则线段 AB 的中点 C 的坐标为121212,222xxyyzz.【典型例题】【典型例题】类型一：空间坐标系类型一：空间坐标系例 1画一个正

15、方体 ABCDA1B1C1D1，以 A 为坐标原点，以棱 AB、AD、AA1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。（1）求各顶点的坐标；（2）求棱 C1C 中点的坐标；（3）求平面 AA1B1B 对角线交点的坐标。【解析】如图所示，由棱长为 1，可得（1）各顶点坐标分别是 A（0，0，0） 、B（1，0，0） 、C（1，1，0） 、D（0，1，0） 、A1（0，0，1） 、B1（1，0，1） 、C1（1，1，1） 、D1（0，1，1） ；（2）棱 CC1中点为11,1,2M；（3）平面 AA1B1B 对角线交点为11,0,22N。举一反三：举一反三：【变式 1】在如图

16、所示的空间直角坐标系中，OABCD1A1B1C1是单位正方体，N 是 BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点 N 的坐标【答案】O（0，0，0） ，A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，1，0） ，D1（0，0，1） ，A1（1，0，1） ，B1（1，1，1） ，C1（0，1，1） ，N（1，1，12） 。例 2 （1）在空间直角坐标系中，点 P（2，1，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （2，1，4） B （2，1，4） C （2，1，4） D （2，1，4）（2）在空间直角坐标系中，点 P（2，1，4）关于 xOy 平面对称的点的坐标是（ ） A （2，1，4） B

17、（2，l，4） C （2，1，4） D （2，1，4）【答案】 （1）B （2）A举一反三：举一反三：【变式 1】如图，长方体1111ABCOABC O中，|OA|=4，|OC|=6，12OO ，1BC与1BC相交于点 P，则点 P 的坐标是（ ）A （6，2，1） B （1，2，6）C （4，6，2） D （2，6，1）【答案】D【解析】根据题意，得：点 B（4，6，0） ，点1C（0，6，2） ，且 P 是1BC的中点，40 66 02(,)222P，即 P（2，6，1） 类型二：两点间的距离公式类型二：两点间的距离公式例 3如图所示，在长方体 OABCO1A1B1C1中，|OA|=2，|

18、AB|=3，|AA1|=2，过点 O 作 ODAC 于 D，求点 O1到点 D 的距离。【解析】由题意得 A（2，0，0） ，O1（0，0，2） ，C（0，3，0）设 D（x，y，0）在 RtAOC 中，|OA|=2，|OC|=3，|13AC ，66 13|1313OD 如右图，过点 D 分别作 DMOA 于 M，DNOC 于 N，则 RtODA 与 RtOMD 相似，可得|OMODODOA，|OM|=x，|OD|2=x|OA|，361813213x 同样的，利用 RtODC 与 RtODN 相似，可得236|1213|313ODyONOC18 12,013 13D 2212181211442

19、 286|413131313O D举一反三：举一反三：【变式 1】在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，点 M 在 A1C1上，|MC1|=2|A1M1|，N 在 C1D 上且为 C1D 的中点，求 M、N 两点间的距离【答案】M、N 两点间的距离为21。【变式 2】在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在 x 轴上求一点 P，使它与点 P0（4，1，2）的距离为30；（2）在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M，使它到点 N（6，5，1）的距离最小【解析】 （1）设点 P 的坐标是（x，0，0） ，由题意|30POP ，即222(4)1230 x，

20、(x4)2=25，解得 x=9 或 x=1点 P 坐标为（9，0，0）或（1，0，0） 先设点 M（x，1x，0） ，然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可（2）设点 M（x，1x，0）则2222|(6)(15)(1 0)2(1)51MNxxx当 x=1 时，min|51MN点 M 的坐标为（1，0，0）时到点 N（6，5，1）的距离最小例 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为平面 A1B1C1D1的中心，求证：PAPB1【解析】如图，建立空间直角坐标系 D-xyz，设棱长为 1，则 A（1，0，0） ，B1（1，1，1） ，1 1,12 2P，由两点间的

21、距离公式得：22116|1222AP ，1112|442PB ，221|112AB 。 |AP|2+|PB1|2=|AB1|2=2，APPB1例 5正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，并且平面 ABCD平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N在 BF 上移动。若|CM|=|BN|=a（02a） 。（1）求 MN 的长度；（2）当 a 为何值时，MN 的长度最短。【解析】因为平面 ABCD平面 ABEF，且交线为 AB，BEAB，所以 BE平面 ABCD，所以 BA，BC，BE 两两垂直。取 B 为坐标原点，过 BA，BE，BC 的直线分别为 x 轴，y 轴和 z 轴，空间直角坐

22、标系。因为|BC|=1，|CM|=a，且点 M 在坐标平面 xBz 内且在正方形 ABCD 的对角线上，所以点22,0,122maa因为点 N 在坐标平面 xBy 内且在正方形 ABEF 的对角线上，|BN|=a，所以点22,022Naa（1）由空间两点间的距离公式，得：22222222|010212222MNaaaaa，即 MN 的长度为221aa（2）由（1）得2221|2122MNaaa ，当22a （满足02a）时，22122a取得最小值，即 MN 的长度最短，最短为22举一反三：举一反三：【变式 1】 正方体 ABCDA1B1C1D1棱长为 1，M 为 AC 的中点，点 N 在 DD

23、1上运动，求|MN|的最小值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知点 M 的坐标为(21，21，0)，由于点 N 在 z 轴上，故设 N 的坐标为(0，0，z)，由两点间的距离公式可得：|MN|=24141z.要使|MN|最小，只需 z=0，当点 N 在原点时，|MN|有最小值为22.【巩固练习】【巩固练习】1点（1，0，2）位于（ ） Ay 轴上 Bx 轴上 CxOz 平面内 DyOz 平面内1 【答案】C 【解析】点（1，0，2）的纵坐标为 0，所以该点在 xOz 平面内2点 P（1，2，3）关于 xOy 平面对称的点的坐标是（ ） A （1，2，3） B （1，2，3 C （

24、1，2，3） D （1，2，3）2 【答案】C3在空间直角坐标系中，点 P（3，4，5）关于 yOz 平面对称的点的坐标为（ ） A （3，4，5） B （3，4，5） C （3，4，5） D （3，4，5）3 【答案】A 【解析】关于 yOz 平面对称则对应 y、z 值不变4在空间直角坐标系中，P（2，3，4） ，Q（2，3，4）两点的位置关系是（ ） A关于 x 轴对称 B关于 yOz 平面对称 C关于坐标原点对称 D以上都不对4 【答案】C 5已知 A（3，1，4） ，B（5，3，6） ，设线段 AB 的中点为 M，点 A 关于 x 轴的对称点为 N，则|MN|=（ ）A3 B4 C5

25、D65 【答案】C【解析】A（3，1，4） ，B（5，3，6） ，线段 AB 的中点为 M，M（1，1，1）点 A（3，1，4）关于 x 轴的对称点为 N，N（3，1，4） ，222|( 3 1)( 1 1)(4 1)5MN 6ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，2，11） ，B（4，2，3） ，C（6，1，4） ，则ABC 的形状为（ ） A正三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形6 【答案】C 【解析】 由空间两点间的距离公式易得，|89AB ，|75AC ，|14BC ，因为|AC|2=|BC|2=|AB|2，所以ABC 为直角三角形7在空间直角坐标系中，x 轴上到点 P（4

26、，1，2）的点的距离为30的点有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D无数个7 【答案】C【解析】该点的坐标可设为（a，0，0） ，则有222(4)(0 1)(02)30a，即(a4)2=25，解得 a=0 或 a=1，所以满足条件的点为（9，0，0）或（1，0，0） 8到两点 A（3，4，5） ，B（2，3，0）距离相等的点（x，y，z）的坐标满足的条件是（ ） A10 x+2y+10z37=0 B5xy+5z37=0 C10 xy+10z+37=0 D10 x2y+10+37=08 【答案】A 【解析】 由已知得|MA|=|MB|，即 222222(3)(4)(5)(2)(3)xyzxy

27、z，化简得 10 x+2y+10z37=09已知 A（4，7，1） ，B（6，2，z） ，若|AB|=10，则 z=_9 【答案】115 【解析】 由222|(46)( 72)(1)10ABz ，解得115z 10已知点 A（1，a，5） ，B（2a，7，2） ，则|AB|的最小值为_10 【答案】3 6 【解析】由空间两点间的距离公式易得2|5(1)54ABa，所以当 a=1 时，|AB|的值最小，最小值为543 611在空间直角坐标系中，已知点 A（2，4，3） ，B（0，6，1） ，则以线段 AB 为直径的圆的面积等于_11 【答案】3【解析】点 A（2，4，3） ，B（0，6，1） ，

28、222|(20)(46)( 3( 1)2 3AB ，以线段 AB 为直径的圆的半径为3，面积等于2( 3)3S12若 A（1，2，1） ，B（2，2，2） ，点 P 在 x 轴上，且|PA|=|PB|，则点 P 的坐标为_12 【答案】 （3，0，0） 【解析】由题意设 P（x，0，0）A（1，2，1） ，B（2，2，2） ，|PA|=|PB|，222222(1)(02)(0 1)(2)(02)(02)xx，解得 x=313 （1）在 z 轴上求与点 A（4，1，7）和 B（3，5，2）等距离的点的坐标（2）在 yOz 平面上，求与点 A（3，1，2） 、B（4，2，2）和 C（0，5，1）等

29、距离的点的坐标13 【解析】 （1）由题意设 C（0，0，z） ，C 与点 A（4，1，7）和点 B（3，5，2）等距离，|AC|=|BC|，2216 1 (7)925(2)zz ，18z=28，149z ，C 点的坐标是14(0,0,)9（2）设 yOz 平面内一点 D（0，y，z）与 A，B，C 三点距离相等，则有|AP|2=9+(1y)2+(2z)2，|BP|2=16+2(2+y)2+(2+z)2，|CP|2=(5y)2+(1z)2，由|AP|=|BP|，及|AP|=|CP|，得222222229(1)(2)16(2)(2)9(1)(2)(5)(1)yzyzyzyz 化简可得345046

30、0yzyz，解得12yz 点 P（0，1，2）为 yOz 平面内到 A，B，C 三点等距离的点14如图以正方体的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 O-xyz，点 P 在正方体的对角线 AB上，点 Q 在正方体的棱 CD 上（1）当点 P 为对角线 AB 的中点，点 Q 在棱 CD 上运动时，探究|PQ|的最小值；（2）当点 Q 为棱 CD 的中点，点 P 在对角线 AB 上运动时，探究|PQ|的最小值14 【解析】设正方体的棱长为 a（1）当点 P 为对角线 AB 的中点时，点 P 的坐标是,2 2 2a a a因为点 Q 在线段 CD 上，故设 Q（0，a，z） ，则222221|22222aaaaPQazza当2az 时，|PQ|取得最小值，且最小值为22a（2）因为点 P 在对角线 AB 上运动，点 Q 是定点，所以当 PQAB 时，PQ 最短因为点 Q 为棱 CD 的中点，所以|AQ|=|BQ|，所以QAB 是等腰三角形，所以当 P 是 AB 的中点时，|PQ|取得最小值，且最小值为22a