1、题型一题型一 与抛物线有关的轨迹问题与抛物线有关的轨迹问题xyOMPN解：解：(1)过点P作x轴的垂线垂足为点N，则|PN|y，12x2+(y - )2化简得x22y.故点P的轨迹方程为x22y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，消去y化简得x22kx20， x1x22k，x1x22.k43k240，又k20，k21，k1.练习若动点P与定点F(1，1)和直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是()A椭圆B双曲线 C抛物线 D直线显然定点F(1，1)在直线l：3xy40上，定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线题型二题型二与抛物线有关定点、定
2、值问题与抛物线有关定点、定值问题角度一定点问题角度一定点问题解：解：(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，因为直线OA，OB的斜率之积为所以A(8，a)，B(8，a)，此时直线AB的方程为x8.当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，消去x化简得ky24y4b0.xAxB2yAyB0，yAyB0(舍去)或yAyB32，所以ykx8k，即yk(x8)，直线AB过x轴上一定点(8，0)练习：已知抛物线y28x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OAOB，求
3、证：直线AB经过一个定点证明：证明：设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为直线OA的方程为ykx，得A( )，同理可得B(8k2，8k)，于是直线AB的方程为y8k因此直线AB经过定点(8，0)角度二定值问题角度二定值问题例3已知抛物线C：y22px(p0)，过点(2，0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，(1)求抛物线C的方程；(2)点M坐标为(2，0)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：为定值1121kk解解：(1)设l的方程为xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y22pm，y1y24p.44p2，抛物线C的方程为y2x.(2)证明：证明：因为
4、M坐标为(2，0)，由(1)可得y1y2m，y1y22，解：解：(1)依题意，设AB的方程为xmy2，代入y24x，得y24my80，从而y1y28.xOyFABMNP代入y24x，消去x得y24ny40， 所以y1y34，同理y2y44，由(1)知y1y28，(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，设直线AM的方程为xny1，xOyFNMABP题型三题型三 与抛物线有关的最值与抛物线有关的最值(范围范围)问题问题角度一最值问题角度一最值问题例4如图，已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出这个最大面积xOyAB
5、P由题图可知，A(4，4)，B(1，2)，则dd为点P到直线AB的距离，设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，练习练习求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离法法一一：如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，xyO4x3y80消去y得3x24xm0，1612m0，故最小距离为5-8+43法法二二：设A(t，t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x3y80的距离53(t- )2+23203d角度二范围问题角度二范围问题例例5如图，已知点F为抛物线C：y24x的焦点，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则DAB的面积S的取
6、值范围为_xyFDlABO解析：解析：由抛物线C：y24x可得焦点F(1，0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yk(x1)(k0)可得k2x2(2k24)xk20，DAB的面积S的取值范围为(4，)xyFODlAB设直线AB的方程为xmy1，代入y24x，消去x得y24my40，可得y1y24m，y1y24，S|y1y2|=(y1y2)24y1y24m2+14，若抛物线y2=x存在关于直线l:y-1=k(x-1)对称的两点,求实数k的取值范围.xyAB显然k=0不满足题意，k0，设直线AB的方程为y xb，代入方程1k可得x2(k22kb)xk2b20，x1x2k22kb，y1y2k，k44k3b0AB中点在直线y-1=k(x-1)上b=k2k32k2k42k2+4k0k(k+2)(k22k+2)02k0
