1.2 空间向量的基本定理辅导讲义-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

1、知识点一空间向量基本定理知识点一空间向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2，其中，不共线的 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底梳理梳理(1)如果三个向量 a，b，c 共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得 pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量 a，b，c 中，没有零向量(3)单位正交基底：如果e1，e2，e3为单

2、位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为 1；且向量e1，e2，e3有公共的起点知识点二空间向量的坐标表示知识点二空间向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使 axiyj，这样，平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标设OA xiyj，则向量OA 的坐标(x，y)就是点 A 的坐标，即若OA (x，y

3、)，则 A 点坐标为(x，y)，反之亦成立(O 是坐标原点)梳理：梳理：(1)设 e1，e2，e3为有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以 e1，e2，e3的公共起点 O 为原点，分别以 e1，e2，e3的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz，那么对于空间任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它的起点与原点 O 重合，得到向量OP p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得 pxe1ye2ze3，我们把 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3下的坐标，记作 p(x，y，z)，此时向量 p 的坐标

4、恰是点 P 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标(x，y，z)(2)向量 p 的坐标是把向量 p 的起点平移到坐标原点 O，则OP 的终点 P 的坐标就是向量 p 的坐标，这样就把空间向量坐标化了.考点一考点一 基底的判断基底的判断例例 1： （2021河南）设xab,ybc ,zca，且, ,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组： , , a b x ， , , x y z ， , , b c z ， , ,x y abc 其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）A1 个B2 个C3 个D4 个考点二考点二 用基底表示向量用基底表示向量例例 2： （2021湖北十堰市）如图，在四面体

5、 OABC 中，G 是ABC的重心，D 是 OG 的中点，则（ ） A111366ODOAOBOC B111666ODOAOBOC 空间向量的基本定理空间向量的基本定理知识讲解知识讲解典型例题典型例题C111233ODOAOBOC D111333ODOAOBOC 考点三应用空间向量坐标表示解题考点三应用空间向量坐标表示解题例例 3： （2020黑龙江高二期末（理） ）, ,a b c 是空间的一个单位正交基底，p 在基底, ,a b c 下的坐标为(2,1,5)，则p 在基底,ab bc ac 下的坐标为（ ） A( 1,2,3) B(1, 2,3) C(1,2, 3) D( 3,2,1)考点

6、四考点四 空间向量在几何中运用空间向量在几何中运用例例 4： （2021常德市）三棱柱111ABCABC中，M，N分别是1AB，11BC上的点，且12BMAM，112C NB N.若90BAC，1160BAACAA ，1ABACAA1，则MN的长为_.一、选择题一、选择题1.（2021陕西渭南市）若a、b、c为空间的一个基底，则下列选项中，能构成基底的是（ ）Aa，ab，ab Bb，ab，ab Cc，ab，ab Dab，ab，2ab2.（2020全国单元测试）设 , , i j k 为空间的一个标准正交基底，83mik，54nijk ，则m n 等于（ ）A7B20C23D113.（2020湖

7、北省高二期中）已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量,ab ab c是空间的另一个基底，若向量p 在基底a，b，c下的坐标为(3,2,1)，则它在,ab ab c下的坐标为（ ）A1 5,12 2 B51,1,22 C1 51,2 2 D5 1,12 2同步练习同步练习4.在四面体 O-ABC 中,G1是ABC 的重心,G 是 OG1上的一点,且 OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()A.14,14,14B.34,34,34C.13,13,13D.23,23,235 （2020上海市七宝中学高三其他）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，

8、正方体的棱长是 2，则的取值范围为（ ）ABCD6 （2020全国单元测试） 棱长均为3的三棱锥， 若空间一点满足，则的最小值为（ ）ABCD17 （2021全国高二专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，且6ABAP，2AD ，60BADBAPDAP ，E，F分别为PB，PC上的点，且2PEEB ，PFFC ，EF （ ） A1 B2 C2 D6二、多选题二、多选题1 （2021河北邢台市高二开学考试）下列命题中，正确的命题有（ ）Aabab是ab ，共线的充要条件B若/ /ab则存在唯一的实数，使得=abC对空间中任意一点O和不共线的三点, ,A B C若243OP

9、OAOBOC ，则, , ,P A B C四点共面D若abc ， ，为空间的一个基底，则23abbcca ，构成空间的另一个基底2 （2021江苏南通市高二期末）设, ,a b c构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A存在不全为零的实数x，y，z，使得0 xaybzcMNPPM PN0,40,21,41,2SABCP(1)SPxSAySBzSC xyz SP66336B对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组, ,x y z，使得pxaybzcC在a，b，c中，能与ab，ab构成空间另一个基底的只有cD存在另一个基底,a b c rrr，使得2323abcabcrrrrrr3 （202

10、1广东广州市高二期末）在空间四边形OABC中，EF、分别是OABC、的中点，P为线段EF上一点，且2PFEP，设,OAa OBb OCc ，则下列等式成立的是（ ）A1122OFbc B111666EPabc C111333FPabc D111366OPabc 4.在正方体1111DCBAABCD中，点E为11CA的中点，则与直线CE不垂直的有（）ACA.BDB.DAC1.AAD1.5.如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111DCBAABCD，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法正确的是（）66.1ACADBACB1.C向量CB1与1AA的夹角是601.B

11、DD与AC所成角的余弦值为36三、填空题三、填空题1.（2020全国课时练习）若( ,)ABCDCER ，则直线AB与平面CDE的位置关系为_2 （2020全国单元测试）已知平行六面体1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 1 的正方形，12AA ，1160A ABA AD ，则1ADAC _.1AC _.3.（2020 浙江杭州学军中学高二上期中）棱长为a的正四面体ABCD中，FE,分别为棱BCAD,的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是_，线段EF的长度为_.四、解答题四、解答题1 （2020济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边

12、长为 1 的正方形，侧棱 PA的长为 2，且 PA 与 AB、AD 的夹角都等于60，M是 PC 的中点，设,ABa ADb APc （1）试用, ,a b c 表示出向量BM ；（2）求BM的长2 （2021浙江高二单元测试）已知O、A 、B、C、D、E、F、G、H为空间的 9 个点（如图所示） ，并且OEkOA ，OFkOB ，OHkOD，ACADmAB ，EGEHmEF 求证：（1）A 、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；（2）/AC EG3 （2021广西） 如图， 在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，90ACB，D，E分别为AB，BB的中点.（1）求证：CEAD； （2

13、）求异面直线CE与AC所成角的余弦值.4.（2021云南）如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，以顶点A 为端点的三条棱长都是 1，且它们彼此的夹角都是60，M为11AC与11B D的交点.若ABa ，ADb，1AAc， （1）用, ,a b c表示BM ；（2）求对角线1AC的长；（3）求1cos,AB AC 5.（2021 辽宁大连高二上检测）如图，在直三棱柱111CBAABC 中，4, 2,901CCBCABC，点E在棱1BB上，FEDEB, 11分别为11111,CACBCC的中点，EF与DB1相交于点H.（1）求证：DB1平面ABD；（2）求证：平面/EFG平面ABD；知识

14、点一空间向量基本定理知识点一空间向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2，其中，不共线的 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底梳理梳理(1)如果三个向量 a，b，c 共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得 pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量 a，b，c 中，没有零向量(3)单位正交基底：如果e1，e2，e3为单位正

15、交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为 1；且向量e1，e2，e3有公共的起点知识点二空间向量的坐标表示知识点二空间向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使 axiyj，这样，平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标设OA xiyj，则向量OA 的坐标(x，y)就是点 A 的坐标，即若OA (x，y)，

16、则 A 点坐标为(x，y)，反之亦成立(O 是坐标原点)梳理：梳理：(1)设 e1，e2，e3为有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以 e1，e2，e3的公共起点 O 为原点，分别以 e1，e2，e3的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz，那么对于空间任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它的起点与原点 O 重合，得到向量OP p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得 pxe1ye2ze3，我们把 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3下的坐标，记作 p(x，y，z)，此时向量 p 的坐标恰是

17、点 P 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标(x，y，z)(2)向量 p 的坐标是把向量 p 的起点平移到坐标原点 O，则OP 的终点 P 的坐标就是向量 p 的坐标，这样就把空间向量坐标化了.空间向量的基本定理空间向量的基本定理知识讲解知识讲解考点一考点一 基底的判断基底的判断例例 1： （2021河南）设xab,ybc ,zca，且, ,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组： , , a b x ， , , x y z ， , , b c z ， , ,x y abc 其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）A1 个B2 个C3 个D4 个【答案】C【解析】如图所示，令aAB ，1

18、bAAcAD，则1xAB，1yAD ，zAC，1abcAC ，.由于 A，B1，C，D1四点不共面，可知向量, ,x y z 也不共面，同理, ,b c z 和, ,x y abc 也不共面，而, ,a b x 共面，故选：C.典型例题典型例题考点二考点二 用基底表示向量用基底表示向量例例 2： （2021湖北十堰市）如图，在四面体 OABC 中，G 是ABC的重心，D 是 OG 的中点，则（ ） A111366ODOAOBOC B111666ODOAOBOC C111233ODOAOBOC D111333ODOAOBOC 【答案】B【解析】如图，记点 E 为 BC 的中点，连接 AE，OE，

19、所以1()2OEOBOC ，又 G 是ABC的重心，则23AGAE，所以22()33AGAEOEOA .因为12ODOG，所以1111()()2223ODOGOAAGOAOEOA 1111()6366OAOEOAOBOC 111666OAOBOC .考点三应用空间向量坐标表示解题考点三应用空间向量坐标表示解题例例 3： （2020黑龙江高二期末（理） ）, ,a b c 是空间的一个单位正交基底，p 在基底, ,a b c 下的坐标为(2,1,5)，则p 在基底,ab bc ac 下的坐标为（ ） A( 1,2,3) B(1, 2,3) C(1,2, 3) D( 3,2,1)【答案】A【解析】

20、由题意向量25pabc ，设向量p 在基底,ab bc ac 下的坐标为, ,x y zpx aby bcz ac ，25abcx aby bcz ac211253xzxxyyyzz ，所以向量p 在基底,ab bc ac 下的坐标为1,2,3，故选 A反思与感悟：反思与感悟：(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为e1，e2，e3，ae1e2ke3，则a 的坐标为(，k)(2)AB 的坐标等于终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标考点四考点四 空间向量在几何中运用空间向量在几何中运用例例 4： （2021常德市）三棱柱111ABCABC中，M，N分别是1AB，11BC上的点

21、，且12BMAM，112C NB N.若90BAC，1160BAACAA ，1ABACAA1，则MN的长为_.【答案】53【解析】如图设ABa ，ACb，1AAc，所以11111111133MNMAABB NBAABBC 1111113333AAABABACABABACAAabc ，因为2222222abcabca ba cb c 1 1 102 1 1 cos602 1 1 cos605 ,所以1533MNabc ，故答案为：53一、选择题一、选择题1.（2021陕西渭南市）若a、b、c为空间的一个基底，则下列选项中，能构成基底的是（ ）Aa，ab，ab Bb，ab，ab Cc，ab，ab

22、Dab，ab，2ab【答案】C【解析】A 中， 12aabab，不可为基底；B 中， 12babab，不可为基底；D 中，31222ababab，不可为基底，故选：C2.（2020全国单元测试）设 , , i j k 为空间的一个标准正交基底，83mik，54nijk ，则m n 等于（ ）A7B20C23D11【答案】B【解析】因为 , , i j k 为空间的一个标准正交基底，所以0i ji kj k ，1i ik kj j 所以8354m nikijk 840323151220i iiji ki kj kk k 故选：B.同步练习同步练习3.（2020湖北省高二期中）已知向量a，b，c是

23、空间的一个单位正交基底，向量,ab ab c是空间的另一个基底，若向量p 在基底a，b，c下的坐标为(3,2,1)，则它在,ab ab c下的坐标为（ ）A1 5,12 2 B51,1,22 C1 51,2 2 D5 1,12 2【答案】D【解析】设向量1,0,0a ，0,1,0b ，0,0,1c ；则向量1,1,0ab，= 1, 1,0ab，又向量3,2,1p ， 不妨设()()px aby abzc ，则3,2,1,xy xy z， 即321xyxyz，解得52121xyz，所以向量p 在,bbaac 下的坐标为5 1,12 2故选：D4.在四面体 O-ABC 中,G1是ABC 的重心,G

24、 是 OG1上的一点,且 OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC,则(x,y,z)为()A.14,14,14B.34,34,34C.13,13,13D.23,23,23【答案】A【解析】如图所示,连接 AG1交 BC 于点 E,则 E 为 BC 中点, =12( + )=12(-2 + ),1=23 =13(-2 + ).因为=31=3(1 ),所以 OG=34OG1.则 =341=34( + 1)=34 +13 23 +13=14 +14 +14.5 （2020上海市七宝中学高三其他）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是 2，则的取值范围为（ ）ABCD

25、【答案】B【解析】设正方体内切球的球心为，则，为球的直径，又在正方体表面上移动，当为正方体顶点时，最大，最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为 ，即的取值范围为.故选：.MNPPM PN0,40,21,41,2O1OMON2PM PNPO OMPO ONPOPOOMONOM ON MNO0OMON1OM ON 21PM PNPOPPPO3PPO1210,2PO PM PN0,2B6 （2020全国单元测试） 棱长均为3的三棱锥， 若空间一点满足，则的最小值为（ ）ABCD1【答案】A【解析】由，根据空间向量基本定理知，与，共面.则的最小值为三棱锥的高， ，设为在面上的射影，由条件

26、可得三棱锥为正三棱锥.连接并延长交于点,则,所以, ,所以故选：A7 （2021全国高二专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，且6ABAP，2AD ，60BADBAPDAP ，E，F分别为PB，PC上的点，且2PEEB ，PFFC ，EF （ ）A1B2C2D6【答案】B【解析】2PEEB ，PFFC ，1132EFEBBAAPPFBPABAPPC 1111()()()()3232APABABAPABBCAPAPABABAPABADAP 111626ABADAP ，又6 2 cos606AB ADAP AD ，6 6 cos6018AB AP ，22221111111

27、11626364366186EFABADAPABADAPAB ADAB APAD AP SABCP(1)SPxSAySBzSC xyz SP66336(1)SPxSAySBzSC xyz PABC|SPOSABCSABCCOABHCHAB3 32CH 3CO 22336h 1111113643661862364366186 故选：B二、多选题二、多选题1 （2021河北邢台市高二开学考试）下列命题中，正确的命题有（ ）Aabab是ab ，共线的充要条件B若/ /ab则存在唯一的实数，使得=abC对空间中任意一点O和不共线的三点, ,A B C若243OPOAOBOC ，则, , ,P A B

28、C四点共面D若abc ， ，为空间的一个基底，则23abbcca ，构成空间的另一个基底【答案】CD【解析】对于,A当abab时，ab ，共线成立，但当ab ，同向共线时aabb所以abab是ab ，共线的充分不必要条件，故A 不正确对于 B，当0b 时，/ /ab，不存在唯一的实数,使得=ab，故B不正确对于 C，由于243OPOAOBOC ，而2431，根据共面向量定理知PABC， ， ，四点共面，故C正确对于 D，若abc ， ，为空间的一个基底，则abcr r r， ，不共面，由基底的定义可知，23abbcca ，不共面，则23abbcca ，构成空间的另一个基底，故D正确.故选：CD

29、2 （2021江苏南通市高二期末） （多选）设, ,a b c构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A存在不全为零的实数x，y，z，使得0 xaybzcB对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组, ,x y z，使得pxaybzcC在a，b，c中，能与ab，ab构成空间另一个基底的只有cD存在另一个基底,a b c rrr，使得2323abcabcrrrrrr【答案】BCD【解析】A 选项，假设存在不全为零的实数x，y，z，使得0 xaybzc，不妨令0 x ，则yzabcxx rrr，此时a，b，c共面，不能构成空间的一个基底，与题意矛盾，故 A 错；B选项， 根据空间向量基本定理可得

30、， 对空间任一向量p， 总存在唯一的有序实数组, ,x y z， 使得pxaybzc，即 B 正确；C 选项，因为1122aababrrrrr，1122bababrrrrr，而c不能由ab，ab表示出，即向量ab，ab，c不共面，因此ab，ab，c可以构成一组基底，即 C 正确；D 选项，若,a b c rrr与, ,a b c都是构成空间的基底，如果230abc，若aa rr，bb rr，cc ，则23230abcabcrrrrrrr， 即,a b c rrr与, ,a b c是不同的基底，故 D 正确故选：BCD.3 （2021广东广州市高二期末） （多选）在空间四边形OABC中，EF、分

31、别是OABC、的中点，P为线段EF上一点，且2PFEP，设,OAa OBb OCc ，则下列等式成立的是（ ）A1122OFbc B111666EPabc C111333FPabc D111366OPabc 【答案】ABD【解析】EF、分别是OABC、的中点，11111()22222OFOBOCOBOCbc ，故 A 正确；111222EFOFOEbca ，2PFEP，12,33EPEF FPEF，11 11111133 222666EPEFbcaabc ，故 B 正确；22 11111133 222333FPEFbcaabc ，故 C 错误；11111112666366OPOEEPaabca

32、bc ，故 D 正确.故选：ABD.4.在正方体1111DCBAABCD中，点E为11CA的中点，则与直线CE不垂直的有（）ACA.BDB.DAC1.AAD1.【答案】ACD【详解】ADABAAADABEAAAACAECE2121111，ABADBDADABAC,，11AAADDA，所以DACEADABBDCEADABACCE12222, 02121, 021211AA0, 0212112AAAACEAD，所以与CE不垂直的有AADAAC11,.5.如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111DCBAABCD，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法正确的是（）6

33、6.1ACADBACB1.C向量CB1与1AA的夹角是601.BDD与AC所成角的余弦值为36【答案】AB.【详解】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，所以116 6 cos6018AA ABAA ADAD AB ，22221111()2223636363 2 18216AAABADAAABADAA ABAB ADAA AD ，则116 6ACAAABAD ，所以A正确；221111() ()0ACDBAAABADABADAA ABAA ADABAB ADAD ABAD ， 所以B正确 ； 显然1AAD为等边三角形，则160AAD.因为11BCAD ，且向量1AD 与

34、1AA的夹角是120，所以1BC与1AA的夹角是120，所以C不正确；因为11,BDADAAAB ACABAD ，所以2211()6 2,()6 3BDADAAABACABAD ，11() ()36BDACADAAABABAD ，所以111366cos66 26 3BDACBDACBDAC ，所以D不正确，故答案选AB.三、填空题三、填空题1.（2020全国课时练习）若( ,)ABCDCER ，则直线AB与平面CDE的位置关系为_【答案】AB平面CDE或/ /AB平面CDE【解析】由( ,)ABCDCER 及共面向量定理,可知：向量AB 与向量CD 、CE 共面即直线AB可能在平面CDE内，也

35、可能和平面CDE平行故答案为：AB平面CDE或/ /AB平面CDE2 （2020全国单元测试）已知平行六面体1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 1 的正方形，12AA ，1160A ABA AD ，则1ADAC _.1AC _.【答案】3 10 【解析】设1,ABAbcaDAA ，则由题意得：| 1,| 1,| 2abc,0,1,1a ba cb c ,1() ()ADACbcba 21 1013bb cb aa c 2221|2221 1422010ACabcabca cb cc c 故答案为：3；103.（2020 浙江杭州学军中学高二上期中）棱长为a的正四面体ABCD中，

36、FE,分别为棱BCAD,的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是_，线段EF的长度为_.【答案】4；22a.【 详 解 】 设,ABa ACb ADc ， 则, ,a b c 是 空 间 的 一 个 基 底 ，,abca212a ba cb ca ，11()22EFAFAEabc ，2211112222EF ABaa ba ca ，21112()2222EFabca ，2122cos222aEF ABEF ABEFABaa ，异面直线EF与AB所成的夹角为4.四、解答题四、解答题1 （2020济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形

37、，侧棱 PA的长为 2，且 PA 与 AB、AD 的夹角都等于60，M是 PC 的中点，设,ABa ADb APc （1）试用, ,a b c 表示出向量BM ；（2）求BM的长【答案】 （1）111222abc（2）62【解析】 （1）M是 PC 的中点，1122BMBCBPADAPAB 11112222bcaabc （2）1,2,1,2ABADPAabc由于0,60 ,0,2 1 cos601ABADPABPADa ba cb c 由于1,2BMabc 由于22222222111321122 0 1 14442BMabcabca ba cb c 6622BMBM ，的长为.2 （2021浙

38、江高二单元测试）已知O、A 、B、C、D、E、F、G、H为空间的 9 个点（如图所示） ，并且OEkOA ，OFkOB ，OHkOD，ACADmAB ，EGEHmEF 求证：（1）A 、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；（2）/AC EG【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析.【解析】由ACADmAB ，EGEHmEF 由共面向量的基本定理可得：，AC AD AB 为共面向量且，AC AD AB 有公共点A ， ，EG EH EF 为共面向量且， ，EG EH EF 有公共点E.所以A 、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面（2）因为OEkOA ，OFkOB ，OHkO

39、D()EGEHmEFOHOEm OFOE ()()k ODOAkm OBOAkADkmAB ()k ADmABkAC ，ACEG，又EAC，/ /ACEG 所以/ /ACEG3 （2021广西）如图，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，90ACB，D，E分别为AB，BB的中点.（1）求证：CEAD； （2）求异面直线CE与AC所成角的余弦值.【答案】 （1）证明见解析； （2）1010.【解析】设CAa，=CB b ，=CCc ，根据题意得=abc，且0a bb ca c 12CEbc ，1122cbADa .111222CE ADbccba 2211022cb ，CEAD ，即CEAD.

40、（2）acAC ，= 2ACa ，52CEa ，22111222AC CEbccaac ，221102cos,10522aaAC CE .异面直线CE与AC所成角的余弦值为1010.4.（2021云南）如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，以顶点A 为端点的三条棱长都是 1，且它们彼此的夹角都是60，M为11AC与11B D的交点.若ABa ，ADb，1AAc， （1）用, ,a b c表示BM ；（2）求对角线1AC的长；（3）求1cos,AB AC 【答案】 （1）1122abc； （2）6； （3）63.【解析】 （1）连接11,AB AC AC，如图：因为ABa ，ADb，1

41、AAc在1A AB，根据向量减法法则可得：11BAAAABca 因为底面ABCD是平行四边形,故ACABADab ,因为11/ /ACAC 且11|ACAC, 11ACACab,又M为线段11AC中点,11111()22AMACab ,在1AMB中,11111()222BMBAAMcaababc （2）因为顶点A 为端点的三条棱长都是 1，且它们彼此的夹角都是60,故1602a ba b cos ,1| |cos602a cac ,1| |cos602b cbc,由（1）可知ACabuuu rrr,故平行四边形11AACC中,故：11ACACAAabc 22211|()()ACACabc 22

42、2( )( )( )222abca ba cb c 222|2| |cos602| |cos602| |cos60abcabacbc1111 1 1222222 6.故16AC （3）因为1ACabc ，ABa 又111()cos,| |16AB ACaabcAB ACABAC 2111( )26223666aa ba c 5.（2021 辽宁大连高二上检测）如图，在直三棱柱111CBAABC 中，4, 2,901CCBCABC，点E在棱1BB上，FEDEB, 11分别为11111,CACBCC的中点，EF与DB1相交于点H.（1）求证：DB1平面ABD；（2）求证：平面/EFG平面ABD；【

43、答案】 （1）见解析； （2）见解析【详解】 （1）BBCBCDBCBDBBCBDCCBDB111111111121,21，因为BADB10412121, 02121211111111111111 BBCBBBCBBBCBBDDBABBBCB，所以ABDDBBBDBABDDBBADB平面又111,（2）连接111111111111111141)(21,41)(21,CBABCBFBGBFGBBABCBEBGBEGGB1121AB，所以08121)412121()21(21211111111111BBCBBBABCBBBCBEGDB，0)21()21(111111ABBBCBFGDB，所以EFGDBGFGEGFGDBEGDB平面又111,，又EFGABDEFGABDABDDB平面面不重合与平面，平面平面/,1.