1、空间向量与立体几何空间向量与立体几何 解答题专项训练 15 题(B 卷)解答题专项训练 15 题(B 卷)1.在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,BCAD,ADC90,BCCD=12AD1,E 为线段 AD 的中点PE底面 ABCD,点 F 是棱长 PC 的中点,平面 BEF 与棱 PD 相交于点 G()求证:BEFG;()若 PC 与 AB 所成的角为3,求直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值2.如图,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 为菱形,AC1和 BD1相交于点O,E 为 CC1的中点(1)求证:OE平面 ABCD;(2)若 B1在平面
2、ABCD 上的射影为 AC 的中点1,1= , =23求平面 BED1与平面 ABCD 所成锐二面角的大小3.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD为正三角形,2AD ,3AB ,平面PAD 平面ABCD,E为棱PB上一点(不与P、B重合) ,平面ADE交棱PC于点F.(1)求证:ADEF;(2)若二面角BACE的余弦值为3 3020,求点B到平面AEC的距离.4.如图, 四棱锥中, 底面 ABCD 为矩形, 侧面 PAD 为正三角形, 且平面平面 ABCD,E 为 PD 中点,(1)求证:平面平面 PCD;(2)若二面角的平面角大小满足,求线段 AB 的长PABCDPAD
3、2AD AEC APCD2cos4 5.如图 1,等腰梯形ABCD中,/AB CD,24ABAD,P为AB的中点,对角线AC平分DAB,将ACD沿AC折起到如图 2 中ACD的位置.(1)求证:PDAC .(2)若二面角BACD为直二面角,M为线段AB上的点,且二面角AD CM与二面角MD CB大小相等,求出AMAB的值.6.如图,在四棱锥PABCD中,底面 ABCD 为正方形,AP 平面 CDP,已知2APDP,Q 为线段 DP 的中点(1)求证:/ /BP平面 ACQ;(2)求二面角CBQP的平面角的余弦值7.如图1,在直角梯形ABCD中,/AD BC,2BAD,1ABBC,2AD ,E是
4、AD的中点,O是AC与 BE 的交点将ABE沿 BE 折起到1ABE的位置,如图2(1)证明:CD 平面1AOC;(2)若平面1ABE 平面BCDE,求平面1ABC与平面1ACD夹角的余弦值8.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA 平面ABCD,4PAAD,2AB ,M是PD上一点,且BMPD.(1)求异面直线PB与CM所成角余弦的大小;(2)求点M到平面PAC的距离.9.如图,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,ADBC,ADDC,平面 SAD平面 ABCD,P 为 AD 的中点,SASD2,BC =12ADl,CD =3()求证:SPAB;()求直线 BS
5、 与平面 SCD 所成角的正弦值;()设 M 为 SC 的中点,求二面角 SPBM 的余弦值10. 如图 1 所示,在凸四边形 ABCD 中,ACBADC =2,DACCAB =6,AB4,点 E 为 AB 的中点,M 为线段 AC 上的一点,且 MEAB,沿着 AC 将DAC 折起来,使得平面 DAC平面 BAC,如图 2 所示(1)证明:BCAD;(2)求平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值11. 如图,已知在三棱柱 ABCA1B1C1中,四边形 AA1C1C 为正方形,ABAC2,AMAB1,M、N 分别是 CC1、BC 的中点,点 P 是线段 A1B1上的动点(1)证明:
6、AMPN;(2)若 BC22,若1 = 21,求平面 PMN 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值12. 如图,在四棱锥 PABCD 中,PAAD,ABCD,CDAD,ADCD2AB2,E,F 分别为 PC,CD 的中点,DEEC(1)求证:平面 ABE平面 BEF;(2)设 PAa,若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 4,3,求 a 的取值范围13.如图,在四棱台1111ABCDABC D中,底面ABCD是菱形111112AAABAB,60ABC,1AA 平面ABCD(1)若点M是AD的中点,求证:1/ /C M平面11AAB B;(2)棱BC上是否存在一点E,使得二面角1EAD
7、D的余弦值为13?若存在,求线段CE的长;若不存在,请说明理由14.在三棱锥中,平面,平面平面(1)证明:平面;(2)若为的中点,且,求二面角的余弦值PABCBCPABPAC ABCPA ABCDPC2 2PAABABBCABDC15. 如图,已知在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形,BCAD,ABCD,E 为棱 PB 上一点,AC 与 BD 交于点 O,且 ACBD,AD1,BCPCPB3, =3 22(1)证明:ACDE;(2)是否存在点 E,使二面角 BDCE 的余弦值为3 7638?若存在,求出 E 点位置,若不存在,请说明理由 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 解
8、答题专项训练 15 题(B 卷)解答题专项训练 15 题(B 卷)1.在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,BCAD,ADC90,BCCD=12AD1,E 为线段 AD 的中点PE底面 ABCD,点 F 是棱长 PC 的中点,平面 BEF 与棱 PD 相交于点 G()求证:BEFG;()若 PC 与 AB 所成的角为3,求直线 PB 与平面 BEF 所成角的正弦值【解题思路】 ()证明四边形 BCDE 为平行四边形,得到 BE/CD推出 BE/平面 PCD然后证明 BE/FG() (解法 1)以 E 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系 Exyz求出 = (1, 1,), = (
9、 1,1,0) 通过 PC 与 AB 所成角为3, 求解 = (0,1, 6) 求出平面 BEF的法向量,利用空间向量的数量积求解直线 PB 与平面 BEF 的所成角的正弦值【解答过程】 ()证明:因为 E 为 AD 中点,所以 =12 = 1又因为 BC1,所以 DEBC在梯形 ABCD 中,DE/BC,所以四边形 BCDE 为平行四边形所以 BE/CD又因为 BE平面 PCD,且 CD平面 PCD,所以 BE/平面 PCD因为 BE平面 BEF,平面 BEF平面 PCDFG,所以 BE/FG()解: (解法 1)因为 PE平面 ABCD,且 AE,BE平面 ABCD,所以 PEAE,且 P
10、EBE因为四边形 BCDE 为平行四边形,ADC90,所以 AEBE以 E 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系 Exyz则 E(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,C(1,1,0) ,D(1,0,0) 设 P(0,0,m) (m0) ,所以 = (1, 1,), = ( 1,1,0)因为 PC 与 AB 所成角为3,所以|,| = | | | = |22 + 2 2| = 2=12所以 =6则(0,0,6),( 12,12,62)所以 = (0,1,0), = ( 12,12,62), = (0,1, 6)设平面 BEF 的法向量为 = (,),则 = 0, = 0.即 =
11、 012 +12 +62 = 0.令 x6,则 =6,所以 = (6,0,6)所以, = | |= 6 67 42= 67所以直线 PB 与平面 BEF 的所成角的正弦值为672.如图,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 为菱形,AC1和 BD1相交于点O,E 为 CC1的中点(1)求证:OE平面 ABCD;(2)若 B1在平面 ABCD 上的射影为 AC 的中点1,1= , =23求平面 BED1与平面 ABCD 所成锐二面角的大小【解题思路】 (1)由中位线的性质可得 OEAC,由此即可得证;(2)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用向量公式得解【解答过程】
12、解: (1)证明:因为 ABCD,ABCD,所以 AC1,BD1相互平分,所以 O 为 BD1和 AC1的中点,又因为 E 为 CC1的中点,所以 OE 为ACC1的中位线,所以 OEAC,又因为 OE平面 ABCD,AC平面 ABCD,所以 OE平面 ABCD;(2)因为 B 在平面 ABCD 上的射影为 AC 的中点 O,所以 B1O1平面 ABCD又因四边形 ABCD 为菱形,所以 ACBD,所以 AC,BD,O,B 两两垂直,所以分别以射线 O1B,O1C,O1B1为 x,y,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,设 O1B1由四边形 ABCD 为菱形, =23,1= 得 = =
13、 1= 2,1 = = = 2,11=3 = = 1= 2,11=3,所以(1,0,0),1( 2,0,3),( 12,3,32),所以1= ( 3,0,3), = ( 32,3,32),设平面 BED1的法向量为1= (,),则11= 01 = 0,即3 +3 = 032 +3 +32 = 0,令 =3,则 x1,y0,所以1= (1,0,3),易知平面 ABCD 的一个法向量为2= (0,0,1),设平面 BED1与平面 ABCD 所成锐二面角为 ,则 =|12|1|2|=32,所以平面 BED1与平面 ABCD 所成锐二面角为63.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD
14、为正三角形,2AD ,3AB ,平面PAD 平面ABCD,E为棱PB上一点(不与P、B重合) ,平面ADE交棱PC于点F.(1)求证:ADEF;(2)若二面角BACE的余弦值为3 3020,求点B到平面AEC的距离.【答案】 (1)证明见解析; (2)3 1010.【分析】(1)先根据线面平行判定定理得AD平面PBC,再根据线面平行性质定理得结果;(2)取AD的中点O,根据面面垂直性质定理得PO 平面ABCD,再根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用向量数量积解得平面AEC的一个方向量,再利用向量夹角公式以及二面角与向量夹角关系列方程,解得 E 点坐标,最后根据向量求点面距,即得结果.
15、【详解】(1)底面ABCD为矩形,ADBC.又AD Q平面PBC,BC 平面PBC,AD平面PBC.又AD Q平面ADE,平面ADE 平面PBCEF,ADEF.(2)取AD的中点O,连接PO,过点O作OHAB交BC于点H.侧面PAD为正三角形,POAD.平面PAD 平面ABCD且交线为AD,PO平面ABCD,ABCD为矩形,ABAD,OHAD,如图所示,建立以OA,OH,OP所在直线为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系Oxyz0,0,0O,0,0, 3P,1,0,0A,1,3,0B,1,3,0C .设, ,E x y z,又(01)PEPB ,,3 , 33E.1,3 , 33AE ,2, 0
16、, 3AC .设平面AEC的法向量为111,nx y z1111123000(1)3( 33 )0 xyn ACn AExyz ,令13x ,12y,13(31)1z,平面AEC的一个法向量3(31)2,31,n.又易知0,3, 0OP 是平面ABC的一个法向量,22933 301|cos,|203(31)313(1)OP mOP mOP m ,解得:23,23233, ,E,13, 133BE .又平面AEC的一个法向量3 23 3, ,n ,点B到平面AEC的距离为:|63 1010|2 10BE ndn .4.如图, 四棱锥中, 底面 ABCD 为矩形, 侧面 PAD 为正三角形, 且平
17、面平面 ABCD,E 为 PD 中点,(1)求证:平面平面 PCD;(2)若二面角的平面角大小满足,求线段 AB 的长PABCDPAD 2AD AEC APCD2cos4 【答案】 (1)证明见解析; (2).【解析】(1)取 AD 的中点 O,侧面 PAD 为正三角形,又平面平面 ABCD,平面 PAD,平面平面,平面 ABCD,如图所示,以 O 为原点,建立空间直角坐标系,设,则,即,DP、平面 PCD,且,平面 PCD,又平面 AEC,平面平面 PCD(2)由(1)可知,平面 PCD 的法向量为,3OPADPAD OP PADABCDADOP ABa=(1,0,0)A( 1, ,0)Ca
18、( 1,0,0)D (0,0, 3)P13,0,22E33,0,22AE (0, ,0)DCa(1,0, 3)DP3330220AE DPAE DC AEDPAEDCDC DPDCDAEAE AEC ( 2, ,0)ACa ( 1,0, 3)AP 33,0,22AE 设平面 APC 的法向量为,则,即,令,则,由题可知,二面角的平面角为锐角,解得或(舍负) ,线段 AB 的长为5.如图 1,等腰梯形ABCD中,/AB CD,24ABAD,P为AB的中点,对角线AC平分DAB,将ACD沿AC折起到如图 2 中ACD的位置.(1)求证:PDAC .(2)若二面角BACD为直二面角,M为线段AB上的
19、点,且二面角AD CM与二面角MD CB大小相等,求出AMAB的值.【答案】 (1)证明见解析; (2)2 33AMAB.【解析】 (1)证明:连接DP,CP,设DP与AC交于点O,如图 1 所示.( , , )mx y z00m ACm AP 2030 xayxz 1x 2ya33z =231,3am223331223cos,4444| |3333m AEm AEmAEaaAPCD221cos44433a3a 33四边形ABCD是等腰梯形,ABDC,ADBC,DCACAB ,又AC平分DAB,DACCABDCA ,CDAD,结合P为AB的中点,2ABAD,易证得四边形APCD为菱形,ACDP
20、.如图 2,ACOP,ACOD,且OPODO,AC 平面D PO,又PD平面D PO,PDAC .(2)二面角BACD为直二面角,ACOP,OP 平面ACD,易知OPBC,BC平面ACD,二面角AD CB为直二面角,又二面角AD CM与二面角MD CB大小相等,二面角AD CM的平面角为45,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OP所在直线为y轴,OD所在直线为z轴,建立如图 3 所示的空间直角坐标系Oxyz,如图 1,在菱形APCD中,易知3PAD,1ODOP,3OAOC.3,0,0A,3,2,0B ,3,0,0C ,0,0,1D,3,0,1CD ,2 3,2,0AB ,设01AMAB ,3
21、2 3 ,2 ,0M,2 3 1,2 ,0CM ,易知平面ACD的一个法向量为0,1,0m ,设, ,nx y zr为平面MCD的法向量,则00n CDn CD ,即2 3 12030 xyxz,取1x ,则3z ,3 1y ,得3(1)1,3n,23 12cos,23 113m nm nmn ,解得2 33,满足题意,故2 33AMAB.6.如图,在四棱锥PABCD中,底面 ABCD 为正方形,AP 平面 CDP,已知2APDP,Q 为线段 DP 的中点(1)求证:/ /BP平面 ACQ;(2)求二面角CBQP的平面角的余弦值【答案】 (1)证明见解析 (2)5 5151【解析】 (1)连结
22、BD交AC于点O,连结OQABCD 为正方形,则O为BD的中点,又Q为DP中点所以/ /OQBP,BP 面ACQ,OQ 面ACQ,所以/ /BP面ACQ(2)AP 平面 CDP,CD 面CDP,则APCD又 ABCD 为正方形,所以ADCD,且ADAPA所以CD 面ADP, 由CD 面 ABCD所以面ADP 面 ABCD过P作PHAD交AD于H点,则PH 面 ABCD2APDP,则2 2AD 取BC的中点为N,以H为原点, HA为x轴,HN为轴y,HP为z轴建立空间直角坐标系则220,0,2 ,0,2,2 2,022PQB,2 2 2,0C, 设面BPQ的法向量为1111,nx y z,3 2
23、2, 2 2,22BQ ,22,0,22QP 所以1100n BQn QP ,即111113 222 202222022xyzxz ,取11,1,1n ,设面CBQ的法向量为2222,nxyz ,3 22, 2 2,22BQ ,2 2,0,0BC ,所以2200nBQnBC ,即22223 222 20222 20 xyzx,取20,1,4n ,所以12121255 51cos,51173n nn nnn ,所以二面角CBQP的平面角的余弦值5 5151.7.如图1,在直角梯形ABCD中,/AD BC,2BAD,1ABBC,2AD ,E是AD的中点,O是AC与 BE 的交点将ABE沿 BE 折
24、起到1ABE的位置,如图2(1)证明:CD 平面1AOC;(2)若平面1ABE 平面BCDE,求平面1ABC与平面1ACD夹角的余弦值【答案】 (1)证明见解析; (2)63【解析】 (1)在图1的直角梯形CD中,连接CE,/AD BC,1ABBC,2AD ,E是AD的中点,所以/AE BC且AEBC,所以,四边形ABCE是菱形,则ACBE,翻折后,在图2中,1BEOA,BEOC1OAOCO,BE平面1AOC,又因为/D C且1BC ,2AD ,E是AD的中点,/BC DE且BCDE,所以四边形BCDE是平行四边形,从而/CD BEBE 平面1AOC,CD平面1AOC;(2)由已知,平面1AB
25、E 平面BCDE,又由(1)知,1BEOA,BEOC所以1AOC为二面角1ABEC的平面角,所以12AOC如图,以O为原点,OB、OC、1OA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Oxyz,因为111ABAEBCED,/BC DE且BCDE,所以2,0,02B,2,0,02E,120,0,2A,20,02C得22,022BC ,1220,22AC,,2,0,0CDBE 设平面1ABC的法向量1111,nx y z,平面1ACD的法向量2222,nxyz ,平面1ABC与平面1ACD夹角为,则11100n BCnAC ,得111100 xyyz,令11y ,可得111xz,则11,1,1n
26、 ,22100nCDnAC ,得22200 xyz,令21y ,可得20 x ,21z ,则20,1,1n ,从而12121226coscos,332n nn nnn ,即平面1ABC与平面1ACD夹角的余弦值为638.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA 平面ABCD,4PAAD,2AB ,M是PD上一点,且BMPD.(1)求异面直线PB与CM所成角余弦的大小;(2)求点M到平面PAC的距离.【答案】 (1)155; (2)2 55.【解析】 (1)连BD交AC于O,连MO,PA 平面ABCD,所以,PAAB PACD,在Rt PAB中,224,2,2 5PAABPBPAAB
27、,又因为底面ABCD是矩形,所以O为BD中点,2,4ABAD,所以2 5BDPB,因为M是PD上一点,且BMPD,所以M为PD中点,1/,2MO PB MOPB,所以OMC(或补角)就为PB与CM所成的角,因为,PACD ADCD PAADA所以CD 平面,PAD CDPD,22()2 32PDMCCD,115,522MOPBCOAC,3152cos,55MCOMCMO所以异面直线PB与CM所成角余弦值为155;(2)解 1:过D做DNAC于N,PA 平面ABCD,所以,PADN PAACA,所以DN 平面PAC,DN为点D到平面PAC的距离,在RtACD中,4 55CD DADNAC,又M是
28、PD中点,所以点M到平面PAC的距离为2 55解 2:因为Rt BCEV,PA 平面ABCD,所以111162 443323P ACDACDVSPA ,在Rt ADC中,222 5ACADCD,所以112 544 522PACSAC PA,设点D到平面PAC的距离为h,则14 533D PACPACVShh,由P ACDD PACVV,得4 51633h ,所以4 55h 又M是PD中点,所以点M到平面PAC的距离为2 55解法二:分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(1)0,0,0 ,2,442,0,0 ,0,4,0,0 ,0 ,0,APCBD则2,
29、0, 4PB ,2,4, 4PC ,0,4, 4PD ,设01PMPD,则0,4 , 4PM ,所以2,4 ,44BMPMPB ,由BMPD,知0 164 440BM PD ,所以12,M为PD中点,所以0,2,2M,2, 2,2CM ,40815cos,52 52 3PB CMPB CMPB CM 所以异面直线PB与CM所成角的余弦值为155(2)0,0,4AP ,2,4,0AC ,设平面PAC的法向量为, ,nx y z,由00AP nAC n ,得40240zxy,所以0z ,取2x ,得1y ,所以2, 1,0n 是平面PAC的一个法向量所以点M到平面PAC的距离为224202 552
30、10CM nn 9.如图,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,ADBC,ADDC,平面 SAD平面 ABCD,P 为 AD 的中点,SASD2,BC =12ADl,CD =3()求证:SPAB;()求直线 BS 与平面 SCD 所成角的正弦值;()设 M 为 SC 的中点,求二面角 SPBM 的余弦值【解题思路】 ()在SAD 中,由 SASD,P 为 AD 的中点,可得 SPAD,再由面面垂直的性质可得 SP平面 ABCD,从而得到 SPAB;()在直角梯形 ABCD 中,由已知可得四边形 BCDP 为平行四边形,得到 ADPB,由()可知,SP平面 ABCD,故以 P 为
31、坐标原点,建立空间直角坐标系 Pxyz,求出平面 SCD 的一个法向量,则直线 BS 与平面 SCD 所成角可求;()证明 AP平面 SBP,可得 = (1,0,0)为平面 SPB 的一个法向量,求出平面 MPB的一个法向量,则由两法向量所成角的余弦值可得二面角 SPBM 的余弦值【解答过程】 ()证明:在SAD 中,SASD,P 为 AD 的中点,SPAD,平面 SAD平面 ABCD,且平面 SAD平面 ABCDAD,SP平面 ABCD,又 AB平面 ABCD,SPAB;()解:在直角梯形 ABCD 中,ADBC,BC =12,P 为 AD 中点,BCPD,且 BCPD,则四边形 BCDP
32、为平行四边形,ADDC,ADPB,由()可知,SP平面 ABCD,故以 P 为坐标原点,建立空间直角坐标系 Pxyz,则 P(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(0,3,0) ,S(0,0,3) ,C(1,3,0) ,D(1,0,0) , = (0, 3,3) = (0, 3,0) , = (1,0, 3) ,设平面 SCD 的一个法向量 = (,),由 = 3 = 0 = 3 = 0,取 z1,得 = ( 3,0,1);设直线 BS 与平面 SCD 所成角为 ,则 sin|cos,| =| | |=32 6=24直线 BS 与平面 SCD 所成角的正弦值为24;()解:APSP,APBP
33、,SPBPP,AP平面 SBP,即 = (1,0,0)为平面 SPB 的一个法向量,M 为 SC 的中点,点 M 的坐标为( 12,32,32) ,而 = (0,3,0) , = ( 12,32,32) ,设平面 MPB 的一个法向量为 = (,),由 =3 = 0 = 12 +32 +32 = 0,取 z1,得 = (3,0,1)cos, =| | |=32 1=32二面角 SPBM 的余弦值为3210. 如图 1 所示,在凸四边形 ABCD 中,ACBADC =2,DACCAB =6,AB4,点 E 为 AB 的中点,M 为线段 AC 上的一点,且 MEAB,沿着 AC 将DAC 折起来,
34、使得平面 DAC平面 BAC,如图 2 所示(1)证明:BCAD;(2)求平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值【解题思路】 (1) 由已知结合平面与平面垂直的性质可得BC平面 DAC, 从而得到BCAD;(2)以 C 为原点,分别以 CA、CB 所在直线为 x、y 轴建立空间直角坐标系,分别求出平面 MDE 的一个法向量与平面 DEB 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值即可求得平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值【解答过程】 (1)证明:如图,平面 DAC平面 BAC,且平面 DAC平面 BACAC,BC平面 BAC,且 BCAC,BC平面 DAC,而 AD平面
35、 DAC,BCAD;(2)解:以 C 为原点,分别以 CA、CB 所在直线为 x、y 轴建立空间直角坐标系,在图 1 中,ACBADC =2,DACCAB =6,AB4,BC2,AC = 23,CD =3,CMACAM =2 33,M(2 33,0,0) ,E(3,1,0) ,B(0,2,0) ,D(32,0,32) , = ( 33, 1,0), = ( 32, 1,32), = ( 3,1,0)设平面 MDE 的一个法向量为 = (1,1,1),由 = 331 1= 0 = 321 1+321= 0,取 z11,可得 = (33, 3,1);设平面 DEB 的法向量为 = (2,2,2),
36、由 = 322 2+322= 0 = 32+ 2= 0,取 x21,得 = (1,3,3)设平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角为 ,则 cos =| | |=337 7=777259故平面 MDE 与平面 DEB 所成锐二面角的余弦值为77725911. 如图,已知在三棱柱 ABCA1B1C1中,四边形 AA1C1C 为正方形,ABAC2,AMAB1,M、N 分别是 CC1、BC 的中点,点 P 是线段 A1B1上的动点(1)证明:AMPN;(2)若 BC22,若1 = 21,求平面 PMN 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值【解题思路】 (1)取 AC 的中点 D,连结 DN,A1
37、D,利用A1ADACM,可证明 AMA1D,又 AMA1B1,由线面垂直的判定定理可证明 AM平面 A1B1ND,从而证明 AMPN;(2)建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标,然后利用待定系数法求出平面 PMN 的法向量,由向量的夹角公式求解即可【解答过程】 (1)证明:取 AC 的中点 D,连结 DN,A1D,因为 AA1AC,ADCM,A1ACACM,所以A1ADACM,则AA1DCAM,又因为AA1D+A1DA90,所以CAM+A1DA90,则 AMA1D,又 AMA1B1,A1DA1B1A1,故 AM平面 A1B1ND,又 NP平面 A1B1ND,所以 AMPN;(
38、2)解:因为 ABAC2,BC = 22,所以 AB2+AC2BC2,即 ABAC,因为 AMA1B1,A1B1AB,则 AMAB,又 AMACA,所以 AB平面 ACC1A1,又 AA平面 ACC1A1,所以 ABAA1,以点 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则 N(1,1,0) ,M(0,2,1) ,因为1 = 21,所以(43,0,2),所以 = ( 1,1,1), = (43, 2,1),设平面 MNP 的法向量为 = (,),则 = + + = 0 =43 2 + = 0,令 x9,则 = (9,7,2),又平面 ABC 的一个法向量为 = (0,0,1),则|,| =|
39、 |=2134 1=13467,故平面 PMN 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为1346712. 如图,在四棱锥 PABCD 中,PAAD,ABCD,CDAD,ADCD2AB2,E,F 分别为 PC,CD 的中点,DEEC(1)求证:平面 ABE平面 BEF;(2)设 PAa,若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 4,3,求 a 的取值范围【解题思路】 (1)由题目给出的条件,可得四边形 ABFD 为矩形,说明 ABBF,再证明 ABEF,由线面垂直的判定可得 AB面 BEF,再根据面面垂直的判定得到平面 ABE平面BEF;(2)以 A 点为坐标原点,AB、AD、AP 所在直线
40、分别为 x、y、z 轴建立空间坐标系,利用平面法向量所成交于二面角的关系求出二面角的余弦值, 根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围,最后求解不等式可得 a 的取值范围【解答过程】证明:如图,(1)ABCD,CDAD,ADCD2AB2,F 为 CD 的中点,ABFD 为矩形,ABBFDEEC,DCEF,又 ABCD,ABEFBFEFF,AB面 BEF,又 AE面 ABE,平面 ABE平面 BEF(2)解:DEEC,DCEF,又 PDEF,ABCD,ABPD又 ABPD,所以 AB面 PAD,ABPA以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为 z 轴建立空间坐标系,
41、则 B(1,0,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,a) ,C(2,2,0) ,E(1,1,2) = ( 1,2,0), = (0,1,2) 平面 BCD 的法向量1= (0,0,1),设平面 EBD 的法向量为2= (,),由222 = 02 = 0,即 + 2 = 0 +2= 0,取 y1,得 x2,z = 2则2= (2,1, 2)所以 =24 + 1 +42=252+ 4因为平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 4,3,所以 cos12,22,即252+ 4 12,22由252+ 412得: 2 155 2 155由252+ 422得: 2 55或 2 55所以 a 的取值
42、范围是2 55,2 155 13.如图,在四棱台1111ABCDABC D中,底面ABCD是菱形111112AAABAB,60ABC,1AA 平面ABCD(1)若点M是AD的中点,求证:1/ /C M平面11AAB B;(2)棱BC上是否存在一点E,使得二面角1EADD的余弦值为13?若存在,求线段CE的长;若不存在,请说明理由【答案】 (1)详见解析; (2)存在,且长度为312【分析】(1) 连接1B A,可得四边形11ABC M是平行四边形,可得11/C M B A,可证得1C M/平面11AAB B;(2)取BC中点Q,连接AQ,可得ABC是正三角形,分别以AQ,AD,1AA为x轴,y
43、轴,z轴,建立空间直角坐标系,假设点E存在,设点E的坐标为30, ,11 ,可得平面1AD E的一个法向量,3, 3n,平面1ADD的一个法向量为3 0 0AQ , ,由二面角1EADD的余弦值为13,可得的值,可得CE的长.【详解】解: (1)证明:连接1B A,由已知得,11/BCBC AD,且1112BCAMBC所以四边形11ABC M是平行四边形,即11/C M B A, 又1C M 平面11AAB B,1B A平面11AAB B,所以1C M/平面11AAB B(2)取BC中点Q,连接AQ因为ABCD是菱形,且60ABC,所以ABC是正三角形,所以AQBC即AQAD,由于ABC是正三
44、角形所以,分别以AQ,AD,1AA为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图0 0 0A, ,10 01A, ,1011D, ,3,0,0Q假设点E存在,设点E的坐标为30, ,11 30AE , ,1011AD , ,设平面1AD E的法向量nxyz, ,则100n AEn AD 即300 xyyz,可取,3, 3n平面1ADD的法向量为3 0 0AQ , ,所以,231cos,336AQ n,解得:32 又由于二面角1EADD大小为锐角,由图可知,点 E 在线段 QC 上,所以32,即312CE 14.在三棱锥中,平面,平面平面PABCBCPABPAC ABC(1)证明:平面;(2)若为
45、的中点,且,求二面角的余弦值【答案】 (1)证明见解析; (2)【解析】 (1)过点作,垂足为点,平面平面,平面平面,平面,平面,平面,又平面,平面,又,、平面,平面;(2),为中点又为的中点,由(1)知,平面,平面,、平面,以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,如图PA ABCDPC2 2PAABABBCABDC19BBOACOPAC ABCPAC ABCACBOACBO ABCBOPACPAPABBOPABC PABPAPABBCPABCBOBBCBO ABCPAABCABBCBOACOBCDQPC/DO PAPA ABCDOABCAOBO ABCDOBODOAOOOAO
46、BODxyzOxyz设,则,则,设平面的法向量为,则,由,即令得,则设平面的法向量为,由, 可 得, 令, 可 得, 则,由图象可知,二面角是钝角,因此,二面角的余弦值为15. 如图,已知在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形,BCAD,ABCD,E 为棱 PB 上一点,AC 与 BD 交于点 O,且 ACBD,AD1,BCPCPB3, =3 22(1)证明:ACDE;(2)是否存在点 E,使二面角 BDCE 的余弦值为3 7638?若存在,求出 E 点位置,若不存在,请说明理由2ABBC2AC 4PA 0,0,0O1,0,0A1,0,0C 0,1,0B1,0,4P0,0,2DA
47、BD1111,nx y z1,1,0AB 1,0,2AD 1100nABnAD 1111020 xyxz11z 12x 12y 2,2,1n rBCD2222,nxyz 1,1,0CB 1,0,2CD 2200nCBnCD 2222020 xyxz21z 22x 22y 22,2,1n 1212121cos,9n nn nn n ABDCABDC19【解题思路】 (1)证明 POAC,推出 AC平面 PBD,然后证明 ACDE(2)以 O 为原点,OB,OC,OP 分别为 x,y,z,轴建立空间直角坐标系,求出平面 EDC的一个法向量,平面 BDC 的一个法向量,利用空间向量的数量积求解二面角
48、的余弦函数值,然后解得 =23,得到结果【解答过程】 (1)证明:因为四边形 ABCD 为等腰梯形,且 ACBD,所以OBC 为等腰直角三角形,因为 BC3,所以 = =3 22,因为 PC3, =3 22,所以 PC2PO2+OC2,所以 POAC,又因为 BD平面 PBD,PO平面 PBD,BDPOO,所以 AC平面 PBD,因为 DE平面 PBD,所以 ACDE(2)因为 PB3, =3 22, =3 22,所以 PB2PO2+OB2,即 BOPO,因为 POAC,AC平面 ABCD,BD平面 ABCD,ACBDO,所以 PO平面 ABCD,如图,以 O 为原点,OB,OC,OP 分别为
49、 x,y,z,轴建立空间直角坐标系,由(1)知 = = 3 =3 22,故 O(0,0,0) ,(3 22,0,0),(0,3 22,0),( 22,0,0), (0,0,3 22), = (22,3 22,0), = ( 3 22,3 22,0), = ( 3 22,0,3 22),假设在棱 PB 上存在一点 E 满足题意,设 = ,0,1所以 = = (3 22( 1),3 22, 3 22),设平面 EDC 的一个法向量为 = (x,y,z) ,则 = 0 = 0,即22 +3 22 = 03 22( 1) +3 22 3 22 = 0,令 y1,解得 = 3 =4 3,故 = ( 3,1,4 3),易得平面 BDC 的一个法向量为 = (0,0,1) ,设二面角 BDCE 为 ,可知二面角为锐二面角 = |,| =| |=|4 3|10 + (4 3)2=3 7638,解得 =23,所以存在满足题意的点 E,位置在靠近 P 点 PB 的三等分点处
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