1、均值不等式问题拼凑8法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例 已知，求函数的最大值。解： 。当且仅当，即时，上式取“=”。故。评注：通过因式分解，将函数解析式
2、由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。例2 求函数的最大值。解：。因，当且仅当，即时，上式取“=”。故。评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。例3 已知，求函数的最大值。解：。当且仅当，即时，上式取“=”。故，又。二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设，求函数的最小值。解：。当且仅当时，上式取“=”。故。评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积
3、”，往往是十分方便的。例5 已知，求函数的最大值。解：，。当且仅当时，上式取“=”。故。评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。例6 已知，求函数的最小值。解：因为，所以，令，则。所以。当且仅当，即时，上式取“=”。故。评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。 三、 拼凑常数降幂例7 若，求证：。分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是，为解题提供了信息，发现应
4、拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明：。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。例8 若，求的最大值。解：。当且仅当时，上述各式取“=”，故的最大值为7。例9 已知，求证：。证明：，又，。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。四、 拼凑常数升幂例10 若，且，求证。分析：已知与要求证的不等式都是关于的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是，故应拼凑，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明：，。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。例11 若，求证：。证明：。又。当且仅当时，上述各
5、式取“=”，故原不等式得证。五、 约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。例12 已知，求的最小值。 解：。当且仅当时，即，上式取“=”，故。例13 已知，求函数的最小值。解：因为，所以。所以。当且仅当时，即，上式取“=”，故。例14 若，求证。分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于的轮换对称式，当时，等式成立。此时，设，解得，所以应拼凑辅助式为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目。证明：。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。六、 引入参数拼凑 某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。例15
6、 已知，且，求的最小值。解：设，故有。当且仅当同时成立时上述不等式取“=”，即，代入，解得，此时，故的最小值为36 七、 引入对偶式拼凑 根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。例16 设为互不相等的正整数，求证。证明：记，构造对偶式，则，当且仅当时，等号成立。又因为为互不相等的正整数，所以，因此评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。八、 确立主元拼凑 在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。例17 在中，证明分析：为轮换对称式，即的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。证明：当时，原不等式显然成立。 当时，当且仅当，即为正三角形时，原不等式等号成立。 综上所述，原不等式成立。评注：变形后选择A为主元，先把A看作常量，B、C看作变量，把B、C这两个变量集中到，然后利用的最大值为1将其整体消元，最后再回到A这个主元，变中求定。 综上可见，许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解。这种运用等号成立条件的拼凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力。
