2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册同步训练(8份).rar

1、2021-2022 学年高二数学（人教学年高二数学（人教 A 版版 2019 选择性必修一）选择性必修一）专题专题 1 空间向量及其运算空间向量及其运算一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列命题中，假命题是（ ）A同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C只有零向量的模等于 0D共线的单位向量都相等2向量, a b 互为相反向量，已知b3，则下列结论正确的是（ ）AabBab为实数 0Ca 与b方向相同Dar33如图，在平行六

2、面体ABCDA B C D 中，AC与BD的交点为O，点M在BC上，且2BMMC，则下列向量中与OM 相等的向量是（ ）A172263ABADAA B151263ABADAA C112263ABADAA D111263ABADAA 4 已知向量,a b是平面 的两个不相等的非零向量， 非零向量c是直线l的一个方向向量， 则0 c a且0c b是 l 的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5下列说法中正确的是（）A若a=b，则a、b的长度相等，方向相同或相反B若向量a是向量b的相反向量，则a=bC空间向量的减法满足结合律D在四边形ABCD中，一定有ABADAC

3、6如图，在四棱柱的上底面ABCD中，ABDC ，则下列向量相等的是（）AAD与CB BOA 与OC CAC与DB DDO与OB 7在下列条件中，使 M 与 A、B、C 一定共面的是（ ）A2OMOAOBOC B111532OMOAOBOC C0MAMBMC D0OMOAOBOC 8已知在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于 1，且彼此的夹角都是 60，则此平行六面体的对角线 AC1的长为（ ） A6B6C3D3二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9下列命题是真命题

4、的是（ ）A若| |ab，则, a b 的长度相等而方向相同或相反B空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面C若两个非零向量AB 与CD 满足0ABCD ，则/CBDA D若空间向量AB ，CD 满足ABCD ，且AB 与CD 同向，则ABCD 10 （多选题）已知平行六面体ABCDA B C D ，则下列四式中其中正确的有（ ）AABCBAC BACABB CCC CAACC DABBBC CAC 11如图所示，棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P 为线段1AB上的动点（不含端点） ，则下列结论正确的是（ ） A平面11D AP 平面1A APB1AP DCu

5、uu r uuuu r不是定值C三棱锥11BD PC的体积为定值D11DCD P12在四面体PABC中，以上说法正确的有（ ）A若1233ADACAB ，则可知3BCBD B若Q为ABC的重心，则111333PQPAPBPC C若0PA BC ，0PC AB ，则0PB AC D若四面体PABC各棱长都为 2，MN，分别为,PA BC的中点，则1MN 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题小题13在正方体1111ABCDABC D中，点M是1AA的中点，已知ABa ，ADb，1AAc，用, ,a b c 表示CM ，则CM _.14已知平行六面体1111ABCDABC D中，底面ABC

6、D是边长为 1 的正方形，12AA ，1160A ABA AD ，则1ADAC _.1AC _.15设1e，2e 是平面内不共线的向量，已知122ABeke ，123CBee ，122CDee ，若 A，B，D 三点共线，则k _.16平行六面体1111ABCDABC D 中，已知底面四边形ABCD为正方形，且113A ABA AD ，其中，设1ABAD ，1AAc，体对角线12AC ，则c的值是_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在正方体 ABCDA1B1C1Dl中，CD1和 DC1相交于

7、点 O，连接 AO求证：AOCD118在空间四边形 ABCD 中，连结 ACBD，BCD的重心为 G，化简1322ABBCDGAD .19下面给出了两个空间向量, a b ，作出,ba ba . 20如图所示，在空间四边形 OABC 中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，类比平面向量有关运算，如何求向量OA 与BC 的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.21已知：m，n 是平面 内的两条相交直线，直线 l 与 的交点为 B，且 lm，ln求证：l22如图，已知、为空间的个点，且，.求证： （1）、四点共面，、四点共面；（2）；（3）.参考答案参考答案1D【解析】A.向量

8、是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为 0 的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.故选：D.2D【解析】向量, a b 互为相反向量，则, a b 模相等、方向相反.0ab.故选：D.3C【解析】解：因为2BMMC，所以23BMBC ，在平行六面体ABCDA B C D 中，OMOBBM 23OBBC 12()23DBADAA 12()()23ABADADAA 112263ABADAA ，故选：C4B【解析】当,a b不共线时，由0 c a且0c b，可推出 l；当,a b为共线向量时

9、，由0 c a且0c b，不能够推出l，所以0 c a且0c b是 l 的不充分条件；若l，则一定有0 c a且0c b，所以0 c a且0c b是 l 的必要条件.故选：B.5B【解析】对于 A，向量的模相等指的是向量的长度相等，方向具有不确定性，因而不一定方向相同或相反，所以 A 错误；对于 B，相反向量指的是大小相等，方向相反的两个向量，因而相反向量满足模长相等，所以 B 正确；对于 C，空间向量减法结合律指的是 abcabc，因而由运算可得空间向量减法不满足结合律，所以 C 错误；对于 D，满足ABADAC 的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而 D 错误.故选：B.6D【解析

10、】由ABDC 知四棱柱是平行六面体，所以每个面是平行四边形对于 A，AD与CB 的方向相反，因而不是相等向量，所以 A 错误;对于 B，OA 与OC 的方向相反，因而不是相等向量，所以 B 错误;对于 C，AC与DB 的方向成90，不是相同方向，因而不是相等向量，所以 C 错误;对于 D，DO与OB 的方向相同，大小相等，属于相等向量，因而 D 正确.故选：D7C【解析】空间的四点 M、A、B、C 四点共面，只需满足OMxOAyOBzOC ，且1xyz即可，对于 A，2OMOAOBOC 中2 1 10 xyz ，故此时四点 M、A、B、C 四点不共面；对于 B，111532OMOAOBOC 中

11、1111532xyz，此时四点 M、A、B、C 四点不共面；对于 C，0MAMBMC ，0MOOAMOOBMOOC ，即111333OMOAOBOC ，1111333xyz，此时四点 M、A、B、C 四点共面；对于 D，0OMOAOBOC ，则OMOAOBOC ，1 1 13xyz ，此时四点 M、A、B、C 四点不共面；故选：C8B【解析】11ACABADAA ，1122()ACABADAA 212121222ADAAADAB AAAD AAABAB 1 1 12(cos60cos60cos60 )6 16AC ，即 AC1的长为6.故选：B9BC【解析】A. 若| |ab，则, a b 的

12、长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；C. 若两个非零向量AB 与CD 满足0ABCD ，则ABCD =-，所以ABCD ，所以该选项正确；D. 若空间向量AB ，CD 满足| |ABCD ，且AB 与CD 同向，AB 与CD 也不能比较大小，所以该选项错误.故选：BC10ABC【解析】作出平行六面体ABCDA B C D 的直观图，如图知每个面都是平行四边形，可得+=ABCBAB BC AC ，则 A 正确；ABB CCCABBCCCAC ，则 B 正

13、确；由平行六面体性质AABBCC ,则 C 正确；=ABBBC C ABBBB BAB ，则 D 不正确.故选：ABC.11ACD【解析】A.因为是正方体，所以11D A 平面1A AP，11D A 平面11D AP，所以平面11D AP 平面1A AP，所以 A 正确；B.11111111()AP DCAAAPDCAA DCAP DC 11112cos45cos901212AA DCAP DC ，故11AP DC ，故 B 不正确；C.1111BD PCP B D CVV，11B DC的面积是定值，1/ /AB平面11B DC，点P在线段1AB上的动点，所以点P到平面11B DC的距离是定值

14、，所以1111BD PCP B D CVV是定值，故 C 正确；D.111DCA D，11DCAB，1111ADABA，所以1DC 平面11AD P，1D P 平面11AD P，所以11DCD P，故 D 正确.故选：ACD12ABC【解析】对于A ，1233ADACAB ，32ADACAB ，22ADABACAD ， 2BDDC ，3BDBDDCBC 即3BDBC ，故A正确；对于B，Q为ABC的重心，则0QAQBQC ，33PQQAQBQCPQ ()()()3PQQAPQQBPQQCPQ ,3PAPBPCPQ 即111333PQPAPBPC ，故B正确；对于C，若0PA BC ，0PC A

15、B ，则0PA BCPC AB ，()0PA BCPCACCB ,0PA BCPC ACPC CB 0PA BCPC ACPC BC ,()0PAPC BCPC AC 0CA BCPC AC ,0AC CBPC AC ()0AC PCCB ，0AC PB ，故C正确； 对于D，111()()222MNPNPMPBPCPAPBPCPA 1122MNPBPCPAPAPBPC 222222PAPBPCPAPBPCPA PBPA PCPC PB 2221112222 2 22 2 22 2 22 2222 2MN ，故D错误.故选：ABC1312abc 【解析】CMCBBAAMBCABAM 又M是1A

16、A的中点,1111,22AMAACMBCABAA ABa ，ADb，1AAc，12CMabc .故答案为：12abc .143 10 【解析】设1,ABAbcaDAA ，则由题意得：| 1,| 1,| 2abc0,1,1a ba cb c ，21() ()1 1 0 13ADACbcbabb cb aa c 2221|2221 1422010ACabcabca cb cc c 故答案为：3；10.158【解析】由题意，121212234BDCDCBeeeeee ，又122ABeke ，且 A、B、D 三点共线，由共线向量定理得，存在实数使得ABBD 成立，即121224ekeee ，则24k

17、，解得8k .故答案为：8.161+ 3【解析】111A CACAAABADAA ，故11A CABADAA ,2211A CABADAA 2222211111=+222A CABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA 113A ABA AD ，其中，设1ABAD ，1AAc，代入化简2224cc ，解得31c 或13c （舍去） .故答案为：1+ 317证明见解析.【解析】1111()22AOACCOABADCDABADCDDD 1111112222ABADCDDDABADDD 11111()22AO CDABADDDABDD 11111111102222AB ABAD ABDD

18、ABAB DDAD DDDD DD ，1AOCD ，即 AOCD1.180【解析】设 E 为 BC 的中点，则12BCBE ，又G为BCD的重心，则32DGDE，所以 130.22ABBCDGADABBEDEADABBEADDEAEAE 19答案见解析【解析】如图，空间中的两个向量, a b 相加时，我们可以先把向量, a b ，平移到同一个平面内，以任意点 O 为起点作OA a，OB b，则OC OA OB ab，AB OB OA ba.20答案见解析21证明见解析【解析】设直线 m 的方向向量为m，直线 n 的方向向量为n，直线 l 的方向向量为l，m，n 是平面 内的两条相交直线m与n是

19、平面 内的两个不共线向量，设平面 内的任一向量为g，由平面向量基本定理，存在唯一实数, ，使gmn又lm，ln，0,0l ml n ，0l glmnl ml n lg直线 l 垂直于平面 内的任意直线g，由线面垂直的定义得：l22详见解析【解析】证明： （1），A、B、C、D 四点共面，E、F、G、H 四点共面（2），.（3）.2021-2022 学年高二数学（人教学年高二数学（人教 A 版版 2019 选择性必修一）选择性必修一）专题专题 2 空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

20、小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 A（2,1,3）关于 yOz 平面对称的点的坐标是A （2,1,3）B （2,1,3）C （2,1,3）D （2,1,3）2已知点2, 3,1B，向量3,5,2AB ，则点A坐标是（ ）A1,2,3B1,2,3C5,8,1D5, 8, 13若向量(4,2, 4),(2,1, 1)ab，则23ab（ ）A(6,3, 7)B( 2, 1, 1) C(2,1, 5)D(14,7, 11)4一束光线自点 P（1，1，1）出发，被 xOy 平面反射到达点 Q（3，3，6）被吸收，那么光线所经过的距离是（ ）A3

21、7B33C47D575下列向量中与向量a=(0，1，0)平行的向量是（ ）Ab=(1，0，0)Bc=(0，-1，0)Cd =(-1，-1，1)De=(0，0，-1)6已知点1,1,Att t，2, ,Bt t，则A，B两点的距离的最小值为A3 1010B55C3 55D357已知向量( 2, ,2),(2,1,2),(4, 2,1)axbc .若()abc，则 x 的值为（ ）A2B2C3D38在空间直角坐标系Oxyz中，(0,0,0),(2 2,0,0),(0,2 2,0)OEF，B为EF的中点，C为空间一点且满足| | 3COCB ，若1cos,6EF BC ， ，则OC OF （ ）A9

22、B7C5D3二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9对于任意非零向量111,ax y z，222,bxyz，以下说法错误的有A若ab，则12121 20 x xy yz zB若/a brr，则111222xyzxyzC12121 2222222111222cos,x xy yz zxyzazbxy D若1111xyz，则a为单位向量10 如图， 在长方体1111ABCDABC D中，5AB ，4AD，13AA ， 以直线DA，DC，1DD分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）A点1B的

23、坐标为(4,5,3)B点1C关于点B对称的点为(5,8, 3)C点A关于直线1BD对称的点为(0,5,3)D点C关于平面11ABB A对称的点为8,5,011已知点 P 是ABC 所在的平面外一点，若AB (2，1，4)，AP (1，2，1)，AC(4，2，0)，则（ ）AAPABBAP BPCBC53DAP/ BC12已知 ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）A2211111113A AADABAB B11110ACABA A C向量1AD与向量1AB的夹角是 60D正方体 ABCDA1B1C1D1的体积为1AB AA AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小

24、题小题13若向量, a b的坐标满足( 2, 1,2)ab ，(4, 3, 2)ab，则a b等于_.14如图，以长方体1111ABCDABC D的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为_15如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为 D1C1，B1C1的中点，若以1,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为_，向量AF的坐标为_，向量1AC 的坐标为_. 16在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为 A1D1，BB1的中点，则cosEAF_，EF=_. 四、

25、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在直三棱柱 ABO-A1B1 O1中，AOB2 ，AO4，BO2，AA14，D 为 A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求1, DO AB 的坐标 18在ABC中，2, 5,3A，4,1,2AB ，3, 2,5BC .（1）求顶点B、C的坐标；（2）求CA BC ；（3）若点P在AC上，且12APPC ，求点P的坐标.19已知1,1,2a，6,21,2bm.（1）若/a brr，分别求与m的值；（2）若5a ，且与2, 2 ,c垂直，求a.20棱长为 1 的正

26、方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别是 DD1，BD，BB1的中点.（1）求证：EFCF；（2）求EF 与 CG所成角的余弦值；（3）求 CE 的长.21已知在空间直角坐标系中，(1, 2,4), ( 2,3,0),(2, 2, 5)ABC.（1）求,2,ABCA CBBA AB AC ；（2）若点 M 满足1324AMABAC ，求点 M 的坐标；（3）若,pCA qCB ，求() ()pqpq.22如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱 AA1=2，M，N 分别是 AA1，CB1的中点.（1）求 BM，BN 的长.（2）求BMN 的面积.

27、参考答案参考答案1B【解析】在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 A（2,1,3）关于 yOz 平面对称的点的坐标是（2,1,3）.故选：B.2D【解析】设点, ,A x y z，则向量2, 3y,1 z3,5,2ABx ，所以233512xyz 581xyz ，所以点5, 8, 1A.故选：D3C【解析】因为(4,2, 4),(2,1, 1)ab，所以232(4,2, 4)3(2,1, 1)(2,1, 5)ab.故选：C4D【解析】P 关于 xOy 平面对称的点为 P（1，1，-1） ，则光线所经过的距离为|PQ|=222(3 1)(3 1)(6 1)57.故选:D5B【解析】A.因为ba，故

28、错误；B.因为ca ，故正确；C.因为da ，故错误；D.因为ea，故错误.故选：B6C【解析】因为点1,1,Att t，2, ,Bt t所以22222(1)(21)()522ABtttttt有二次函数易知，当15t 时，取得最小值为95 AB的最小值为3 55 故选：C.7A【解析】( 2,3,1),()4320bcabcx ，解得2x .故选：A8D【解析】设( , , )C x y z，( 2, 2,0)B，( , , )OCx y z，(2,2, )BCxyz ，( 2 2,2 2,0)EF ，由( 2 2,2 2,0) (2,2, )1cos,4 36EF BCxyzEF BCEFB

29、C ，整理可得：22xy ，由| | 3COCB ，得2222(2)(2)xyxy，化简得2xy，以上方程组联立得23 2,44xy，则( , , )0,2 2,02 23OC OFx y zy . 故选：D.9BD【解析】对于 A 选项，因为ab，则12121 20a bx xy yz z ，A 选项正确；对于 B 选项，若20 x ，且20y ，20z ，若/a brr，但分式12xx无意义，B 选项错误；对于 C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知12121 2222222111222cos,x xy yz zxyzazbxy ，C 选项正确；对于 D 选项，若1111xyz，则222

30、1113a ，此时，a不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.10ACD【解析】根据题意知：点1B的坐标为(4,5,3)，选项 A 正确；B的坐标为(4,5,0)，1C坐标为0,5,3，故点1C关于点B对称的点为8,5, 3，选项 B 错误；在长方体中22115ADBCADAAAB，所以四边形11ABC D为正方形，1AC与1BD垂直且平分，即点A关于直线1BD对称的点为10,5,3C，选项 C 正确；点C关于平面11ABB A对称的点为8,5,0，选项 D 正确；故选：ACD.11AC【解析】 因为0AP AB ， 故A正确 ；(3, 3, 3)BP ，36360AP BP ， 故B不正确

31、；(6,1, 4)BC ，22261( 4)53BC ，故 C 正确 ；(1, 2,1)AP ，(6,1, 4)BC ，各个对应分量的比例不同，故 D不正确。故选:AC。12AB【解析】由向量的加法得到 ：111111AADAACAB ，22111A C3A B，22111A C3 A B ，所以 A 正确 ；1111ABABA A ，AB1A1C，11A C AB0 ，故 B 正确；ACD1是等边三角形，AD1C60，又 A1BD1C，异面直线 AD1与 A1B 所成的夹角为 60，但是向量1AD与向量1AB的夹角是 120，故 C 不正确；ABAA1，1AB AA0 ，故1AB AA AD

32、 0，因此 D 不正确.故选：AB.135【解析】因为( 2, 1,2)ab ，(4, 3, 2)ab，两式相加得2(2, 4,0)a ，解得(1, 2,0)a ，( 3,1,2)b ，所以1 ( 3)( 2) 1 0 25a b .故答案：5.14( 4,3,2)【解析】因为D为坐标原点， 所以点1(4,3,2)B，即14,3,2ADDCDD所以1(4,0,0),(0,3,2)AC,所以1( 4,3,2)AC .故答案为：( 4,3,2)151,1,12 1112, (1,1,1) 【解析】因为11112AEADDDD EABADAA ，所以向量AE 的坐标为1,1,12.因为11112AF

33、ABBBB FABADAA ，所以向量AF的坐标为1112,.因为11ACABADAA ，所以向量1AC 的坐标为(1,1,1).故答案为：1,1,12；1112,；(1,1,1)1625 62 【解析】以 A 为原点，AB，AD，AA1分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系正方体棱长为 1，则110,1 ,1,0,22EF11110,1 ,1,0,1,2222AEAFEF 122cos,=55522AE AFAE AFAE AF 2222116cos,|15222EAFEFEF .故答案为：25；621712, 1, 4 ,4,2, 4 DOAB【解析】 DOOD(1OOuuu r1

34、O D)112 OOOAOB1OOuuu r12OA 12OB 又|1OOuuu r|1AA|4，|OA |4，|OB |2，DO1OOuuu r12OA 12OB 12110,0,44,0,00,2,02, 1, 422 1ABuuu rOB 1OAOB (OA 1AA)OB OA 1AA.又|OB |2，|OA |4，|1AA|4，1ABuuu rOB OA 1AA 0,2,04,0,00,0,4(4,2，4)18 （1）6, 4,5B，9, 6,10C； （2）58CA BC ； （3）1316 16,333P.【解析】 （1）设点O为坐标原点， 2, 5,34,1,26, 4,5OBO

35、AAB ，则6, 4,5B. 6, 4,53, 2,59, 6,10OCOBBC ，则9, 6,10C；（2）7, 1,7ACABBC ，则7,1, 7CA ，又3, 2,5BC ，因此， 7 3 127558CA BC ；（3）设点O为坐标原点，12APPC ，则12OPOAOCOP ，则21211316 162, 5,39, 6,10,3333333OPOAOC ，所以，点P的坐标为1316 16,333.19 （1）15，3m； （2）0,1, 2a .【解析】 （1）/a brrQ，设akb kR，得1,1,26,21,2km，1612122kkmk ，解得153km，因此，15，3m

36、；（2）50aa c，2222112521220，化简，得225230220，解得1 .因此，0,1, 2a .20 （1）证明见解析； （2）1515； （3）52.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz则11 11(0,0,0),0,0,(0,1,0),0 ,1,1,22 22DECFG所以1 111111,0 ,1,0,0, 1,2 222222EFCFCGCE （1）证明：因为111110022222EF CF ，所以EFCF ，即 EFCF.（2）因为22211111111310,222242222EF CGEF 222151022CG 1154cos,=153522EF C

37、GEF CGEFCG .（3）222150122CE 21 （1）( 4,5,5)ABCA ，2( 10,15, 3)CBBA ，33AB AC ； （2）1 119,4 24M； （3）16.【解析】 （1）因为(1, 2,4), ( 2,3,0),(2, 2, 5)ABC，所以( 3,5, 4),( 1,0,9)ABCA .所以( 4,5,5)ABCA ，又( 4,5,5),(3, 5,4)CBBA 所以2( 10,15, 3)CBBA ，又( 3,5, 4),(1,0, 9)ABAC 所以303633AB AC .（2）由（1）知，13133 535( 3,5, 4)(1,0, 9),2

38、4244 24AMABAC 若设 M(x，y，z)，则(1,2,4)AMxyz 于是3145223544xyz ，解得1412194xyz ，故1 119,4 24M（3）由（1）知，( 1,0,9),( 4,5,5)pCAqCB .22() () |826616pqpqpq22 （1）BM 的长为3，BN 的长为52； （2）64.【解析】以 C 为原点，以 CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图).则 B(0，1，0)，M(1，0，1)，N1012,.（1）1(1, 1,1),0,12BMBN 222|1( 1)13BM ，22215|0122BN

39、 .故 BM 的长为3，BN 的长为52.（2）3152coscos,5|532BM BNMBNBM BNBMBN 21510sin155MBN故115106| | sin322254BMNSBMBNMBN.即BMN 的面积为64.2021-2022 学年高二数学（人教学年高二数学（人教 A 版版 2019 选择性必修一）选择性必修一）专题专题 3 用空间向量研究直线、平面的位置关系用空间向量研究直线、平面的位置关系一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如图，在正方体 ABCD

40、1111ABC D中，以 D 为原点建立空间直角坐标系，E 为 B1B的中点，F 为11AD的中点，则下列向量中，能作为平面 AEF 的法向量的是A(1，2，4)B(4,1，2)C(2，2，1)D(1，2，2)2若平面/ /，则下面可以是这两个平面法向量的是（ ）A 12(1,2,3),( 3,2,1) nnB12(1,2,2),( 2,2,1) nnC 12(1,1,1),( 2,2,1) nnD 12(1,1,1),( 2, 2, 2) nn3若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（）A11,2,3n ，23,2,1n B11,2,2n ，22,2,1n C11,1,1n ，22

41、,2,1n D11,1,1n ，22, 2, 2n 4若不重合的直线12,l l的方向向量分别为1,2, 2a ，3, 6,6b ，则A1l2lB1l2lC12,l l相交但不垂直D不能确定5若直线 l 过点 A(-1，3，4)，B(1，2，1)，则直线 l 的一个方向向量可以是（ ）A131 22，B1 312 2，C1 312 2，D2 113 3，6若两个向量1,2,3 ,3,2,1ABAC ,则平面ABC的一个法向量为A1,2, 1B1,2,1C1,2, 1D1,2,17如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点,E F分别是棱1,BC CC的中点，P 是侧面11BC

42、C B内一点，若1AP平行于平面AEF，则线段1AP长度的最小值为（ ）A2B3 22C3D58设 ， 是不重合的两个平面， 的法向量分别为12,n n ，l 和 m 是不重合的两条直线，l，m 的方向向量分别为12,e e ，那么 / 的一个充分条件是（ ）Al，m，且1122,en en Bl，m，且12/eeC1122/ ,/en en ，且12/eeD1122,en en ，且12/ee二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9若直线 l 的方向向量为m，平面 的法向量为n，则不可能使 l/

43、的是（ ）Am=(1，0，0)，n=(-2，0，0)Bm=(1，3，5)，n=(1，0，1)Cm=(0，2，1)，n=(-1，0，-1)Dm=(1，-1，3)，n=(0，3，1)10 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点， 如果(2, 1, 4)AB ，4,2,0AD ，1,2, 1AP ，下列结论正确的有（ ）AAPABBAPADCAP 是平面 ABCD 的一个法向量D/ /APBD 11如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，P，Q 分别为棱 AB，CD，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等下列结论中正确的是（ ）AA1MD1PBA1MB1QCA1M平面 DCC1

44、D1DA1M平面 D1PQB112在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，M，N 分别是棱 DD1，D1C1的中点，则直线OM（ ）A和 AC 垂直B和 AA1垂直C和 MN 垂直D与 AC，MN 都不垂直三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题小题13平面的法向量,1, 2ux，平面的法向量11, ,2vy ，已知/ ，则xy_.14给出下列命题：若, a b 为共面向量，则, a b 所在的直线平行；若向量, a b 所在直线是异面直线，则, a b 一定不共面；平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量其中正确命题的

45、个数为_.15已知ABC的三个顶点坐标分别为0,0,2A、4,2,0B、2,4,0C，平面ABC的单位法向量为_.16已知直线 l 的方向向量为 2,1m，平面 的法向量为 11,22，且 l，则 m _四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知正方体1111ABCDABC D中，E为棱1CC上的动点（1）求证：1AEBD；（2）若平面1ABD 平面EBD，试确定E点的位置18在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，DA=2，DC=3，DD1=4，M，N，E，F 分别为棱 A1D1，A1B1，D1C1，

46、B1C1的中点.求证：平面 AMN平面 EFBD.19如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2AB ，1AF ，M是线段EF的中点.求证：AM平面BDE.20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，1PDDC，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.21已知 M 为长方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 BC 的中点，点 P 在长方体 ABCD-A1B1C1D1的面 CC1D1D 内，且 PM平面 BB1D1D，试探讨点 P 的确切位置.22在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在线段 A1D 上，点 Q 在线段 AC 上，线段

47、 PQ 与直线 A1D 和 AC 都垂直，求证：PQBD1.参考答案参考答案1B【解析】设正方体棱长为 2，则 A（2，0，0） ，E（2，2，1） ，F（1，0，2） ，AE =（0，2，1） ，AF=（1，0，2）设向量n=（x，y，z）是平面 AEF 的一个法向量则2020n AEyzn AFxz ，取 y=1，得 x=4，z=2n=（4，1，2）是平面 AEF 的一个法向量因此可得：只有 B 选项的向量是平面 AEF 的法向量故选 B2D【解析】因为平面/ /，所以两个平面的法向量应该平行，只有 D 项符合.故选：D.3D4A【解析】解：因为3ab ，所以ab.又直线12,l l不重合

48、，所以12,l l平行.故选：A.5D【解析】2 1(2, 1, 3)3,13 3AB ，故选：D.6A【解析】设平面 ABC 的法向量为( , , )nx y z，则00n ABn AC ，即230320 xyzxyz，令1x ，则2,1yz ，即平面 ABC 的一个法向量为( 1,2, 1)n ，故选 A.7B【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，12,0,0 ,1,2,0 ,0,2,1 ,2,0,2AEFA，( 1,2,0),( 2,2,1)AEAF ，设平面AEF的法向量, ,nx y z，则20220n AExyn AFxyz ，取1y ，得2

49、,1,2n ，设,2,02,02P acac，则12,2,2APac，1AP平行于平面AEF，1222220AP nac，整理得3ac，线段1AP长度222222139|(2)2(2)(2)4(1)222APacaaa，当且仅当32ac时，线段1AP长度取最小值3 22.故选：B.8C【解析】对于 A，由线面垂直的性质可知，只要 l，m，都有1122,en en ，并不能说明 /，则 A错误；对于 B，若 l，m，且12/ee，则平面 ， 平行或者相交，则 B 错误；对于 C，由1122/ ,/en en ，且12/ee可得，12/nn，则/ ，则 C 正确；对于 D，若1122,en en

50、，且12/ee，则平面 ， 平行或者相交，则 D 错误；故选：C9ABC【解析】若 l，则需mn，即0mn ，根据选择项验证可知：A 中，2mn ；B 中，6mn ；C 中，1mn ；D 中，0mn ；综上所述，选项 A，B，C 符合题意故选：ABC.10ABC【解析】因为2240AB AP ，所以APAB，A 正确；因为440AD AP ，所以APAD，B 正确；由APAB,APAD，可得AP 是平面 ABCD 的一个法向量，C 正确；BD 在平面 ABCD 内，可得APBD，D 错误故选：ABC11ACD【解析】依题意可知11/PQ BD B D，所以11,P Q B D四点共面.因为11