广东省潮州市2020-2021高二上学期数学期末试卷及答案.pdf

1、 潮州市潮州市 20202021 学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷数学学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷数学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个备选项中，只有分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1. 命题“2(0,1),0 xxx ”的否定是（ ） A. 2000(0,1),0 xxx B. 2000(0,1),0 xxx，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. cacb B. 11ab C. 1122ab D. lnlnab 4. 过椭圆2222:1(0)x

2、yCabab+=的上顶点与右顶点的直线方程为240 xy+=， 则椭圆C的标准方程为 A. 221164xy+= B. 221204xy+= C. 221248xy+= D. 221328xy+= 5. 已知等差数列 na的前n项和为nS，若1530S=，104a=，则9a等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 6. 若数列 na的通项公式为()*2196nnanNn=+，则这个数列中的最大项是 A. 第 12 项 B. 第 13 项 C. 第 14 项 D. 第 15 项 7. 如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东

3、方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A、B两岛屿的距离为（ ）海里 A. 5 6 B. 10 6 C. 10 2 D. 20 2 8. 已知0 x ，0y ，且211yx+=，则2xy+的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 9. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点， 1122ABBCBD+= （ ） A. AD B. FA C. AF D. EF 10. 已知双曲线2221(0)xyaa=的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为2 33，P 为双曲线右支上一点，且满足22124 15PFPF=，则12PFF的

4、周长为（ ） A. 2 5 B. 2 52+ C. 2 54+ D. 2 34+ 11. 已知,aZ关于 x的一元二次不等式260 xxa+的解集中有且仅有 3 个整数，则所有符合条件的 a的值之和是（ ） A. 13 B. 18 C. 21 D. 26 12. 已知, ,A B C是双曲线22221(0,0)xyabab=上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且2 AFCF=，则该双曲线的离心率是（ ） A. 53 B. 173 C. 172 D. 94 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13. 已

5、知椭圆2215xym+=的一个焦点为()0,1，则m =_ 14. 已知在等比数列 na中，1238a a a =，450aa+=，则6a =_ 15. 已知空间直角坐标系中，点()1,1,2A ，()3,0,4B ，若6c =，/c AB ，则c =_ 16. 下表数阵的特点是每行每列都成等差数列，记第 i 行第 j 列的数为i ja则（1）n na=_（*nN） ；（2）表中的数 52 共出现_次. 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 4 7 10 13 16 19 5 9 13 17 21 25 6 11 16 21 26 31 7 13 19 25 31 37 三、解答

6、题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，满分共小题，满分共 70 分；解答要写出证明过程或解题步骤）分；解答要写出证明过程或解题步骤） 17. 已知等差数列na的前n项和为nS，等比数列 nb的前n项和为nT，11a = ，11b =，223ab+= （1）若337ab+=，求 nb的通项公式； （2）若313T =，求nS 18. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且2224 23bcabc+=. （1）求sin A的值； （2）若ABC的面积为2，且2sin3sinBC=，求ABC的周长. 19. 已知命题:23pata户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果

7、种植的农民平均每户的年收入有望提高4 %x，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050 xaa万元. （1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这 200 户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农 民的总收入，求a的最大值. 22. 已知抛物线()2:20C ypx p=的焦点为F，点F到直线10 xy+ =的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）点O为坐标原点，直线1l、2l经过点()1,0M ，斜率为1k的直线1l与抛物线C交于A、B两点，斜率

8、为2k的直线2l与抛物线C交于D、E两点，记MAMBMDME=，若1212k k = ，求的最小值. 潮州市潮州市 20202021 学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷数学学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷数学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个备选项中，只有分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1. 命题“2(0,1),0 xxx ”的否定是（ ） A. 2000(0,1),0 xxx B. 2000(0,1),0 xxx C. 2000(0,1),0 xxx

9、D. 2000(0,1),0 xxx 【答案】D 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定形式，直接求解. 【详解】全称命题“2(0,1),0 xxx ，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. cacb B. 11ab C. 1122ab D. lnlnab 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A； 根据幂函数的性质判断B； 根据指数函数的性质判断C； 根据对数函数的单调性判断D 【详解】解：0ab ab cacb 故A错误； 由于1yx=在()0,+上单调递减，故11ab即B错误； 由于12xy=在R上单调递减，故1122ab即D正确， 故选：D 【点睛】本题考查不等式的性质，考

10、查对数函数的单调性，属于基础题 4. 过椭圆2222:1(0)xyCabab+=的上顶点与右顶点的直线方程为240 xy+=， 则椭圆C的标准方程为 A. 221164xy+= B. 221204xy+= C. 221248xy+= D. 221328xy+= 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与坐标轴的交点坐标，得椭圆的, a b，从而得椭圆方程 【详解】在直线方程240 xy+=中， 令 x=0，得 y=2，得到椭圆的上顶点坐标为（0,2） ，即 b=2， 令 y=0，得 x=4，得到椭圆的右顶点坐标为（4,0） ，即 a=4， 从而得到椭圆方程为：221164xy+=. 故选：A.

11、【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆的几何性质属于基础题 5. 已知等差数列 na的前n项和为nS，若1530S=，104a=，则9a等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据1530S=，可算出8a，又104a=，根据等差中项的性质求解即可 【详解】由158815302Saa=，又104a=，98109263aaaa=+= 答案选 B 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121nnSna=和等差中项的性质，简化了运算 6. 若数列 na的通项公式为()*2196nnanNn=+，则这个数列中的最大项

12、是 A. 第 12 项 B. 第 13 项 C. 第 14 项 D. 第 15 项 【答案】C 【解析】 【分析】由21=196196nnannn=+，再利用基本不等式求最值即可得解. 【详解】由21=196196nnannn=+， 因为 196196228nnnn+=，当且仅当14n =时，196nn+有最小值 28， 所以当14n =时，1196nn+取得最大值128， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求数列的最值，属于基础题. 7. 如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15、北偏东 45方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B

13、在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A、B两岛屿的距离为（ ）海里 A. 5 6 B. 10 6 C. 10 2 D. 20 2 【答案】A 【解析】 【分析】 连接AB，根据题意得出相应角的大小，分别在ADC、BCD、ABD使用正弦定理、锐角三角函数定义、余弦定理进行求解即可. 【详解】连接AB，由题意可知： 10,105 ,45 ,90 ,30CDADCBDCBCDACD=， 所以有45 ,60DACADB=. 在ADC中，由正弦定理可知：5 2sinsinADCDADACDCAD=. 在Rt BCD中，cos10 2CDBDCBDBD=. 在ABD中，由余弦定理可知：222co

14、s5 6ABADBDAD BDADB=+=. 故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方位角的定义，考查了数学运算能力. 8. 已知0 x ，0y ，且211yx+=，则2xy+的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】利用乘“1”法可求出最小值. 【详解】()212222252529xyxyyxyxxxyyyx+=+=+=+， 当且仅当22xyyx=，即3xy=时，等号成立， 所以2xy+的最小值为 9. 故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 9. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD

15、的中点， 1122ABBCBD+= （ ） A. AD B. FA C. AF D. EF 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得出 【详解】解：连接AF，E，F分别是BC，CD的中点， 则()111222ABBCBDABBCBDABBFAF+=+=+= 故选：C 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10. 已知双曲线2221(0)xyaa=的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为2 33，P 为双曲线右支上一点，且满足22124 15PFPF=，则12PFF的周长为（ ） A. 2 5 B. 2 52+ C. 2 54+

16、D. 2 34+ 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的离心率列方程，由此求得, a c，结合双曲线的定义求得12PFPF+，由此求得12PFF的周长. 【详解】由题意可得1b =，21ca=+， 即有212 33aea+=， 可得3a =，2c =， P 为双曲线右支上一点， 可得1222 3PFPFa=， 又() ()221212124 15PFPFPFPFPFPF=+=， 可得122 5PFPF+=， 则12PFF的周长为2 5242 5c+=+， 故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率和定义，属于基础题. 11. 已知,aZ关于 x 的一元二次不等式260 xxa+的解集中

17、有且仅有 3 个整数，则所有符合条件的 a的值之和是（ ） A. 13 B. 18 C. 21 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】设2( )6f xxxa=+，根据二次函数的性质，结合题意可得，(2)0(1)0ff，代入计算，即可得答案. 【详解】设2( )6f xxxa=+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线， 根据题意可得，3640a =，解得9a ，即4 1201 60aa+， 解得58a上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且2 AFCF=，则该双曲线的离心率是（ ） A. 53 B. 173 C. 172 D. 94 【答案】B 【解析】 【分析】根

18、据题意，连接,AF CF，构造矩形FAF B；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得ac、 的关系，进而求出离心率 【详解】 设左焦点为F，AFm= ，连接,AF CF 则2FCm= ，2AFam=+ ，22CFam=+ ，2FFc= 因为BFAC，且AB经过原点O 所以四边形FAF B 为矩形 在 RtAF C中，222 +AFACF C= ，代入 ()()()2222+ 3= 22ammam+ 化简得23am = 所以在 RtAF F中，222 +AFAFF F=，代入 ()222222233aaac+= 化简得22179ca= ，即173e = 所以选 B 【点睛】本题考

19、查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分 ）分 ） 13. 已知椭圆2215xym+=的一个焦点为()0,1，则m =_ 【答案】6 【解析】 【分析】根据焦点坐标，明确焦点位置，从而可得结果. 【详解】椭圆2215xym+=的一个焦点为()0,1， 焦点在y轴，且1c =，25b = ， 226mbc=+=， 故答案为：6 14. 已知在等比数列 na中，1238a a a =，450aa+=，则6a =_ 【答案】2 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质可得22a =

20、，进而求出公比，利用等比通项公式得到结果. 【详解】设等比数列 na的公比为q， 因为1238a a a =，所以328a =， 解得22a =， 又450aa+=，所以1q = ， 故4622aa q=. 故答案为：2. 15. 已知空间直角坐标系中，点()1,1,2A ，()3,0,4B ，若6c =，/c AB ，则c =_ 【答案】()4, 2,4或()4, 2,4 【解析】 【分析】根据空间向量共线及模长公式可得结果. 【详解】()1,1,2A ，()3,0,4B ，()2, 1,2AB = ， /c AB ，存在，使得()()=2 ,2RcAB= ， ()()()222=22=3=

21、6c+ +，解得2= ， ()4, 2,4c = 或()4,2, 4 故答案为：()4, 2,4或()4, 2,4 16. 下表数阵的特点是每行每列都成等差数列，记第 i 行第 j 列的数为i ja则（1）n na=_（*nN） ；（2）表中的数 52 共出现_次. 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 4 7 10 13 16 19 5 9 13 17 21 25 6 11 16 21 26 31 7 13 19 25 31 37 【答案】 . 21n + . 4 【解析】 【分析】先根据第i行第j列成等差数列得到ija通项公式，再利用计算nna即可；令52ija =解得, i

22、 j的不同情况即得结果. 【详解】 根据题意得， 第i行的等差数列的公差为i， 第j列等差数列的公差为j， 所以第一行数组的数列1ja是以2为首项，公差为1的等差数列，可得12(1) 11jajj=+ =+， 又因为第j列数组成的数列ija是以1ja为首项，公差为j的等差数列， 所以1(1)(1)(1)1ijjaaijjijij=+=+=+， 因为1ijaij=+，所以211nnannn=+ =+； 由于152ijaij=+ =，则51ij =，所以1i =且51j =或51i =且1j =或3i =且17j =或17i =且3j =，所以可得等于52的项共有 4 项 故答案为：21n +；4

23、. 【点睛】本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，是中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，满分共小题，满分共 70 分；解答要写出证明过程或解题步骤）分；解答要写出证明过程或解题步骤） 17. 已知等差数列na的前n项和为nS，等比数列 nb的前n项和为nT，11a = ，11b =，223ab+= （1）若337ab+=，求 nb的通项公式； （2）若313T =，求nS 【答案】 （1）12nnb=； （2）21322nSnn=或245nn. 【解析】 【分析】 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；

24、 （2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出 【详解】 （1）设na的公差为d， nb的公比为q，则1(1)nand= +，1nnbq= 由223ab+=，得13dq += 由337ab+=，得2127dq += 联立和解得0q =（舍去） ，或2q ， 因此 nb的通项公式12nnb= （2）231(1)Tbqq=+，2113qq +=，3q =或4q = ， 41dq=或 8 21113(1)222nSnan ndnn=+=或245nn 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为,

25、,a b c，且2224 23bcabc+=. （1）求sin A的值； （2）若ABC的面积为2，且2sin3sinBC=，求ABC的周长. 【答案】 （1）13； （2）263 2+ 【解析】 【分析】 （1）由已知条件结合余弦定理可求 cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求 sinA 的值 （2）利用三角形的面积公式可求 bc的值，由正弦定理化简已知等式可得2b3c，解得 b，c 的值，根据余弦定理可求 a 的值，即可求解三角形的周长 【详解】 （1）2224 23bcabc+=，由余弦定理可得 2bccosA4 23bc，cosA2 23， 在ABC中，sinA21 cos

26、A13 （2）ABC的面积为2，即12bcsinA16bc2，bc62， 又2sinB3sinC，由正弦定理可得2b3c，b32，c2，则 a2b2+c22bccosA6， 6a=，所以周长为263 2abc+=+. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19. 已知命题:23pata +，命题:q方程222143xytt+=+表示焦点在x轴上的椭圆 （1）当1a =时，判断“命题p”是“命题q”成立的什么条件？ （2）若“命题p”是“命题q”成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围 【答

27、案】 （1）必要不充分条件； （2）102a 【解析】 【分析】 （1）代入a的值，从而可求出命题p中t的取值范围，若命题q为真，求出t的取值范围，从而可判断两命题的关系； （2）由充分不必要条件可列出关于实数a的不等式，从而可求出实数a的取值范围 【详解】 （1）当1a =时，若命题p为真，则14t+ ， 由命题q能推出命题p，但命题p不能推出命题q， 所以“命题p”是“命题q”成立的必要不充分条件 （2）因为命题p是命题q成立的充分不必要条件，所以232133aaaa+，解得102a 20. 如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，ABC为等腰直角三角形，90BAC=，且1AAAB=，E

28、FD、 、分别为1B A、1CC、BC的中点 （1）求证：/ /DE平面ABC； （2）求二面角1BAEF的余弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2）66. 【解析】 【分析】 （1）取AB的中点为G，证明四边形DGCE为平行四边形，得到/ /DEGC，进一步得出结论； （2）建立空间直角坐标系Oxyz，分别求出两个面的法向量即可利用向量法求解 【详解】 （1）设AB的中点为G，连接,DG CG，则11/ / /2DGBBEC， 四边形DGCE为平行四边形 / /DEGC 又DE 平面 ABC，GC 平面 ABCDE/ /面ABC （2）如图建立空间直角坐标系Oxyz，令12ABAA=， 则

29、()0,0,0A， ()0,2,1E， ()1,1,0F， ()2,0,0B， ()12,0,2B， ()1,0,1D， 1( 1,1, 2)B F = ，(1, 1, 1)EF = ，(1,1,0)AF = 110,0B F EFB F AF= 1B FEF ，1B FAF AFEFF=1B F 面AEF 平面AEF的一个法向量为1( 1,1, 2)B F = 设平面1B AE的法向量为( , , )nx y z=， 则由10,0n AEn AB= ，即200yzxz+=+= 令2x =，则2,1zy= =(2,1, 2)n = 1116cos,6n B Fn B Fn B F= 1166n

30、 B Fn B F= 二面角1BAEF的余弦值为66. 【点睛】本题主要考查空间线面关系、二面角的计算，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题 21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有 200 户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为 3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0 x x 户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4 %x，而从事水果加

31、工的农民平均每户收入将为()33050 xaa万元. （1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这 200 户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值. 【答案】 （1）0175x； （2）11 【解析】 【分析】 （1）求得从事水果种植的农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x的取值范围. （2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a的取值范围，由此求得a的最大值. 【详解】 （1

32、）动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.04200 3xx+，解得0175x. （2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450 xaxxx+， （0175x）. 由于2002000.0272 0.02711xxxx+=，当且仅当2000.02100 xxx=时等号成立，所以011a的焦点为F，点F到直线10 xy+ =的距离为2. （1）求抛物线C的方程； （2）点O为坐标原点，直线1l、2l经过点()1,0M ，斜率为1k的直线1l与抛物线C

33、交于A、B两点，斜率为2k的直线2l与抛物线C交于D、E两点，记MAMBMDME=，若1212k k = ，求的最小值. 【答案】 （1）24yx=； （2）的最小值为144. 【解析】 【分析】 （1）利用抛物线的焦点到直线10 xy+ =的距离为2可求得正实数p的值，进而可得出抛物线C的方程； （2）设点()11,A x y、()22,B xy，将直线1l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求得MAMB，同理可求得MCMD，由此可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】 （1）抛物线的焦点F的坐标为,02p， 点F到直线10 xy+ =的距离为1222p+=

34、，因为0p ，所以2p =. 所以抛物线C的方程为24yx=； （2）设点()11,A x y、()22,B xy， 联立方程()2141yxykx=+，消去y后整理为()2222111240k xkxk+=， 由题意得()12241102440kkk =，所以110k 或101k， 所以21122112421kxxkx x+=， 又21111MAkx=+，21211MBkx=+， 所以，()()()()()221121121211111MAMBkxxkx xxx=+=+()()22121122114 14212kkkkk+=+=. 同理，()222241kMDMEk+=. 所以()()()222222121212222212121611161kkk kkkMAMBMCMDk kk k+=221212516594642641441444kkk k+=+=. （当且仅当122222kk= =或122222kk= 取等号）. 所以的最小值为144. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中弦长之积最值的计算，考查运算求解能力，属于难题.