1、1.4.2-2选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何学习目标1.理解用向量夹角表示线线、线面、面面的夹角;2.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的相关问题.3.核心素养：数学推理、直观想象、数学运算。 123( ,)aa a a1.若，123( ,),bb b b则：数量积: a b 1 1223 3aba ba b夹角公式: 111222( ,), (,)A x y zB xyz2.若，则：212121(,)xx yy zzAB | |a bab 1 12 23 3222222123123aba ba baaabbb| | cos,aba b一、回顾旧知ba,cosabaOababO
2、3.异面直线所成的角2, 0(,().a bOaa bbabab已知两条异面直线，经过空间任一点 作直线我们把 与 所成的锐角 或直角)叫异面直线 与 所成的角 或夹角/ 如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。 一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是00的角。规定:4.直线和平面所成的角0 ,90 BAC5.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角,棱为l，两个面分别为、 的二面
3、角.记为 -l- .l 6.二面角的平面角在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面 和 内在点 O 处分别作垂直于棱l 的射线OA、OB，射线OA、OB组成AOB则 AOB 叫做二面角 -l- 的平面角AOB的大小就是二面角的大小OBA12,l lu v 一般地 两条异面直线所成的角 可以转化为 两条异面直线的方向向量的夹角求得 也就是说 若异面直线所成的角为其方向向量分别为则1l2luv二、探究新知1.用向量研究异面直线所成的角coscos,.u vu vu vu vu v 2.用向量研究直线与平面所成的角,直线与平面所成的角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角CABnu,A
4、BBABABun如图 直线与平面 相交于点设直线与平面 所成的角为直线的方向向量为平面 的法向量为则nununununu,cossin2n BA ，直线与平面所成角的范围: 0,2ABO,nnBA 设平面的法向量为 ，则与 的关系？思考：思考：结论:sin|cos,| n AB nAB2n BA ， nBA3.用向量研究二面角及两个平面的夹角,90. 平面 与平面 相交 形成四个角 我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面 与平面 的夹角1212,nnnn 平面的法向量分别为 和则平面与平面 的夹角即为 和 夹角或其补角设平面 与平面 的夹角为则2121212121,coscosnnnnnn
5、nnnn1n2n lcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA二面角:l 1n 2n l 1n 2n 一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。cos12cos, n ncos12cos, n n1.例1.)(1,四个面都是正三角形的正四面体在棱长为如图,的中点分别中ADBCNMABCD.夹角的余弦值和求直线CNAM解:,CA CB CD 以作为基底 则,21CBCACMCAMA),(21CDCACN)21()(21CBCACDCAMACNCBCDCACDCBCACA4121412122123, CNMA又32232321,cosMACNMACNMAC
6、N.32夹角的余弦值为和直线CNAM1.化为向量问题2.进行向量运算3.回到图形问题三、巩固新知ABCDMN,111中在直三棱柱如图CBAABC BCPACBAACBAC为,90, 3, 21,2,111AQQABBAARQ上分别在棱点中点.,21111夹角的余弦值与平面求平面CBAPQRRBBR 解:与平面设平面角坐标系建立如图所示的空间直111,CBA),(,21zyxnnPQR法向量分别为的夹角为),1 , 0 , 0(,111111CCnCBACC取平面) 1 , 2 , 0(),2 , 0 , 2(),3 , 1 , 0(,RQP可知则),2, 1 , 0 (),1, 1, 2 (P
7、RPQ. 0, 022PRnPQn. 02, 02zyzyx.2,23zyzx),2 , 4 , 3(2n取29292,coscos21nn29292291) 2 , 4 , 3 () 1 , 0 , 0 (,cos212121nnnnnn.29292111夹角的余弦值为与平面平面CBAPQR1.化为向量问题2.进行向量运算 3.回到图形问题2.例2.xABC1A1B1CPQRyz1.异面直线所成的角vuvuvu,coscos1l2luv2.直线与平面角nununu,cossinCABnu3.两个平面的夹角212121,coscosnnnnnn四、课堂小结1n2n 作业: 课本P38 练习 3、4题
