山东省青岛市2021-2022高一下学期数学期末试卷及答案.pdf

1、高高一一数学试题数学试题第第 1页（共页（共 6页）页）2021-2022 学年度第二学期期末学业水平检测高一数学试题2022.07本试卷 6 页，22 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本大题共 8 小题每小题 5 分，共

2、 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 已知i是虚数单位，复数2(4)(2)izxx是纯虚数，则实数x的值为A2B2C2D42在正方体1111ABCDABC D中，E，F分别为BC，1CC的中点，则平面AEF截正方体所得的截面多边形的形状为A三角形B四边形C五边形D六边形3已知向量(1,2)a ，(1,1)b ，若a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是A5(,)3B5(,)3 C5(, )3D5(,0)(0,)34 九章算术是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，

3、上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为A25 14B25 144C25 12D25 1425已知, a b是两条不重合直线，, 是两个不重合平面，则下列说法正确的是A若/ab，/b，则/aB若，/a，则aC若，a，a，则/aD若b，/ab，则/a6 在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知coscosacbCbA，则下列关于ABC形状的说法，正确的是A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形高高一一数学试题数学试题第第 2页（共页（共 6页）页）7 直三棱柱111ABCABC中，ABC为等边三角形，1AAAB，M是11A

4、C的中点， 则直线AM与平面11BCC B所成角的正弦值为A710B1510C8510D15108蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴踢蹋的含义，鞠最早系外包皮革内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴蹋踢皮球的活动，类似于今日的足球2006 年5 月 20 日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录已知某鞠(球)的表面上有四个点, ,A B C P，且球心O在PC上，4ACBC，ACBC，6tantan2PABPBA，则该鞠(球)的表面积为A9B18C36D64二、多项选择题：本大题共 4 小题每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项

5、中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分9已知复数1z对应的向量为1OZ ，复数2z对应的向量为2OZ ，则下列说法正确的是A若1|1OZ ，则11z 或iB若143iz ，234iz ，则12(1, 1)Z Z C若1212|zzzz，则12OZOZ D若1212()()OZOZOZOZ ，则12|zz10 已知空间向量(1, 1,2)a ，则下列说法正确的是A|6a B向量a与向量( 2,2, 4)b 共线C向量a关于x轴对称的向量为(1,1, 2)D向量a关于yOz平面对称的向量为( 1,1, 2)高高一一数学试题数学试题第第 3页（共页（共

6、 6页）页）11已知圆锥的底面半径为2 3，高为2，S为顶点，,A B为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是A圆锥的体积为24B圆锥侧面展开图的圆心角大小为3C圆锥截面SAB面积的最大值为4 3D若圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，则此球的体积为256312已知(2cos,sin),(3cos,2cos),0axx bxx ，( )3f xa b ，且( )f x的图象的对称中心与对称轴的最小距离为4，则下列说法正确的是A1B( )f x的图象关于直线12x 对称C把( )f x图象向左平移12个单位，所得图象关于y轴对称D保持( )f x图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2

7、倍，然后把图象向左平移3个单位，得到函数2sinyx的图象三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13欧拉公式icosisinxexx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数i42ie的共轭复数为14在正方体1111ABCDABC D中，点,G H分别在棱1111,BC AD上，且111113AHC GAD，则异面直线BG与DH所成角的余弦值为15已知1sin()33，则cos(2 )316在ABC中，若222sinsinsinsinsinABCBC，且3BC ，则ABC周长的最大值为高高一一数学试题数学试题第第 4页（共页（共

8、 6页）页）四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本题满分 10 分）如图所示，三棱柱111ABCABC中，CAa ，CBb ，1CCc ，11CACBCC，2,3a ba c ，,2b c ，N是AB中点（1）用, ,a b c 表示向量1AN ；（2）在线段11C B上是否存在点M，使1AMAN?若存在，求出M的位置，若不存在，说明理由18 （本题满分 12 分）如图所示，直三棱柱111ABCABC中，M为BC中点（1）求证：1/AB平面1AC M；（2） 若三棱柱111ABCABC上下底面为正三角形，6AB ，13AA ， 求证： 平面

9、1AB M 平面1AC MNM1A1C1BBCAM1A1B1CCBA高高一一数学试题数学试题第第 5页（共页（共 6页）页）19 （本题满分 12 分）如图所示， 已知DOE是半径为3， 中心角为3的扇形，P为弧DE上一动点， 四边形PQMN是矩形，(0)3PODxx（1）求矩形PQMN的面积( )f x的最大值及取得最大值时的x值；（2）在ABC中，3( )2f C ，2c ，其面积2 3ABCS，求ABC的周长20 （本题满分 12 分）如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，2PAAB，2AD ，点E是PB的中点（1）证明：AEPC；（2）求点D到CE的距离

10、；（3）求二面角CAED的大小NQEDOPxMEDCAPB高高一一数学试题数学试题第第 6页（共页（共 6页）页）21 （本题满分 12 分）如图所示，在海岛A上有一座海拔0.5千米的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东30方向，俯角为30的B处，若10分钟后，又测得该船在海岛北偏西60方向，俯角为60的C处（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A的距离？22 （本题满分 12 分）如图所示， 长方形ABCD中，1AD ，2AB ， 点M是边CD的中点， 将ADM沿AM翻折到PA

11、M，连结PB，PC，得到图的四棱锥PABCM（1）求四棱锥PABCM的体积的最大值；（2）若棱PB的中点为N，求CN的长；（3）设PAMD的大小为，若(0,2，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值ABCDP北东ABCDM图图PBACDMN高高一一数学试题数学试题第第 1页（共页（共 6页）页）2021-2022 学年度第二学期期末学业水平检测高一数学参考答案一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。1-8：AB D BC D B C二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，

12、共分，共 20 分。分。9：CD；10：ABC；11：BD；12：ABD三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。131 i；14513；1579；1632 3；四、解答题：共四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本题满分（本题满分 10 分）分）解解： （1）111111()22ANA AANA AABA ACBCA 111()222cbaabc 4 分(2)设111

13、C MC Bb则1111AMAAACC Mcab 6 分若存在M，使1AMAN则10AM AN 7 分所以11()()022cababc所以22211110222222a cb ccaa ba ca bbb c 8 分因为|1abc，2,3a ba c ，,2b c 所以211 1 cos32a ba c ，0b c ，22|1aa，22|1bb所以111110424242 解得：23所以当M是11C B上靠近1B的三等分点时，1AMAN10 分18 （本题满分（本题满分 12 分）分）解解： （1）连结1AC，交1AC于N，连结MN因为11A ACC是平行四边形所以N是1AC中点2 分因为M

14、是BC的中点所以MN是1CAB的中位线，1/MNAB 4 分因为MN 平面1AC M，1AB 平面1AC MNM1A1C1BBCACM1A1B1CBANP高高一一数学试题数学试题第第 2页（共页（共 6页）页）所以1/AB平面1AC M； 5 分（2）因为ABC为正三角形，AM是中线所以AMBC 6 分因为1CC 平面ABC，所以1CCAM所以AM 平面11C CBB因为1B M 平面11C CBB所以1AMB M 8 分取11BC的中点P，连结PM在11B MC中，因为111132PMAABC所以1190B MC，即11B MC M 10 分因为1AMC MM所以1B M 平面1AC M 1

15、1 分又因为1B M 平面1AC M所以平面1AB M 平面1AC M12 分19 （本题满分（本题满分 12 分）分）解解： （1）由题意sin3sinQMPNOPxx1 分cos3cosONOPxx因为tan33QMOM所以333sinsin33OMQMxx所以3cossinMNONOMxx3 分所以矩形PQMN的面积( )( 3cossin ) 3sinf xxxx4 分23sin cos3sinxxx31 cos2sin2322xx3133(sin2cos2 )222xx33sin(2)62x 6 分因为03x，52666x所以，当262x时，即6x 时，( )f x的最大值为327

16、分（2）由（1）得6C 8 分因为1sin2 326ABCSab所以8 3ab 10 分NQEDOPxM高高一一数学试题数学试题第第 3页（共页（共 6页）页）由余弦定理得：2222cos46cabab所以2()(23)4abab，即2()28 16 3ab所以42 3ab所以ABC的周长为62 3abc12 分20 （本题满分（本题满分 12 分）分）解：解：（1）证明：因为PA 平面ABCD，BC 平面ABCD所以BCPA因为底面ABCD为矩形，所以BCAB因为ABPAA所以BC 平面PAB因为AE 平面PAB所以BCAE2 分因为PAAB，E是PB中点，所以AEPB因为PBBCB所以AE

17、 平面PBC3 分因为PC 平面PBC所以AEPC4 分（2）以A为坐标原点，分别以,AB AD AP所在直线为x轴, y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0), (2,0,0),(0,2,0),(2,2,0), (0,0,2),(1,0,1)ABDCPE 5 分所以(1,2,1),(1,2, 1)DEEC 与EC 同向的单位向量121( ,)222|ECuEC 6 分所以D到EC的距离22211()()4(1)322dDEDE u 8 分（3） 设平面EAC的法向量为1111( ,)nx y z因为(1,0,1),(2,2,0)AEAC 所以11110220 xzxy，令1

18、1x ，得1(1,2, 1)n 9 分设平面EAD的法向量为2222(,)nxyz 因为(0, 2,0),(1,0,1)ADAE 所以222200yxz，令21x ，得2(1,0, 1)n 10 分所以二面角CAED的平面角的余弦值121222cos2|22n nnn 所以二面角CAED的大小为4 12 分EDCAPBxyz高高一一数学试题数学试题第第 4页（共页（共 6页）页）21 （本题满分（本题满分 12 分）分）解解： （1） 在Rt PAB中，60APB，0.5AP ，所以3tan602ABAP 2 分在Rt PAC中，30APC，所以3tan306ACAP 4 分在ACB中，306

19、090CAB 所以22306BCACAB则船的航行速度为3013066(千米/时)6 分（2）在Rt ACB中，90CAB，36AC ，306BC 所以10sin10ACABCBC，3 10cos10ABC 8 分在ABD中，9030120DAB sinsin(60)sin60 coscos60 sinADBABCABCABC33 101103 30102102102010 分由正弦定理得sinsinADABABDADB所以9326AD故此时船距岛A的距离为9326千米12 分22 （本题满分（本题满分 12 分）分）解：解： （1）取AM的中点G，连结PG因为PAPM，则PGAM由题意，当平

20、面PAM 平面ABCM时，P点到平面ABCM的距离最大此时，PG 平面ABCM，四棱锥PABCM高的最大值max22hPG2 分因为131 221 122ABCMADMSS 3 分所以四棱锥PABCM的体积最大值为max13223224V 4 分（2）取AP中点Q，连结,NQ MQ因为N为PB的中点，所以NQ为PAB的中位线所以/NQAB且12NQABABCDP北东高高一一数学试题数学试题第第 5页（共页（共 6页）页）因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形所以/CMAB且12CMAB所以/CMNQ且CMNQ四边形CNQM为平行四边形 7 分所以2215( )122CNMQ8 分（3）连结D

21、G因为DADM所以DGAM所以PGD为PAMD的平面角，即PGD过D做DZ 平面ABCD，以D为坐标原点O，分别以,DA DC DZ所在直线为x轴, y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,1,0),(0,2,0)AMC过P作PHDG于H，由题意PH 平面ABCM设000(,)P xyz因为22PG ，所以2sin2PH，2cos2GH，2(1 cos )2DH所以00221(1 cos )(1 cos )222xy，02sin2z,所以112( (1 cos ),(1 cos ),sin )222P9 分所以1 coscos12( 1,1,0),(,sin)222A

22、MPA 设平面PAM的法向量为1111( ,)nx y z则1111101 coscos12sin0222xyxyz令12z ，可得1(tan ,tan ,2)n10 分设平面PBC的法向量为2222(,)nxyz 因为cos1 cos32(1,0,0),(,sin)222CBPC 则22220cos1cos32sin0222xxyz令22siny，可得2(0,2sin ,3cos )n 11 分设两平面夹角为则212222212sin|23 22cos|3cos1|coscos|2tan2 2sincos6cos911 cos6cosn nnn PBACDMNxyQzGH高高一一数学试题数学试题第第 6页（共页（共 6页）页）2213|cos|331201808020(cos)(cos)11133399(cos)3(cos)33令11cos3t(0,2，所以3( ,34t所以29cos80609tt，所以当3t 时，cos有最小值1111所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为111112 分