1、解答立体几何问题5大数学思想方法 学习立体几何，除了要掌握基本的数学知识和技能外，还要注意领会与总结解决解答对应问题的常见数学思想方法，下面对解答立体几何问题的五大数学思想方法加以归纳整理，供复习参考 割补思想分割与补形的思想方法是处理几何图形的重要方法，特别在处理非常规图形时，即使涉及比较熟悉的图形的问题，有时结合割补法也可以更好的得以解决，因此，此考点可明考，即出示陌生图形，也可暗考，即给出熟悉图形，但进行割补实现快速解题例 如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，则该多面体的体积为（ ） 解析 本题所涉及的为非常规图形，没有可套用的体积公式，故需要考虑割补解 如图，作垂
2、直于，垂足分别为，连结，由，则有垂直于由图形的对称性，知，由，得故所求体积为，选例 表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ） 解析 将正八面体嵌入到正方体中，即以正八面体的顶点为正方体各面的中心，则可知正八面体的棱长为，则正方体底面对角线长为，正方体棱长为，即为正八面体外接球的直径，故球的体积为，选 分类讨论思想若题目描述的情形不唯一，就要考虑借助分类与整合的思想方法解答例 如图，在直三棱柱中， ，分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为 解析 分别将沿折到平面上；将沿折到平面上；将沿折到平面上；将沿折到平面上，比较其中长即可结果为 等价转化思想一些立体
3、几何问题，借助等价转化思想，可以得到更好解答 求距离的转化点、线与面之间的距离，可以借助平行关系，借助等体积等方法实现距离的转化例 如图，正方体的棱长为，是底面的中心，则到平面的距离为（ ） 解析 若直接过点作平面的垂线求距离，则难以操作但若借助“过与平面平行的直线上每个点到平面的距离相等”，如图，点分别是棱的中点，易知过点且与平面平行，于是，只需求点到平面的距离，又可得所求为的，即 求角的转化求角问题，往往也可以借助平行关系进行转化解答例 如图，在三棱锥PABC中，ABBC， ，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC求直线与平面所成角的大小 解析 若直接求直线与平面所成的角，不易操作
4、，但若根据，则可转化为求与平面所成的角，取的中点，连结，则，作于，连结，则平面，所以是与平面所成的角又，所以与平面所成的角的大小等于，在中，所以与平面所成角的大小为例 （）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则（）已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于，则 解析 对（），由于正四棱柱的六个面两两对应平行，根据同一条直线与多个平行平面所成的角相等，问题转化为一条直线与正四棱柱共顶点的相邻三个面所成的角都为，求如图，设两两垂直且相等，作平面，则与三个侧面成角相等，连结并延长交于，连结，则，于是，设，则，即对（），类似可知，一组平行直线与同一平面所成的角相等，则问题可转化为如图所示的与平
5、面所成角的正弦，易知为 求最值的转化一些立体几何的最值问题，往往通过图形变换进行转化例 如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为解析 问题转化为将三棱柱的侧面沿剪开后展开，并补上展开后全等的部分后，所得矩形对角线的长，如图所示，易得所求为 求体积的转化一些求体积问题，往往需要借助体积的转化求解例 如图，在体积为1的三棱锥侧棱上分别取点， 使，记为三平面的交点，则三棱锥的体积等于（ ） 解析 如图，设，则连结的交点为，设到平面的距离为，则由，可知点到平面的距离为；又由，故到平面的距离为；又由，故到平面的距离为三棱锥的体积为，故三棱锥
6、的体积等于选评注 本题通过多次体积间关系的转化，实现了所求体积与已知体积关系的明朗化 向量法借助空间向量，特别是建立空间直角坐标系后，使向量坐标化，能够更加简捷的解答很多涉及位置关系判断及求角，求距离的题目例 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点（）证明：面面；（）求所成的角；（）求面与面所成二面角的大小解析 根据题目特征，注意到两两垂直，可建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量与平面的法向量解答解 因为，以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为，（）证明：因，故，所以由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面又在面上，故面面（）解：因故，所以，即与所成的角为（）解：在上取一点，则存在使要使，只需，即，解得可知当时，点坐标为，能使此时，有由， 得，所以为所求二面角的平面角，故所求的二面角为 极端化方法一些几何问题，借助想象其极端情形，可以更好的使问题得以解决例 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ）三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥解析 对于正六棱锥，当其高趋近于时，侧棱长趋近于底面边长，但侧棱长始终大于底面边长，而不会相等，故选借助极端化方法，同学们可以求一下正六棱锥相邻侧面所成二面角的取值范围
