1、11.2 二项式定理,高考数学,考点二项式定理及应用1.二项式定理:(a+b)n=?an+?an-1b1+?an-rbr+?bn(nN*).这个公式所表示的定理叫做二项式定理.2.几个基本概念(1)二项展开式:二项式定理中的公式右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式.(2)项数:二项展开式中共有n+1项.(3)二项式系数:在二项展开式中各项的系数?(r=0,1,2,n)叫做二项式系数.(4)通项:二项展开式中的?an-rbr叫做二项展开式的通项,用Tr+1表,知识清单,示,即通项为展开式的第r+1项:Tr+1=?an-rbr(r=0,1,n).3.在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到
2、公式:(1+x)n=1+?x+?x2+?x3+?xn.如果设a=1,b=-x,则得到公式:(1-x)n=1+(-1)1?x+?x2+(-1)n?xn.4.二项式系数与项的系数是不同的,如(a+bx)n(a,bR)的展开式中,第r+1项的二项式系数是?,而第r+1项的系数为?an-rbr.5.通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项或系数,求展开式的某一项或系数.在运用公式时要注意以下几点:(1)?an-kbk是第k+1项,而不是第k项;(2)运用通项公式Tk+1=?an-kbk解题时,一般都需先转化为方程(组)求出n、k,然后代入通项公式求解;,(3)求展开式的一些特殊项,通常都是由题意
3、列方程求出k,再求所需的某项;有时需要求n,计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.6.在(a+b)n的展开式中,令a=b=1,得?+?+?=2n;令a=1,b=-1,得?-?+?-?+=0,?+?+?+=?+?+?+=2n-1.7.对二项式系数性质的理解(1)对称性:由组合数的性质“?=?”,得从“?=?=1”开始,由左右向中间靠拢,便有?=?,?=?,(2)最大值:当n为偶数时,(a+b)n的展开式有n+1项,n+1是奇数,这时展开式的形式是,中间一项是第?+1项,它的二项式系数是?,它是所有的二项式系数中的最大者.当n为奇数时,(a+b)n的展开式共有n+1项,n+1是偶数,这
4、时展开式的形式是?中间两项是第?、?+1项,它们的二项式系数是?、?,这两,个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大者.,求指定项或指定项的系数的解题策略求二项展开式中指定项或指定项的系数,通常是根据已知条件,利用通项公式求r,再求Tr+1或Tr+1的系数,有时还需先求幂指数n,再求r,才能求出Tr+1或Tr+1的系数.例1(2017浙江“超级全能生”联考(3月),2)在二项式?的展开式中,常数项是?()A.-240B.240 C.-160D.160,方法技巧,解题导引求二项展开式的通项令x的指数为0,得k的值计算得常数项,解析二项式?的展开式的通项为Tk+1=?(2x)6-k?= (-1)k
5、26-k?x6-2k,令6-2k=0,得k=3,则展开式中的常数项是(-1)323?=-160,故选C.,评析本题考查二项展开式的通项公式,由二项式定理求指定项系数,考查运算求解能力.,求二项式系数和与展开式系数和的解题策略对于二项式系数和与展开式系数和问题,首先,应掌握二项式系数的性质:?+?+?+?=2n,?+?+?+=?+?+?+=2n-1.其次,要掌握赋值法.例2(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,6)若(1-4x)2 017=a0+a1x+a2x2+a2 017x2 017,则?+?+?的值是?()A.-2B.-1C.0D.1,A,解题导引令x=0,得a0的值令x=?,得结论,解
6、析当x=0时,a0=1;当x=?时,(-1)2 017=a0+?+?+?,所以?+?+?=-2.故选A.,评析本题考查二项展开式系数的性质,赋值法求展开式系数,考查推理运算能力.,二项式定理综合应用的解题策略1.用二项式定理进行近似计算,先要观察精确度,再选取展开式中若干项.2.用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式,再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.3.证明与组合数有关的恒等式、不等式问题时,通常表现为二项式定理的正用或逆用,再结合恒等式、不等式证明的方法进行论证,应用时应巧妙地构造二项式.例3今天为星期一,则2100天后为星期.,解题导引把2100变形为2(7+1)33的形式由二项式定理展开得2100被7除的余数得结论,解析2100=8332=(7+1)332=2(?733+?732+?7+?),此数被7除后余2.故2100天后为星期三.,答案三,评析本题考查利用二项式定理计算余数问题,指数运算等知识,考查推理运算能力.,
