通用版2019版高考数学一轮复习选修部分不等式选讲课时达标检测六十四不等式的证明（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（六十四） 不等式的证明 1 (2018 武汉调研 )若正实数 a， b 满足 a b 12，求证： a b1. 证明：要证 a b1 ，只需证 a b 2 ab1 ， 即证 2 ab 12，即证 ab 14. 而 a b 122 ab， ab 14成立， 原不等式成立 2已知函数 f(x) |x 3| |x 1|，其最小值为 t. (1)求 t 的值； (2)若正实数 a， b 满足 a b t，求证： 1a 4b 94. 解： (1)因为 |x 3| |x 1| |x 3| |1 x| x 3 1 x| 4，所以 f(x)min 4，即 t 4

2、. (2)证明：由 (1)得 a b 4，故 a4 b4 1， 1a 4b ? ?1a 4b ? ?a4 b4 14 1 b4a ab 542 b4a ab 54 1 94，当且仅当 b 2a，即 a 43， b 83时取等号，故 1a 4b 94. 3设不等式 20. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 |1 4ab|24|a b|2， 故 |1 4ab|2|a b|. 4 (2018 广州模拟 )已知 x， y， z (0， ) ， x y z 3. (1)求 1x 1y 1z的最小值； (2)证明： 3 x2 y2 z20， 1x 1y 1z 33 xyz0， 所以 (x y z)?

3、 ?1x 1y 1z 9 ， 即 1x 1y 1z3 ，当且仅当 x y z 1 时， 1x 1y 1z取得最小值 3. (2)证明： x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 y2 z2 z2 x23 x2 y2 z2 xy yz zx3 x y z23 3， 当且仅当 x y z 1 时等号成立 又因为 x2 y2 z2 9 x2 y2 z2 (x y z)2 2(xy yz zx)0， b0，函数 f(x) |2x a| 2? ?x b2 1的最小值为 2. (1)求 a b 的值； (2)求证： a log3? ?1a 4b 3 b. 解： (1)因为 f(x) |2x a| |

4、2x b| 1|2 x a (2x b)| 1 |a b| 1， 当且仅当 (2x a)(2x b)0 时，等号成立， 又 a0， b0，所以 |a b| a b， 所以 f(x)的最小值为 a b 1 2，所以 a b 1. (2)由 (1)知， a b 1， 所以 1a 4b (a b)? ?1a 4b 1 4 ba 4ab 5 2 ba 4ab 9， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 ba 4ab 且 a b 1， 即 a 13， b 23时取等号 所以 log3? ?1a 4b log 39 2， 所以 a b log3? ?1a 4b 1 2 3， 即 a log3? ?1

5、a 4b 3 b. 6 (2018 长沙模拟 )设 ， ， 均为实数 (1)证明： |cos( )|cos | |sin |， |sin( )|cos | |cos |； (2)若 0，证明： |cos | |cos | |cos |1. 证明： (1)|cos( )| |cos cos sin sin |cos cos | |sin sin |cos | |sin |； |sin( )| |sin cos cos sin |sin cos | |cos sin |cos | |cos |. (2)由 (1)知， |cos ( )|cos | |sin( )|cos | |cos | |cos

6、 |， 而 0，故 |cos | |cos | |cos |cos 0 1. 7 (2018 安徽安师大附中、马鞍山二中阶段测试 )已知函数 f(x) |x 2|. (1)解不等式： f(x) f(x 1)2 ； (2)若 a2 时，原不等式等价于 2x 32 ，即 2x 52. 综上，原不等式的解集为 ? ?x| 12 x 52 . (2)证明：由题意得 f(ax) af(x) |ax 2| a|x 2| |ax 2| |2a ax| ax 2 2a ax| |2a 2| f(2a)， 所以 f(ax) af(x) f(2a)成立 8 (2018 重庆模拟 )设 a， b， c R 且 a

7、b c 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 求证： (1)2ab bc ca c2212； (2)a2 c2b b2 a2c c2 b2a 2. 证明： (1)因为 1 (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca4 ab 2bc 2ca c2， 当且仅当 a b 时等号成立， 所以 2ab bc ca c2212(4ab 2bc 2ca c2) 12. (2)因为 a2 c2b 2acb ，b2 a2c 2abc ，c2 b2a 2bca ， 当且仅当 a b c 13时等号成立 所以 a2 c2b b2 a2c c2 b2a ?acb abc ?abc bca ?acb bca a?cbbc b?acca c? ?ab ba 2 a 2b 2c 2， 当且仅当 a b c 13时等号成立