1、2.3 函数的奇偶性与周期性 第二章 函数概念与基本初等函数 基础知识 自主学习 课时作业 题型分类 深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 1.奇函数 、 偶函数的概念 图像 关于 对称 的函数叫作奇函数 . 图像 关于 对称 的函数叫作偶函数 . 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性 ， 一般都按照定义严格进行 ， 一般步骤是 (1)考察定义域是否关于原点对称 . (2)考察表达式 f( x)是否等于 f(x)或 f(x)： 若 f( x) ， 则 f(x)为奇函数； 若 f( x) ， 则 f(x)为偶函数 ； 知识梳理 y轴 原点 f(x) f(x) 若 f( x) f(x)且 f(
2、 x) f(x)， 则 f(x)既是奇函数又是偶函数； 若 f( x) f(x)且 f( x) f(x)， 则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数 ， 既非奇非偶函数 . 3.周期性 (1)周期函数：对于函数 y f(x)， 如果存在一个非零常数 T， 使得当 x取定义域内的任何值时 ， 都 有 ， 那么就称函数 y f(x)为周期函数 ， 称 T为这个函数的周期 . (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一 个 的 正数 ，那么 这个 就 叫作 f(x)的最小正周期 . f(x T) f(x) 最小 最小正数 1.函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是偶函数 ， 那
3、么 f(x) f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 . (3)在公共定义域内有：奇 奇奇 ， 偶 偶偶 ， 奇 奇偶 ， 偶 偶偶 ， 奇 偶奇 . 【 知识拓展 】 2. 函数周期性常用结论 对 f ( x ) 定义域内任一自变量的值 x ： ( 1 ) 若 f ( x a ) f ( x ) ，则 T 2 a ( a 0 ) . ( 2 ) 若 f ( x a ) 1f ? x ?，则 T 2 a ( a 0 ) . ( 3 ) 若 f ( x a ) 1f ? x ?，则 T 2 a ( a 0 ) . 题组一 思考辨析
4、 1.判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “ ” ) (1)偶函数图像不一定过原点 ， 奇函数的图像一定过原点 .( ) (2)若函数 y f(x a)是偶函数 ， 则函数 y f(x)关于直线 x a对称 .( ) (3)函数 f(x)在定义域上满足 f(x a) f(x)， 则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数 .( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 .( ) (5)若 T是函数的一个周期 ， 则 nT(n Z， n 0)也是函数的周期 .( ) 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二 教材改编 2.已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数
5、， 且当 x 0时 ， f(x) x(1 x)， 则f( 1) _. 答案 2 解析 f(1) 1 2 2， 又 f(x)为奇函数 ， f( 1) f(1) 2. 3. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x 1 , 1 ) 时， f ( x ) ? 4 x2 2 ， 1 x 0 ，x ， 0 x 1 ，则 f ?32 _ _. 1 解析 f ?32 f ? 12 4 ? 122 2 1. 解析 1 2 3 4 5 6 4. 设奇函数 f(x) 的定义域为 5,5， 若当x 0,5时 ， f(x)的图像如图所示 ， 则不等式 f(x) 0的解集 为 _. 解析 由图像可知 ， 当 0 x 2时 ， f(x) 0；当 2 x 5时 ， f(x) 0， 又 f(x)是奇函数 ， 当 2 x 0时 ， f(x) 0， 当 5 x0. 综上 ， f(x) 0的解集为 ( 2,0) (2,5. 解析 1 2 3 4 5 6 答案 ( 2,0) (2,5
