2022年全国乙卷数学（文科）高考真题（原卷及答案）.pptx

1、D2, 4, 6,8,10A2, 4B2, 4, 6C2, 4, 6,82设(1 2i)a b 2i ，其中 a, b 为实数，则（）A a 1, b 1B a 1, b 1C a 1, b 1D a 1, b 13已知向量a (2,1)，b (2, 4) ，则| a b | （）A2B3C4D54分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：）A 2B4C8D126设 F 为抛物线C : y2 4x 的焦点，点 A 在 C 上，点 B(3, 0) ，若| AF | BF | ，则| AB | （）2022 年普通高等年普通高等学学校招生全国统一考试（校招

2、生全国统一考试（全全国乙卷国乙卷）文科数文科数学学注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，回答选择题时，选出每小题答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡卡 上。写在本试卷上无效。上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后

3、，将本试卷和答题卡一并交回。一、选一、选择择题：本题题：本题共共 12 小题，每小小题，每小题题 5 分，分，共共 60 分分。在每小。在每小题题给出的四个给出的四个选选项中，只有项中，只有一一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1集合 M 2, 4, 6,8,10, N x 1 x 6，则 M N （ ）则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8C.甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.6x y 2, y 0,5若 x，y

4、满足约束条件 x 2 y 4, 则 z 2x y 的最大值是（A2C37执行右边的程序框图，输出的n （）A3B4C5D68右图是下列四个函数中的某个函数在区间3, 3 的大致图像，则该函数是（）9.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AB, BC 的中点，则（）A平面 B1EF 平面 BDD1B平面 B1EF 平面 A1BDC平面 B1EF 平面 A1 ACD平面 B1EF 平面 A1C1D10已知等比数列an 的前 3 项和为 168， a2 a5 42 ，则 a6 （A14B12C6D3）11函数 f x cos x x 1sin x 1在区间0, 2的最小值、

5、最大值分别为（）B 2 2D 3 2A y x3 3xx3 x2x cos xB y 1C y x2x2 1x2 12 sin xD y 1x22 2A， 3 22B ， C ， 22 23 D ， 2 2212已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积 最大时，其高为（）ABCD二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和若2S3 3S2 6 ，则公差 d 14.从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的

6、概率为15过四点0, 0, 4, 0, 1,1, 4, 2 中的三点的一个圆的方程为b 是奇函数，则a ， b 三三、解解答答题题：共共 70 分分。解解答应答应写写出出文文字说字说明明、证证明明过过程或程或演演算算步步骤。骤。第第 1721 题题为为必必考题考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题（一）必考题：共共 60 分分。17（12 分）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知sin C sin A B sin B sin C A （1）若 A 2B ，求 C；（2

7、）证明： 2a2 b2 c2 . 18（12 分）如图，四面体 ABCD 中， AD CD, AD CD, ADB BDC ，E 为 AC 的中点样本号 i12345678910总和根部横截面积 xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.61证明：平面 BED 平面 ACD；2设 AB BD 2, ACB 60 ，点 F 在 BD 上，当AFC 的面积最小时，求三棱锥 F ABC 的体 积19（12 分）某地经过多年的环境治理，已将荒ft改造成了绿水青ft为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：

8、 m2 ）和材积量（单位： m3 ） ， 得到如下 数据：1312332211 x16若 f x ln a 材积量 yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.91当a 0 时，求 f ( x) 的最大值；2若 f ( x) 恰有一个零点，求 a 的取值范围21（12 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过两点1写出 l 的直角坐标方程；2若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围23选修 45：不等式选讲（10 分）10102210并计算得x 0.038 ，y 1.6158 ，x y 0.2474 i i i ii1i

9、1i11估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；2求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）；3现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积， 并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值 22nnnii1i1x xy y xi x yi y i附：相关系数 r i1， 1.896 1.377 x20（12 分）已知函数 f ( x) ax 1 (a 1) ln x 3A(0, 2), B, 1 21求 E 的方程；2设过点 P(1, 2) 的直线交 E

10、 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足MT TH ，证明：直线 HN 过定点（二）选考（二）选考题题：共共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将铅笔在答题卡上将 所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多多 答按所答第一题评分。答按所答第一题评分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 3 cos 2t,在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参

11、数方程为（t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴 y 2 sin t为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 sin m 0 3 （2）2022 年普通高等年普通高等学学校招生全国统一考试（校招生全国统一考试（全全国乙卷国乙卷）文科数学参文科数学参考考答答案案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.1. A2. A3. D4. C5. C6. B7. B8. A9. A10. D11. D12. C14.#0.315. x 2 y 3 13 或22 x 22 y 12 5 或或；. ln 2 三、解答题：共三、解答题：共

12、 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作个试题考生都必须作答答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作答答.333已知 a，b，c 都是正数，且a 2 b2 c 2 1，证明：9（1） abc 1 ；12 abcabcb ca ca b二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. 23102236594 7 x 3 y 2169258 2 x 5 y 1216. 1 ；517. （1） 8 ；

13、（2）由sin C sin A B sin B sin C A 可得，sin C sin A cos B cos Asin B sin B sin C cos A cos C sin A ，再由正弦定理可得，ac cos B bc cos A bc cos A ab cos C ，然后根据余弦定理可知，由于由于过 E 作 EF BD ，垂足为 F ，1 a2 c2 b2 1 b2 c2 a2 1 b2 c2 a2 1 a2 b2 c2 ，化简得：22222a2 b2 c2 ，故原等式成立18. 【小问 1 详解】由于 AD CD ， E 是 AC 的中点，所以 AC DE . AD CDBD

14、BDADB CDB，所以ADB CDB ，所以 AB CB ，故 AC BD ，由于 DE BD D ， DE, BD 平面 BED ，所以 AC 平面 BED ，由于 AC 平面 ACD ，所以平面 BED 平面 ACD .【小问 2 详解】依题意 AB BD BC 2 ， ACB 60 ，三角形 ABC 是等边三角形，所以 AC 2, AE CE 1, BE 3 ，由于 AD CD, AD CD ，所以三角形 ACD 是等腰直角三角形，所以 DE 1 .DE2 BE2 BD2 ，所以 DE BE ，由于 AC BE E ， AC, BE 平面 ABC ，所以 DE 平面 ABC .由于AD

15、B CDB ，所以FBA FBC ，BF BFFBA FBC AB CB，所以FBA FBC ，所以 AF CF ，所以 EF AC ，2 AFC由于 S 1 AC EF ，所以当 EF 最短时，三角形 AFC 的面积最小值.3 ，2在RtBED 中， 1 BE DE 1 BD EF ，解得 EF 2213 232, BF 2 DF 2所以 DF 12 2 则所以椭圆 E 的方程为：【小问 2 详解】BF3所以BD4DEBD4过 F 作 FH BE ，垂足为 H ，则 FH /DE ，所以 FH 平面 ABC ，且 FH BF 3 ，所以 FH 3 ,4所以VF ABC 1 S FH 1 1

16、2 3323 3 3 .44 ABC19. （1） 0.06m2 ； 0.39m3（2） 0.97（3）1209m320. （1） 1（2） 0, y2x221. （1） 143（2） (0, 2)【小问 1 详解】22解：设椭圆 E 的方程为 mx ny 1，过1 ，A 0, 2, B, 3 24n 1m n 1 9 41314，解得 m ， n ，43y2x2 1 .联立, 得(3k 2 4)x2 6k (2 k )x 3k (k 4) 0 ，将(0, 2) ，代入整理得2(x1 x2 ) 6( y1 y2 ) x1 y2 x2 y1 3y1 y2 12 0 ，将(*) 代入，得24k 1

17、2k 2 96 48k 24k 48 48k 24k 2 36k 2 48 0,显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0, 2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3A(0, 232), B( , 1) ，所以 AB : y 2 2 x ，x2y2若过点 P(1, 2) 的直线斜率不存在，直线 x 1 .代入 1，3433可得 M (1, 2 6 ) ， N (1, 236 ) ，代入 AB 方程 y 2 x 2 ，可得T (6 3, 2 6 ) ，由 MT TH 得到 H (2

18、36 5, 2 6 ) .求得 HN 方程：3y (2 2 6 )x 2 ，过点(0, 2) .3若过点 P(1, 2) 的直线斜率存在，设 kx y (k 2) 0, M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) .kx y (k 2) 0 134x2 y22x x 6k (2 k ) 12可得3k 2 43k (4 k ) x x 1 23k 4123k 2 4，4(4 4k 2k 2 ) y y 2 23k 2 4y y 8(2 k ) ， 1 22 124k(*)且 x y x y 3k 2 4y y123联立 y x 2111123y, 可得T (1 3, y ), H (3

19、y 6 x , y ).y1 y222可求得此时 HN : y y (x x ) ，3y1 6 x1 x2（二）选考（二）选考题题：共共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中选定一题作答题中选定一题作答，并用并用 2B 铅笔在答题卡上将铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多 答按所答第一题评答按所答第一题评分分.选修选修 44：坐标系与参数方：坐标系与参数方程程22. （1），所以，当且仅当，即 a b c 时取等号【小问 2 详解】证明：因为 a

20、0 ， b 0 ， c 0 ，所以，当且仅当 a b c 时取等号3x y 2m 0（2） 19 m 5122选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲23. 【小问 1 详解】333证明：因为 a 0 ， b 0 ， c 0 ，则 a 2 0 ， b2 0 ， c 2 0 ，333，a 2 b2 c 2333 所以 a 2 b2 c 2 3312即abc 1319abc 332232a b c319所以b c 2 bc ， a c 2 ac ， a b 2 ab ，3aaa 2b c3bbb2ac2 abca c23c 22 ab2 abccca b2 bc2 abc3333332 abc2 a

21、bcabca 2b2c 2 a 2 b2 c 2 1b ca ca b2 abc2 abc2 abc2022 年普通高等年普通高等学学校招生全国统一考试（校招生全国统一考试（全全国乙卷国乙卷）文科数文科数学学 参考答参考答案案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.1. A2. A3. D4. C5. C6. B7. B8. A9. A10. D11. D12. C二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. 214.#0.315. x 22 y 32 13 或 x 22 y

22、12 5 或或；. ln 2 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤骤.第第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作个试题考生都必须作答答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作答答.31022 x 4 7 659 y 3 3 2169258 2 x 5 y 1216. 1 ；17. （1） 5 ；8（2）由sin C sin A B sin B sin C A 可得，sin C sin A cos B cos Asin B sin B sin C cos A cos

23、 C sin A ，再由正弦定理可得，ac cos B bc cos A bc cos A ab cos C ，然后根据余弦定理可知，1 a2 c2 b2 1 b2 c2 a2 1 b2 c2 a2 1 a2 b2 c2 ，化简得：22222a2 b2 c2 ，故原等式成立18. 【小问 1 详解】由于 AD CD ， E 是 AC 的中点，所以 AC DE .由于由于过 E 作 EF BD ，垂足为 F ， AD CDBD BDADB CDB，所以ADB CDB ，所以 AB CB ，故 AC BD ，由于 DE BD D ， DE, BD 平面 BED ，所以 AC 平面 BED ，由于

24、AC 平面 ACD ，所以平面 BED 平面 ACD .【小问 2 详解】依题意 AB BD BC 2 ， ACB 60 ，三角形 ABC 是等边三角形，所以 AC 2, AE CE 1, BE 3 ，由于 AD CD, AD CD ，所以三角形 ACD 是等腰直角三角形，所以 DE 1 .DE2 BE2 BD2 ，所以 DE BE ，由于 AC BE E ， AC, BE 平面 ABC ，所以 DE 平面 ABC .由于ADB CDB ，所以FBA FBC ，BF BFFBA FBC AB CB，所以FBA FBC ，所以 AF CF ，所以 EF AC ，2 AFC由于 S 1 AC EF

25、 ，所以当 EF 最短时，三角形 AFC 的面积最小值.3 ，2在RtBED 中， 1 BE DE 1 BD EF ，解得 EF 2213 232, BF 2 DF 2所以 DF 12 2 BF3所以BD4DEBD4过 F 作 FH BE ，垂足为 H ，则 FH /DE ，所以 FH 平面 ABC ，且 FH BF 3 ，所以 FH 3 ,43 .3244所以VF ABC 1 S FH 1 1 2 3 3 3 ABC21. （1）（2） (0, 2)【小问 1 详解】，则4319. （1） 0.06m2 ； 0.39m3（2） 0.97（3）1209m320. （1） 1（2） 0, y2x

26、2 122解：设椭圆 E 的方程为 mx ny 1，过1A 0, 2 , B, 3 24n 1m n 1 9 41314，解得 m ， n ，y2x2所以椭圆 E 的方程为： 1 .43【小问 2 详解】323A(0, 2), B( , 1) ，所以 AB : y 2 2 x ，x2y2若过点 P(1, 2) 的直线斜率不存在，直线 x 1 .代入 1，3433可得 M (1, 2 6 ) ， N (1, 236 ) ，代入 AB 方程 y 2 x 2 ，可得联立, 得(3k 2 4)x2 6k (2 k )x 3k (k 4) 0 ，将(0, 2) ，代入整理得2(x1 x2 ) 6( y1

27、 y2 ) x1 y2 x2 y1 3y1 y2 12 0 ，将(*) 代入，得24k 12k 2 96 48k 24k 48 48k 24k 2 36k 2 48 0,显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0, 2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（二）选考题（二）选考题：共共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中选定一题作答题中选定一题作答，并用并用 2B 铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上 将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评

28、分；将所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分； 多答按所答第一题评多答按所答第一题评分分.选修选修 44：坐标系与参数方：坐标系与参数方程程T (6 3, 2 6 ) ，由 MT TH 得到 H (236 5, 2 6 ) .求得 HN 方程：3y (2 2 6 )x 2 ，过点(0, 2) .3若过点 P(1, 2) 的直线斜率存在，设 kx y (k 2) 0, M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 ) .kx y (k 2) 0 134x2 y22x x 6k (2 k ) 12可得 x x 1 23k 43k 2 4 3k (4 k )1

29、23k 2 4， ，4(4 4k 2k 2 ) y y 2 23k 2 4y y 8(2 k )1 22 1且 x y x y 3k 2 424k (*)23y y1联立 y x 2111123y, 可得T (1 3, y ), H (3y 6 x , y ).y1 y222可求得此时 HN : y y (x x ) ，3y1 6 x1 x222. （1），当且仅当，即时取等号【小问 2 详解】证明：因为 a 0 ， b 0 ， c 0 ，所以，当且仅当 a b c 时取等号3x y 2m 0（2） 19 m 5122选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲23. 【小问 1 详解】333证明：因为 a 0 ， b 0 ， c 0 ，则 a 2 0 ， b2 0 ， c 2 0 ，333，a 2 b2 c 2333 所以 a 2 b2 c 2 331213即abc ，所以abc 19332232a b c319a b c 所以b c 2 bc ， a c 2 ac ， a b 2 ab ，3aaa 23bbb2ac2 abca c23c 2cca b2 ab2 abcb c2 bc2 abc3333332 abc2 abcabca 2b2c 2 a 2 b2 c 2 1b ca ca b2 abc2 abc2 abc