广东省东莞市2021-2022高二上学期数学期末试卷及答案.pdf

1、 20212022 学年度第一学期教学质量检查学年度第一学期教学质量检查 高二数学高二数学 一一单项选择题：本大题共单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1. 数列3, 1,1,3,5,的一个通项公式为（ ） A. 25nan= B. 21nan= C 25nan= D. 21nan= 2. 已知双曲线22128xy=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2yx= B. 2yx= C. 12yx= D. 22yx= 3. 如图，在平行六面体1111A

2、BCDABC D中，1ABADCC+= （ ） A. 1AC B. 1AC C. 1D B D. 1DB 4. 已知直线l过点()1,1P，且其方向向量()1,2v =，则直线l的方程为（ ） A. 210 xy+ = B. 210 xy+ = C. 210 xy+ = D. 210 xy = 5. 如图，已知二面角l 平面角的大小为3，其棱l上有A、B两点，AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知1AB =，2=ACBD，则CD =（ ） . A. 5 B. 13 C. 5 D. 13 6. 过抛物线24yx=的焦点 F的直线 l与抛物线交于 PQ两点，若以线段 PQ为

3、直径的圆与直线5x =相切，则PQ（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 已知梯形 ABCD中，ABCD，2CDAB=，且对角线交于点 E，过点 E 作与 AB所在直线的平行线l.若 AB和 CD所在直线的方程分别是3460 xy+=与3490 xy+=，则直线 l与 CD所在直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知1F，2F是一对相关曲线的焦点， 是这对相关曲线在第一象限的交点，则点 与以12FF为直径的圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不确定 二二多项

4、选择题：本大题共多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 9. 设等差数列 na的前n项和为nS，且20210S，则下列结论正确的是（ ） A. 20210a B. 10120a C. 10110a D. 10a ，求的取值范围. 22. 已知圆O：221xy+=与 x轴负半轴交于点 A，过 A的直线1l交抛物线()220ypx p=于 B，C两点，且2AC

5、CB= . 的 （1）证明：点 C的横坐标为定值； （2）若点 C在圆O内，且过点 C 与1l垂直的直线2l与圆O交于 D，E 两点，求四边形 ADBE的面积的最大值. 20212022 学年度第一学期教学质量检查学年度第一学期教学质量检查 高二数学高二数学 一一单项选择题：本大题共单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1. 数列3, 1,1,3,5,的一个通项公式为（ ） A. 25nan= B. 21nan= C. 25nan= D. 21nan

6、= 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的规律得到数列的通项公式. 【详解】因为数列3, 1,1,3,5,是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以()32125nann= +=， 故选：C. 2. 已知双曲线22128xy=，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2yx= B. 2yx= C. 12yx= D. 22yx= 【答案】A 【解析】 【分析】求出a、b的值，可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线22128xy=中，2a =，2 2b =，因此，该双曲线的渐近线方程为2byxxa= = . 故选：A. 3. 如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，1ABADCC+= （

7、 ） A. 1AC B. 1AC C. 1D B D. 1DB 【答案】B 【解析】 分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量 【详解】 连接1、ACAC，可得ABADAC+= ，又11= CCAA， 所以111+= ABADCCACAAAC 故选：B. 4. 已知直线l过点()1,1P，且其方向向量()1,2v =，则直线l的方程为（ ） A. 210 xy+ = B. 210 xy+ = C. 210 xy+ = D. 210 xy = 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和直线的点方向式方程即可得出结果. 【详解】因为直线l过点(11)，且方向向量为(12)v

8、=， 由直线的点方向式方程，可得直线的方程为： 【 1112xy=， 整理，得210 xy =. 故选：D 5. 如图，已知二面角l 平面角的大小为3，其棱l上有A、B两点，AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知1AB =，2=ACBD，则CD =（ ） A. 5 B. 13 C. 5 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】 以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE， 连接CE， 计算出CE、DE的长， 证明出DECE，利用勾股定理可求得CD的长. 【详解】如下图所示，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接CE， 因为BDAB，/AE BD，则AEBD， 又因为

9、ACAB，AC，AE，故二面角l 的平面角为3CAE=， 因为四边形ABDE为平行四边形，则2AEBD=，1DEAB=， 因为2AC =，故ACE为等边三角形，则2CE =， /DE AB，则DEAE，DEAC，ACAEA=，故DE 平面ACE， 因为CE 平面ACE，则DECE，故225CDCEDE=+=. 故选：C. 6. 过抛物线24yx=的焦点 F的直线 l与抛物线交于 PQ两点，若以线段 PQ为直径的圆与直线5x =相切，则PQ（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】依据抛物线定义可以证明：以过抛物线焦点 F 的弦 PQ为直径的圆与其准线相切，则

10、可以顺利求得线段PQ的长. 【详解】抛物线24yx=的焦点 F1,0（），准线1x = 取 PQ中点 H，分别过 P、Q 、H作抛物线准线的垂线，垂足分别为 N、M、E 则四边形NPQM为直角梯形，HE为梯形中位线，()12HEMQNP=+ 由抛物线定义可知，MQQF= ,NPPF=，则PQMQNP=+ 故12HEPQ=，即点 H到抛物线准线的距离为PQ的一半， 则以线段 PQ 为直径的圆与抛物线的准线相切. 又以线段 PQ 为直径的圆与直线5x =相切， 则以线段 PQ 为直径的圆的直径等于直线5x =与直线1x = 间的距离. 即5( 1)6PQ = = 故选：C 7. 已知梯形 ABCD

11、中，ABCD，2CDAB=，且对角线交于点 E，过点 E 作与 AB所在直线的平行线l.若 AB和 CD所在直线的方程分别是3460 xy+=与3490 xy+=，则直线 l与 CD所在直线的距离 为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线 AB和 CD之间的距离，再求直线 l与 CD所在直线的距离即可解决. 【详解】梯形 ABCD中，ABCD，2CDAB=，且对角线交于点 E， 则有ABE与CDE相似，相似比为1:2， 则:1:2AE EC =，点 E 到 CD所在直线的距离为 AB 和 CD所在直线距离的23 又 AB和 CD所在直线的距离为

12、229( 6)334 =+， 则直线 l与 CD所在直线的距离为 2 故选：B 8. 定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知1F，2F是一对相关曲线的焦点， 是这对相关曲线在第一象限的交点，则点 与以12FF为直径的圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为12a，椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为22a，根据题意可得212ca a=，设12,0PFx PFy xy=， 根据椭圆与双曲线的定义将, x y分别用12,a a表示， 设(),0,0P m nmn，再根据两点的距离公式将P点的

13、坐标用12,a a c表示，从而可判断出点与圆的位置关系. 【详解】解：设椭圆的长轴长为12a，椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为22a， 设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e， 则1212cce eaa=，所以212ca a=， 以12FF为直径的圆的方程为222xyc+=， 设12,0PFx PFy xy=， 则有1222xyaxya+=，所以1212xaayaa=+=， 设(),0,0P m nmn，()()12,0 ,0FcFc， 所以()()2222112PFmcnaa=+=+， ()()2222212PFmcnaa=+=， 则得()()22222222112211222222m

14、mccmmccaa aaaa aa+=+， 所以212444mca ac=，所以mc=， 将mc=代入得()2212naa=， 所以12naa=，()12,P c aa， 则点P到圆心O的距离为()2212caac+， 所以点 在以12FF为直径的圆外. 故选：A. 二二多项选择题：本大题共多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 9. 设等差数列 na的前

15、n项和为nS，且20210S，则下列结论正确的是（ ） A. 20210a B. 10120a C. 10110a D. 10a 【答案】CD 【解析】 【分析】利用等差数列前 n 项和公式结合等差数列的性质计算判断作答. 【详解】等差数列 na的前n项和为nS，由12021202110112021202102aaSa+=得：10110a+得，101210110aa， 因此，等差数列 na的公差101210110daa=，即数列 na是递增等差数列，则有110110aa， 所以选项 A，B都不正确；选项 C，D 都正确. 故选：CD 10. 若,2 2 ，则方程22sin1xy+=可能表示下列

16、哪些曲线（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 圆 D. 两条直线 【答案】ABD 【解析】 【分析】分0=、 0,2、,02 得到sin的取值范围，再根据方程特征可得答案. 【详解】当0=时，21x =，即1x = 表示两条直线； 当0,2时，0sin1，2211sin+=yx表示焦点在y轴上的椭圆； 当,02 时，1sin0 ，2211sin+=yx表示焦点在x轴上的双曲线， 故选：ABD. 11. 已知圆()()22:114Mxy+=，直线:20l xy+=，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形MAPB面积的最小值为4 B

17、. 四边形MAPB面积的最大值为8 C. 当APB最大时，2 2PA = D. 当APB最大时，直线AB的方程为0 xy+= 【答案】AD 【解析】 【分析】分析可知当MPl时，四边形MAPB面积最小，且APB最大，利用三角形的面积公式可判断AB 选项，分析出四边形MAPB为正方形，利用正方形的几何性质可判断 CD 选项. 【详解】如下图所示： 由圆的几何性质可得MAPA，MBPB， 由切线长定理可得PAPB=，又因为MAMB=，MPMP=，所以，PAMPBM， 所以，22PAMMAPBSSPAAMPA=四边形， 因为2224PAMPMAMP=，当MPl时，MP取最小值， 且min1 122

18、22MP+ +=，所以，四边形MAPB的面积的最小值为()222 244=，A对； 因为MP无最大值，即PA无最大值，故四边形MAPB面积无最大值，B错； 因为APM为锐角，2APBAPM= ，且2sinAMAPMMPMP=， 故当MP最小时，APM最大，此时APB最大，此时2PA =，C错； 由上可知，当APB最大时，2PAPBMAMB=且90PAM=， 故四边形MAPB为正方形，且有MPl，则MP的方程为yx=， 联立20yxxy=+=，可得11xy= = ，即点()1, 1P ， 由正方形的几何性质可知，直线AB过线段MP的中点()0,0O，此时直线AB的方程为yx= ，D对. 故选：A

19、D. 12. 某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到 2020 年底全县的绿地占全县总面积的70%.从 2021 年起，市政府决定加大植树造林开辟绿地的力度，预计每年能将前一年沙漠的 18%变成绿地，同时，前一年绿地的 2%又被侵蚀变成沙漠.则下列说法正确的是（ ） A. 2021年底，该县的绿地面积占全县总面积的 74% B. 2023年底，该县的绿地面积将超过全县总面积的 80% C. 在这种政策之下，将来的任意一年，全县绿地面积都不能超过 90% D. 在这种政策之下，将来的某一年，绿地面积将达到 100%全覆盖 【答案】AC 【解析】 【分析】从 2021年起，每年年底的

20、绿化率构成一个数列，求得数列通项公式后，即可判断各个选项的正误. 【详解】从 2021年起，每年年底的绿化率构成一个数列： 123,na a aa 10.7 0.980.3 0.180.74a =+=， 且10.980.18(1)0.80.18nnnnaaaa+=+=+， 即10.80.18nnaa+=+，可化为()10.90.80.9nnaa+=，又10.90.16a = 则数列0.9na 是首项为0.16公比为 0.8 的等比数列， 则10.90.16 0.8nna= ，即10.90.16 0.8nna= 选项 A：2021 年底，该县的绿地面积占全县总面积的 74%.判断正确； 选项 B

21、：3n =时，230.90.16 0.80.7976a =，即 2023 年底，该县的绿地面积占全县总面积的79.76%，未超过全县总面积的 80%.判断错误； 由10.90.16 0.8nna=可知，0.9na 得2243mk+， 故121226()234myyk xxmk+=+=+， 所以BC的中点为2243,3434+kmmDkk， 所以34ODkk= ， 故33144ODBCkkkk= = ， 与等边三角形OBC中ODBC矛盾， 所以假设不成立，故三角形OBC不可能是等边三角形. 20. 如图，已知圆台下底面圆1O的直径为AB，C是圆1O上异于A、B的点，P是圆台上底面圆2O上的点，且

22、平面PAC 平面ABC，2PAPCAC=，4BC =，E、F分别是PC、PB的中点. 【 （1）证明：BC 平面PAC； （2）若直线l上平面PAC且过点A，试问直线l上是否存在点Q，使直线PQ与平面AEF所成的角和平面ABC与平面AEF的夹角相等？若存在，求出点Q的所有可能位置；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）证明见解析； （2）存在，点Q与点A重合. 【解析】 【分析】 （1）证明出BCAC，利用面面垂直的性质可证得结论成立； （2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，易知z轴在平面PAC内，分析可知/l BC，设点()2,

23、 ,0Qt，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可得出关于t的方程，解出t的值，即可得出结论. 【小问 1 详解】 证明：因为AB为圆1O的一条直径，且C是圆1O上异于A、B的点，故BCAC， 又因平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABCAC=，BC 平面ABC， 所以BC 平面PAC. 【小问 2 详解】 解：存在，理由如下： 如图，以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，易知z轴在平面PAC内， 为 则()2,0,0A，()0,4,0B，()0,0,0C，()1,0,3P，13,0,22E，13,2,22F， 由直线l 平面P

24、AC且过点A，以及BC 平面PAC，得/l BC， 设()2, ,0Qt，则33,0,22= AE，()0,2,0= EF，()1, ,3PQy= ， 设平面AEF的法向量为(), ,nx y z=， 则则3302220AE nxzEF ny= += ，即30zxy=，取1x =，得()1,0, 3n =， 易知平面ABC的法向量()0,0,1m =， 设直线PQ与平面AEF所成的角为1，平面ABC与平面AEF的夹角为2， 则1221s42incos,24PQ nPQ nPQntt= =+ ， 23coscos,1 223m nm nmn= = ， 由12=，得2212sincos1+=，即2

25、13144t+=+，解得0=t， 所以当点Q与点A重合时，直线PQ与平面AEF所成的角和平面ABC与平面AEF的夹角相等. 21. 已知数列 na和 nb中12a =，10b =，且1232nnnaab+=+，1232nnnbab+=+. （1）写出2a，3a，2b，3b，猜想数列nnab+和nnab的通项公式并证明； （2）若对于任意*Nn都有()2nnnnabab+，求的取值范围. 【答案】 （1）23234,7,0,1aabb=，2nnnab+=，2nnabn=，证明见解析 （2）2,9 【解析】 【分析】 （1）已知两式相加化简可得nnab+是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则2n

26、nnab+=，两式相减化简可得nnab是首项为 2，公差为 2的等差数列，则2nnabn=， （2）由题意可得只需要2min22()nn和(1)1( )f nf n+， 即22(2 )nn，只需要2min22()nn， 故122222(1)22( )(1)2(1)nnf nnnf nnn+=+， 当(1)1( )f nf n+时，2210nn ，解得12n +， 当(1)1( )f nf n+时，2210nn ，解得1212n于 B，C两点，且2ACCB= . （1）证明：点 C的横坐标为定值； （2）若点 C在圆O内，且过点 C 与1l垂直的直线2l与圆O交于 D，E 两点，求四边形 ADB

27、E的面积的最大值. 【答案】 （1）证明见解析 （2）5136 【解析】 【分析】 （1）设直线1l方程，与抛物线方程联立，设11( ,)B x y，22(,)C xy， 结合2ACCB= ，得到123+2xx=，结合根与系数的关系，即可解得答案； （2）根据（1）所设，表示出弦长2| 41ABk=+，再求出4222168|31kkDEk+=+，进而表示出四边形 ADBE 的面积，据此求其最大值, 【小问 1 详解】 由题意知点A的坐标为( 1,0)，易知直线1l的斜率存在且不为零， 设直线1l：(1)yk x=+，11( ,)B x y，22(,)C xy， 联立2(1)2yk xypx=+

28、=，得22222()0k xkp xk+=，则2244()40kpk =， 即22pk， 由韦达定理得2122122()1kpxxkx x+= =， 由2ACCB= ，即2212122(1,)(,)xyxxyy+= ，得2122(1)xxx+=， 即123+2xx=， 代入121=x x，得213x =或21x = ， 又抛物线22(0)ypx p=开口向右，0 x ，所以点C的横坐标为定值13. 【小问 2 详解】 由（1）知点B的坐标为(3,4 )k， 故222|(3 1)(40)41ABkk=+=+， 由（1）知点C的坐标为1 4( ,)33k， 由点C在圆O内，得2116199k+，解得2102k， 又21ll，得2l的斜率1k，故2l的方程为411()33kyxk= ， 即233410 xkyk+ =， 故圆心O到直线2l的距离为224131kk+， 由垂径定理得224222(4+1)2168| 2 19931kkkDEkk+=+， 故4224221121684| |4116822313ADBEkkSABDEkkkk+=+ =+22411=16()833264k+ +， （2102k） ， 当且仅当2132k =时，ABDES有最大值5136， 所以四边形ADBE的面积的最大值为5136.