人口增长模型课件.ppt

1、实验目的：1. 介绍数学建模的基本概念；2. 学习数学建模的一般过程；3. 了解数学建模竞赛特点和形式。有关数学建模竞赛的介绍有关数学建模竞赛的介绍全国数学建模竞赛（CUMCM）：每年的9月份左右举行;2. 我们学校每年20个队左右;3. 每个队3名同学组成;4. 参赛费用，每个队伍200元；5. 参赛范围，主要为中国大陆地区。美国数学建模竞赛（MCM）：1. 每年的2月份左右举行,4天=96小时;2. 我们学校选拔不超过7个队;3. 每个队3名同学组成;4. 参赛费用，每个队伍45美圆；5. 参赛范围，全球，主要为美国、中国、印度、英国等国家。有关数学建模竞赛的介绍有关数学建模竞赛的介绍全国

2、大学生电工数学建模竞赛 每年每年11月份举行月份举行; 竞赛题目一般来源于电工、近代数学及经济管理等方面，经过适当的简化、加工的实际问题，主要包括： 1电工领域中的信息、控制与决策的相关问题；2近代数学、辨识与仿真及其应用的相关问题；3经济管理与运筹问题； 4场论及应用问题 。掌握数学建模知识的参考书掌握数学建模知识的参考书 姜启源，谢金星姜启源，谢金星 编编, 数学模型数学模型, 高等教育出版社高等教育出版社,2003年年 第三版第三版. 通过这本书的学习,可以掌握最基本的数学建模知识和能力! 其他数学建模的书其他数学建模的书 数学建模与数学实验（第二版）数学建模与数学实验（第二版） /赵静

3、 雷功炎雷功炎 编著编著, 数学模型讲义数学模型讲义, 北京大学北京大学 谭永基、俞文谭永基、俞文(鱼此鱼此) 编著编著, 数学模型数学模型, 复旦大学出版社复旦大学出版社, 1997 第一版第一版. 这些书都是一些基本的数学建模资料书籍,有兴趣的同学可以借来好好看看. 李大潜主编李大潜主编, 中国大学生数学建模竞赛中国大学生数学建模竞赛,高等教育出版社高等教育出版社, 1998 第一版第一版, 2001 第第二版二版. 叶其孝主编叶其孝主编, 大学生数学建模竞赛辅导大学生数学建模竞赛辅导 教材教材 (一、二、三、四一、二、三、四), 湖南教育出版社湖南教育出版社, 1993-2001. 全国

4、大学生数学建模竞赛优秀论文汇编全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 (1992 - 2000), 中国物价出版社中国物价出版社, 2002. 工程数学学报工程数学学报 (专辑专辑) (2002年后的每年年后的每年第一期为上一年度的优秀论文第一期为上一年度的优秀论文)有关网站有关网站http:/www.shumo.org 1.本网站是国防科技大学所办的一个数学建模网站,上面有许多的参赛过程以及参赛经验之谈; 2. 本网站也提供一些优秀论文的下载,BBS交流等信息; 3.本网站同时也提供一些有用的数学建模所用的软件下载服务等;CUMCM主页主页 本网站提供一些CUMCM的消息,往年试题以及有关获奖名

5、单等; 有关全国数学建模竞赛的一些规章制度; 有关数学建模竞赛的资料, 一些其它网站的介绍等;美国数学建模竞赛主页美国数学建模竞赛主页 http:/ 提供有关数学建模竞赛的信息; 往年的竞赛试题与评奖结果; 有关资料; 竞赛结果分析等电工数学建模竞赛的主页 http:/cseem.org/提供有关数学建模竞赛的信息提供有关数学建模竞赛的信息;往年的竞赛试题与评奖结果往年的竞赛试题与评奖结果;有关资料有关资料; 数学模型数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或

6、本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。 例例（人口增长模型人口增长模型 ） 人口问题是当今世界上人们最关心的问题。因为资源的原因，应当有效的正确的人口措施人口模型。而建立人口发展的模型不外乎预测和控制，Logistic模型是其中比较

7、精细的人口模型。基本假设基本假设 :（1）人口的增长只考虑单位时间内人口增长与人口）人口的增长只考虑单位时间内人口增长与人口的关系；的关系；参数：参数：简单推导如下：简单推导如下：（2）有某一具体时刻的人口资料作为参照；）有某一具体时刻的人口资料作为参照；N（t）：）：t时刻的人口数；时刻的人口数；r：增长率比例常数；：增长率比例常数；基于以上的假设有简单模型为：基于以上的假设有简单模型为：00(1)()d NrNd tNtN解此方程可以得到指数增长的模型为：解此方程可以得到指数增长的模型为：0rtNN e此解的图形为此解的图形为程序为 clear N0=10; r=0.002; t=1:10

8、00; N=N0.*exp(r*t); plot(t,N)上述模型的特点： 只要知道了初始时的人口和人口的增长率，就可以通过上述模型估计未来几年的人口数； 问题-怎样来找到初始人口和人口的增长率？ 在已知数据的基础上，通过数据拟合或者参数估计来估计人口的增长率。有关数据，请估计人口的增长率有关数据，请估计人口的增长率r：0rtNN e0ln,lnyN aNyrta因为因为令令用线性随小二乘法估计参数用线性随小二乘法估计参数r，世界人口增长率最小二乘法估计世界人口增长率最小二乘法估计 clear t=1625,1830,1930,1960,1974,1987,1999; y=5,10,20,30

9、,40,50,60; yy=log(y-4.9); R=t; r=Ryy; plot(t,exp(r*t+log(4.9); hold on plot(t,y,b.);请大家练习中国人口增长率的估计问题，求出其增长率r=?中国人口增长程序 clear t=1908,1933,1953,1964,1982,1990,1995,2000; y=3.0,4.7,6.0,7.2,10.3,11.3,12.0,13.0; yy=log(y-2.9); R=t; r=Ryy; plot(t,exp(r*t+log(2.9); hold on plot(t,y,b.);模型的分析模型的分析 上述模型不能很好

10、的与实际数据符合！ 请大家考虑原因是什么？ 人口增长到一定程度后，增长率要下降； 同时，人口的增长要受到资源、环境等各个方面的限制。 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计对资料的分析计 算，算， 找出起主要作用的因素，经必找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻在所作假设的基础上，利用适当

11、的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即即建立数学模型。建立数学模型。 4.模型求解。模型求解。 5.模型的分析与检验。模型的分析与检验。 在难以得出解析解时，也在难以得出解析解时，也应当借助应当借助 计算机计算机 求出数值求出数值解。解。 实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用对某个实际问题对某个实际问题了解的深入程度了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特模型中变量的特征征连续型模型、离散型模型或确定性连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等模型、随机型模

12、型等建模中所用的数建模中所用的数学方法学方法初等模型、微分方程模型、差分方初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等程模型、优化模型等研究课题的实际研究课题的实际范畴范畴人口模型、生人口模型、生 态系统模型态系统模型 、交通、交通流模型、经流模型、经 济模型、济模型、 基因模型等基因模型等常见模型常见模型数学建模实践的数学建模实践的 每一步中都每一步中都 蕴含着能力上的蕴含着能力上的 锻炼，在锻炼，在调查研究阶段，需调查研究阶段，需 要用到要用到观察能力观察能力、分析能力分析能力和和数据处理数据处理能力能力等。在提出假设等。在提出假设 时，又需要用到时，又需要用到 想象力和归纳想象力和归

13、纳 简化简化能力。能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作作成为别人研究工作 的的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间在尽可能短的时间 内内查到并学会查到并学会我想应用的知识的本领。我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点还需要你多少要有点 创新的能力创新的能力。这种能力不是生

14、来就。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 例例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？间？ 似乎条件不够哦似乎条件不够哦

15、 。 换一种想法，问题就迎刃而换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？十分钟时间从何而来？ 显然是由于节省了从相遇点到显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需段路的缘故，故由相遇点到会合点需开开5分钟。而此人提前了三十分钟到分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。五分钟。 ？例例2 2

16、 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返回地沿原路返回 A A 地。问：在什么条件下，地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。中的同一时间到达该地。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由一天由B B去去A A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人

17、的出发时间，两人必会在途中相遇。达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证明）请自己据此给出严格证明） 例例3 3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态一个过渡状态亮一段时间的黄灯。亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距段时间

18、内，车辆仍将向前行驶一段距离离 L。这就是说，在离街口距离为。这就是说，在离街口距离为 L处处存在着一条停车线（尽管它没被画在存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。穿过马路。 马路的宽度马路的宽度 D是容易测得是容易测得 的，问题的关键在的，问题的关键在 于于L的确定。为确定的确定。为确定 L，还应当将，还应当将 L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其中其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程刹车的反应时间

19、内驶过的路程 ，L2为刹车制动为刹车制动后车辆驶过的路程。后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来律计算出来 （ 留作习题）留作习题）。黄灯究竟应

20、当亮多久现在已经变得清楚多了。第黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到至少应当达到 （L+D）/v。 DL例例4 4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则

21、不干净。否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。下这一问题。盘子有大小吗盘子有大小吗 ? ?是什么样的盘子？是什么样的盘子？盘子是怎样洗的盘子是怎样洗的 ? ? 不妨不妨假设假设我们了解到：盘子大小相同，我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后盘子浸泡在热水中，然后 一一清洗。清洗。 不难看出，是水不难看出，是水 的温度在决的温度在决 定定洗盘子的数量洗盘子的数量 。盘子

22、是先用冷水。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为了，而是因为 水不够热了水不够热了。 那么热水为什么会变冷呢？假如那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，大约可以洗多少盘子， 杀鸡杀鸡 焉用牛刀？焉用牛刀？ 不妨可以提出以下不妨可以提出以下 简化假设简化假设：（1）

23、水池、空气吸热不计，只考虑水池、空气吸热不计，只考虑 盘子吸热，盘子的大小、材料相同盘子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同完后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温水池中的水量为常数，开始温度为度为T1，最终换水时的温度为，最终换水时的温度为 T2（4）每个盘子的洗涤时间每个盘子的洗涤时间 T是一是一个常数。（个常数。（这一假设甚至可以去掉这一假设甚至可以去掉 不要不要）根据上述简化假设，利用热量守根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查易回答

24、了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。下瓷盘的吸热系数和质量等。 可见可见 ，假设条件，假设条件 的提出不的提出不 仅和你仅和你 研的研的 问题问题 有关，还和有关，还和 你准备利用哪些知你准备利用哪些知 识识 、准备建立什么样的模型以及你准准备建立什么样的模型以及你准 备研备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。你建模的框架已经基本搭好了。 例例4 4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须出某种

25、射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。射射线的强度。方法一方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 距离距离的平方成反比，即的平方成反比，即 2k/dI 黑匣子所在黑匣子所在 方向方向很容易确定，关键在于确定很容易确定，关键在于确定

26、距离距离 。设在设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和和I2，两测量点间的距离为两测量点间的距离为 a，则有，则有22212)(/dadadkdkII112/IIad实例编程练习：1、设在同一方向不同位置检测了两次，测得、设在同一方向不同位置检测了两次，测得照度分别为照度分别为3和和6，两测量点间的距离为，两测量点间的距离为60。请编程实现请编程实现距离的求解。距离的求解。Function juli(a,i1,i2)D=a/(sqrt(i2/i1)-1)在在matlab里面输入里面输入juli(60,3,6),可以得到可以得到D=14

27、4.852米米方法二方法二在在方法一方法一中，两检测点与黑匣子中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A A点测得黑匣子方向后点测得黑匣子方向后 ，到，到B B点再测方向点再测方向 ，ABAB 距距离为离为a ，BACBAC= =，ABCABC= =，利用正弦定理得，利用正弦定理得出出 d = = asinsin/sin (/sin

28、(+ +) ) 。需要指出的是，当。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而黑匣子位于较远处而 又较小时，又较小时，+ +可能非可能非常接近常接近（ACBACB接近于接近于0 0），而），而sinsin（+ +）又又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。也相对较大。BACa 圆周率是人类获得的最古老的数学概念圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约之一，早在大约37003700年前（即公元前年前（即公元前17001700年左右）的古埃及人就已经在年左右）的古埃及人就已经在 用用25

29、6/81256/81（约约3.16053.1605）作为）作为的近似值了。几千年来的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求，人们一直没有停止过求的努力。的努力。的计算的计算 古古 典典 方方 法法 分分 析析 方方 法法 其其 它它 方方 法法 概率方法概率方法 数值积分方法数值积分方法 古典方法古典方法用什么方法来计用什么方法来计 算算的近似值呢？显然，不可能仅根的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法

30、。的古典方法。6边形边形12边形边形24边形边形圆圆 阿基米德曾用圆内接阿基米德曾用圆内接 9696边形和圆外切边形和圆外切9696边形夹逼的方法证明了边形夹逼的方法证明了72271223 由由和和 导出导出 tansin 96 公元公元5世纪，祖冲之指出世纪，祖冲之指出3.14159273.1415926 比西方得到同样结比西方得到同样结果几乎早了果几乎早了1000年年 十五世纪中叶，阿尔十五世纪中叶，阿尔卡西给出卡西给出的的16位小数，打破了祖冲之的纪录位小数，打破了祖冲之的纪录 1579年年, ,韦达证明韦达证明373.14159265 353.14159265 1630年年, ,最后一

31、位用古典方法求最后一位用古典方法求的人的人格林伯格也只求到了格林伯格也只求到了的第的第39位小数位小数 分析方法分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求分析方法来求的近似值，其中应用的主的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求本节中我们将介绍一些用此类方法求近近似值的实例。似值的实例。 1656年，沃里斯年，沃里斯( (Wallis) )证明证明 112212227656543432122kkkkk 请编程序实现上述求法请编程序实现上述求法067702.32

32、1201920543432122103516.341403940543432122 取取10 k取取20 kfunction p(k)p=1;for i=1:k p=p*(2*i/(2*i-1)*(2*i/(2*i+1);endp=2*p 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有在微积分中我们学过泰勒级数，其中有12)1(53arctan12053 kxxxxxkkk),( x当当1 x121)1(5131140 kkk function p(k)p=0;for i=0:k p=p+(-1)i)*(1/(2*i+1);endp=4*p程序程序取取20 k189184. 3411391513114 取

33、取10 k232316. 3211191513114 在中学数学中证明过下面的等式在中学数学中证明过下面的等式31arctan21arctan1arctan4 左边三个正方形左边三个正方形组成的矩形中，组成的矩形中， 由由 和和 可得可得CBA DC 和和 的展开式的收敛速度的展开式的收敛速度都比都比 快得多快得多21arctan1arctan31arctanACBD 麦琴麦琴( (Machin) )给出给出2391arctan51arctan44 (Machin公式公式) )51arctan 44 2391tan 记记 ， ，得，得此式求得了此式求得了的第的第100位小数且全部正确位小数且全

34、部正确 其它方法其它方法除用古典方法与分析方法求除用古典方法与分析方法求的近似值以的近似值以外，还有人用其他方法来求外，还有人用其他方法来求的近似值。的近似值。这里我们将介绍两种方法：这里我们将介绍两种方法： 概率方法概率方法 数值积分方法数值积分方法 概率方法概率方法取一个二维数组（取一个二维数组（x,yx,y），取一个充分大的），取一个充分大的正整正整 数数n n，重复，重复n n次，每次独立地从次，每次独立地从 （0 0，1 1）中随机地取一对中随机地取一对 数数x x和和y y ，分别检验，分别检验x x2 2+y+y2 211是否成立。是否成立。 设设n n次试验中等式成立次试验中等

35、式成立的共有的共有m m次，令次，令4m/n4m/n。但这种方法很难得到但这种方法很难得到的较好的近似值。的较好的近似值。 数值积分方法数值积分方法 10214dxx 102114dxx 还可用其它数值积还可用其它数值积分公式来求，但用分公式来求，但用此类方法此类方法效果也很效果也很难做得比用幂级数难做得比用幂级数展开更好展开更好数学建模实验作业 1、三人一组共同完成； 2、上交作业以数学建模论文的方式上交： 论文：其基本内容和格式大致分三大部分： A）标题、摘要部分）标题、摘要部分 题目写出较确切的题目（不能只写A题、B题）。 摘要200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果。

36、B）论文中心部分）论文中心部分 1）问题提出，问题分析。 2）模型建立： 补充假设条件，明确概念，引进参数； 模型形式（可有多个形式的模型）； 模型求解； 模型性质； 3）计算方法设计和计算机实现。 4）结果分析与检验。 5）讨论模型的优缺点，改进方向，推广新思想。 6）参考文献注意格式。 C） 附录部分附录部分 计算程序，框图。 各种求解演算过程，计算中间结果。 各种图形、表格。3、作业完成时间：、作业完成时间： 从上第一次数学建模实验开始计算时间，用两周的时间做完，选做一题。4. 作业上交作业上交：提交电子版本到服务器，并上交一份打印版本到上课老师处。A题：人口模型题：人口模型请在人口增长

37、的简单模型的基础上。（1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型；（2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证；（3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测；（4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 近几年来，我国各大中城市的房价出现了普遍持续上涨情况。一方面，房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难；另一方面，部分投机者通过各种融资渠道买入房屋囤积，期望获得高额利润，导致房价居高不下。因此，如何有效抑制房地产价格上扬，抑制房地产投机，是一个备受关注的社会问题。国家为此出台了提高房地产贷款利率和二手房转贷限制等各项政策，现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：1、建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理和房地产投机进行深入细致的分析，并应用仿真验证；2、分析国家提高房地产贷款利率和二手房转贷限制对房地产投机者的影响；3、给出抑制房地产投机的政策建议。B题：抑制房地产投机问题题：抑制房地产投机问题