1、1、掌握用向量知识、方法求异面直线所、掌握用向量知识、方法求异面直线所成的角，直线和平面所成的角和二面角；成的角，直线和平面所成的角和二面角；2、能综合运用向量知识、方法，灵活解、能综合运用向量知识、方法，灵活解决有关空间角的计算问题。决有关空间角的计算问题。一、异面直线所成的角：一、异面直线所成的角：线线角的范围：线线角的范围： lmlm一、异面直线所成的角：一、异面直线所成的角：例例1：在正方体中，：在正方体中， ，求与所成的角的余弦值。求与所成的角的余弦值。xyzCB1A1D1C1BDAE 1 F 1 设正方体的棱长为设正方体的棱长为4，建立如图空间直角坐标系建立如图空间直角坐标系解：解
2、：D二、直线和平面所成的角：二、直线和平面所成的角：线面角的范围：线面角的范围： 二、直线和平面所成的角：二、直线和平面所成的角：建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系解：解：例例2：正方体的棱长为：正方体的棱长为1，求与面求与面 所成的角的正弦值。所成的角的正弦值。xyzA三、二面角：三、二面角：面面角的范围：面面角的范围： 关键：观察二面角的范围。关键：观察二面角的范围。例例3：在底面是直角梯形的四棱锥：在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，中，ABC=90, SA面面ABCD，SA=AB=BC=1， AD= 求面求面SCD与面与面SBA所成的二面角的余弦值。所成的二面角的余弦值。yxz建立
3、空间直角坐标系建立空间直角坐标系解：解：因为二面角为锐角。因为二面角为锐角。 【总一总总一总成竹在胸成竹在胸】(1)求异面直线所成角的公式：求异面直线所成角的公式： 其中其中 是异面直线是异面直线 上的方向向量。上的方向向量。 (2)求线面角大小的公式：求线面角大小的公式： 其中其中 是平面的法向量。是平面的法向量。 (3)求二面角大小的公式：求二面角大小的公式： 其中其中 分别是二面角的两个半平面的法向量。分别是二面角的两个半平面的法向量。 熟练掌握用向量方法求点面距离、熟练掌握用向量方法求点面距离、线面距离、面面距离以及异面直线面距离、面面距离以及异面直线间的距离。线间的距离。一、点到平面
4、的距离：一、点到平面的距离：其中其中 为斜向量，为斜向量， 为法向量。为法向量。l二、直线到平面的距离：二、直线到平面的距离：其中其中 为斜向量，为斜向量， 为法向量。为法向量。三、平面到平面的距离：三、平面到平面的距离：其中其中 为斜向量，为斜向量， 为法向量。为法向量。 是与是与 都垂直的向量都垂直的向量四、异面直线间的距离：四、异面直线间的距离：点到平面的距离：点到平面的距离：直线到平面的距离：直线到平面的距离：平面到平面的距离：平面到平面的距离：异面直线间的距离：异面直线间的距离：四种距离的统一向量形式：四种距离的统一向量形式：(1)求求B1到面到面A1BE的距离？的距离？例：正方体例
5、：正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：xyz(2)求求D1C到面到面A1BE的距离？的距离？例：正方体例：正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：xyz(3)求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离？的距离？例：正方体例：正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：xyz(4)求异面直线求异面直线D1B与与A1E的距离？的距离？例：正方体例：正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，
6、棱长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：xyzFEB1C1D1DCA练习：练习：正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，棱长为棱长为1，E、F分别是分别是B1C1和和C1D1 的的中点，求点中点，求点A1到平面到平面DBEF的距离。的距离。BxyzA1【总一总总一总成竹在胸成竹在胸】 点到平面的距离：点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影的向量在平面定向法向量上的射影(如果不知道如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值判断方向，可取其射影的绝对值)。直线到平面的距离：直线到平面的距离：可以转化为点到平面的可以转化为点到平面的 距离。距离。平行平面间的距离：平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。点到平面的距离。异面直线间的距离：异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。点到平面的距离。
