2022年全国乙卷数学（理科）高考真题PDF版（原卷）.pdf

1、2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数数 学（理科）学（理科）注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结

2、束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集，集合 M 满足，则（ ）A B C D2已知，且，其中 a，b 为实数，则（ ）A B C D3已知向量满足，则（ ）A B C1 D24嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，依此类推，其中则（ ）A B C D5

3、 设 F 为抛物线的焦点， 点 A 在 C 上， 点， 若， 则（ ）A2 B C3 D6执行下边的程序框图，输出的（ ）1,2,3,4,5U 1,3UM 2M3M4M5M12iz 0zazb1,2ab 1,2ab 1,2ab1,2ab , a b| 1,|3,|2 | 3ababa b21 nb1111b 212111b 31231111b (1,2,)kkN15bb38bb62bb47bb2:4C yx(3,0)B| |AFBF|AB 2 23 2n A3 B4 C5 D67在正方体中，E，F 分别为的中点，则（ ）A平面平面 B平面平面C平面平面 D平面平面8已知等比数列的前 3 项和为

4、 168，则（ ）A14 B12 C6 D39已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A B C D10某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）Ap 与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大11双曲线 C 的两个焦点为，以 C 的实轴为直径的圆记为 D，过作 D 的切线与 C交于 M，N 两点，且，则 C 的离心率为（

5、 ）A B C D12 已知函数的定义域均为 R， 且 若的图像关于直线对称，则（ ）A B C D1111ABCDABC D,AB BC1B EF 1BDD1B EF 1ABD1B EF1A AC1B EF11AC D na2542aa6a 13123322123,p pp3210ppp12,F F1F123cos5F NF5232132172( ), ( )f x g x( )(2)5, ( )(4)7f xgxg xf x( )yg x2x (2)4g221( )kf k21222324二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13从

6、甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_14过四点中的三点的一个圆的方程为_15记函数的最小正周期为 T，若，为的零点，则的最小值为_16 己知和分别是函数（且） 的极小值点和极大值点若，则 a 的取值范围是_三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分（一）必考题：共 60

7、 分17 （12 分）记的内角的对边分别为，已知（1）证明：；（2）若，求的周长18 （2 分）如图，四面体中，E 为的中点（1）证明：平面平面；（2） 设，点 F 在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值19 （12 分）某地经过多年的环境治理， 已将荒山改造成了绿水青山 为估计一林区某种树木的总材积量，(0,0),(4,0),( 1,1),(4,2)( )cos()(0,0)f xx 3( )2f T 9x( )f x1xx2xx2( )2exf xax0a 1a 12xxABC, ,A B C, ,a b csinsin()sinsin()CABBCA2222abc255,cos3

8、1aAABCABCD,ADCD ADCDADBBDC ACBED ACD2,60ABBDACBBDAFCCFABD随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：） ，得到如下数据：样本号 i12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01） ；（3

9、）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值附：相关系数20 （12 分）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过两点（1）求 E 的方程；（2）设过点的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足证明：直线 HN 过定点21 （12 分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间各恰有一个零点，求 a 的取值范围（二）选考题，共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题

10、作答如果多做，则按所做的第一题计分（二）选考题，共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为（t 为参数） 以坐标原点为极2m3mixiy10101022iiiii=1i=1i=10.038,1.6158,0.2474xyx y2186mi=122=1=1()(), 1.8961 7()7().3niinniiiixxyyrxxyy30, 2 , 12AB1, 2PMTTH ln 1exf xxax1a yf x 0,0f f x 1,0 , 0,xOy3cos2 ,2si

11、nxtyt点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为（1）写出 l 的直角坐标方程；（2）若 l 与 C 有公共点，求 m 的取值范围23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知 a，b，c 都是正数，且，证明：（1）；（2）2022 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）数学（理科）参考答案参考答案注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡

12、上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. A 2. A 3. C. 4. D 5. B 6. B 7. A 8. D 9. C 10.D 11.

13、C 12. D二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. 14. 或或或；15. 16. sin03m3332221abc19abc 12abcbcacababc310222313xy22215xy224765339xy2281691525xy31,1e三、解答题：共三、解答题：共 0 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共

14、（一）必考题：共 60 分分17. （1）证明：因为，所以，所以，即，所以；（2）解：因为，由（1）得，由余弦定理可得， 则，所以，故，所以，所以的周长为.18. （1）因为，E 为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为 E 为的中点，所以；又因为平面，所以平面，sinsinsinsinCABBCAsinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab 22222222222acbabcbca 2222abc255,cos31aA2250bc2222cosabcbcA50502

15、531bc312bc 2222503181bcbcbc9bcABC14abcADCDACACDEABDCBD,BACDCDADBDB DBDABDCBDABCBACACBE,DE BE BEDDEBEEAC BED因为平面，所以平面平面.（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，所以，所以，当时，最小，即的面积最小.因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为 E 为的中点，所以，因为，所以,在中，所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又因为，所以，所以，设与平面所成的角的正弦值为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.AC ACDBED ACD

16、EFAC BEDEF BEDACEF1=2AFCSAC EFEFBDEFAFCABDCBD2CBAB60ACBABCAC1AEEC3BE ADCD112DEACDEB222DEBEBDBEDEEExyz1,0,0 ,0, 3,0 ,0,0,1ABD1,0,1 ,1, 3,0ADAB ABD, ,nx y z030n ADxzn ABxy 3y 3, 3,3n 3 31,0,0 ,0,44CF3 31,44CF 64 3cos,77214n CFn CFn CF CFABD024 3sincos,7n CF CFABD4 3719. （1）样本中 10 棵这种树木的根部横截面积的平均值样本中 1

17、0 棵这种树木的材积量的平均值据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为（2）则（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得则该林区这种树木的总材积量估计为20. 0.60.0610 x 3.90.3910y 20.06m30.39m1010iiiii=1i=110101010222222iiiii=1i=1i=1i=1101010 xxyyx yxyrxxyyxxyy22(0.038 10 0.06 )(1.6158 10.2474 10 0.06 0.390.01340.01340.970.013770.0

18、000 018996.3)0.97r 3mY0.06186=0.39Y3=1209mY31209m（1）解：设椭圆 E 的方程为，过，则，解得，所以椭圆 E 的方程为：.（2），所以，若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，代入 AB 方程，可得，由得到.求得 HN 方程：，过点.若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，221mxny30, 2 , 12AB41914nmn13m 14n 22143yx3(0, 2), ( , 1)2AB2:23AB yx(1, 2)P1x 22134xy2 6(1,)3M2 6(1,)3N223yx2 6( 63,)3

19、TMTTH 2 6(2 65,)3H2 6(2)23yx(0, 2)(1, 2)P1122(2)0,( ,),(,)kxykM x yN xy22(2)0,134kxykxy22(34)6 (2)3 (4)0kxkk xk k1221226 (2)343 (4)34kkxxkkkx xk12222228(2)344(442)34kyykkky yk1221224(*)34kx yx yk1,223yyyx111113(3,),(36,).2yTyHyx y1222112:()36yyHN yyxxyxx(0, 2)12121221122()6()3120 xxyyx yx yy y将代入，得显

20、然成立，综上，可得直线 HN 过定点21. （1）的定义域为当时,所以切点为,所以切线斜率为 2所以曲线在点处的切线方程为（2）设若,当,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若,当,则所以在上单调递增所以,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若(1)当,则,所以在上单调递增所以存在,使得,即当单调递减(*)222241296482448482436480,kkkkkkk(0, 2).( )f x( 1,) 1a ( )ln(1),(0)0exxf xxf(0,0)11( ),(0)21exxfxfx( )yf x(0,(0)f2yx( )ln(1)exaxf xx2e11(1)

21、( )1e(1)exxxaxaxfxxx2( )e1xg xax10a 2( 1,0), ( )e10 xxg xax ( )0fx( )f x( 1,0)( )(0)0f xf( )f x( 1,0)210a ,()0 x( )e20 xg xax( )g x(0,)( )(0)10g xga ( )0fx( )f x(0,)( )(0)0f xf( )f x(0,)31a ,()0 x( )e20 xg xax( )g x(0,)(0)10, (1)e0gag (0,1)m( )0g m ( )0fm(0,),( )0,( )xmfxf x当单调递增所以当当所以在上有唯一零点又没有零点,即

22、在上有唯一零点(2)当设所以在单调递增所以存在,使得当单调递减当单调递增,又所以存在,使得,即当单调递增,当单调递减有而,所以当所以在上有唯一零点,上无零点即在上有唯一零点所以,符合题意所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为( ,),( )0,( )xmfxf x(0,),( )(0)0 xmf xf,( )xf x ( )f x( ,)m (0,)m( )f x(0,)2( 1,0), ( )e1xxg xax ( )( )e2xh xg xax( )e20 xh xa( )g x( 1,0)1( 1)20,(0)10egag ( 1,0)n ( )0g n( 1, ),( )0, (

23、)xn g xg x ( ,0),( )0, ( )xng xg x( )(0)10g xga 1( 1)0eg ( 1, )tn ( )0g t ( )0f t( 1, ),( )xtf x ( ,0),( )xtf x1,( )xf x (0)0f( ,0),( )0 xtf x( )f x( 1, ) t( ,0)t( )f x( 1,0)1a ( )f x( 1,0),(0,)a(, 1) （二）选考题，共（二）选考题，共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参

24、数方程：坐标系与参数方程22. （1）因l：，所以，又因为，所以化简为，整理得 l 的直角坐标方程：（2）联立 l 与 C 的方程，即将，代入中，可得，所以，化简为，要使 l 与 C 有公共点，则有解，令，则，令，对称轴为，开口向上，所以，为sin03m13sincos022msin,cosyx13022yxm320 xym3cos2xt2sinyt320 xym3cos22sin20ttm23(1 2sin)2sin20ttm26sin2sin320 ttm226sin2sin3mttsin ta1,1a 2( )623f aaa( 11)a 16a ( 1)623( )5maxffamin

25、11219( )36666 ffa所以m 的取值范围为.选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23. （1）证明：因为，则，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号（2）证明：因为，所以，所以，当且仅当时取等号19256m195122m0a 0b 0c 320a 320b 320c 33333322232223abcabc1213abc19abc 333222abc319abc0a 0b 0c 2bcbc2acac2abab3222aaabcbcabc3222bbbacacabc3222cccabababc333333222222122222abcabcabcbcacababcabcabcabcabcabc