1、第二十二章选修4系列22.1矩阵与变换,高考数学,1.矩阵的概念在数学中,我们把形如?,?,?这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵(matrix).记法:矩阵通常用大写的黑体拉丁字母来表示,比如A,B,C,或(aij)(其中i,j分别为元素aij所在的行和列).矩阵相等:设有两个矩阵A,B,如果它们适合如下条件:(1)A与B的行数与列数分别相等;,知识清单,(2)A与B对应位置的元素也分别相等.则称A与B相等并记为A=B.说明:如果A=(aij)mn中行数与列数相等,即m=n,比如?,则称A为m阶方矩阵或m阶方阵.方阵在矩阵理论中占有重要的地位.2.矩阵乘法定义一般地,我们规定行矩阵a11,a
2、12与列矩阵?的乘法规则为a11,a12?=a11b11+a12b21,二阶矩阵?与列矩阵?的乘法规则为?=?.,说明:矩阵乘法MN的几何意义为对向量连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换.一般地,对于平面上的任意一个向量P=?,若按照对应法则T,总能对应唯一的一个向量P=? ,则称T为一个变换(transformation),简记为:T:(x,y)(x,y)或T:?.3.几种常见的平面变换恒等变换:对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵?对应的变换,都把自己变成自己.因此,我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵,所实施的对应变换称作恒等变换.,伸压变换:像?,?(m,n0,
3、|m|,|n|1),这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,或作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵,通常称作沿y轴或x轴的垂直伸压变换矩阵,对应的变换称为垂直伸压变换,简称伸压变换.反射变换:像?,?,?,这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵,称为反射变换矩阵,相应的变换称为反射变换.?,?对应于轴反射,?对应于中心反射.旋转变换:矩阵?通常叫做旋转变换矩阵,对应的变换称作旋转变换,其中的角叫做旋转角.,投影变换:像?,?,这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的变换矩阵,我们称之为投影变换矩阵,相应的变换称作投影变换.切变变换:矩阵?把平面上的点P(x,y)沿x轴
4、方向平移|ky|个单位;当ky0时,沿x轴正方向移动;当ky0),或者方向相反(0),特别地,当=0时,特征向量就被变成了0.(3)特征多项式设是二阶矩阵A=?的一个特征值,它的一个特征向量为=?,则A?=?,即?满足二元一次方程组?故?(*)由特征向量的定义知0,因此x,y不全为0,若要上述二元一次方程组有,不全为0的解,则必须有D=0,即?=0.定义:设A=?是一个二阶矩阵,R,我们把多项式f()=?=2-(a+d)+ad-bc称为A的特征多项式.(4)求矩阵的特征值与特征向量如果是二阶矩阵A的特征值,则一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根,它满足f()=0.此时,将代入二元一次方程组(*
5、),就可以得到一组非零解?,于是,非零向量?即为A的属于的一个特征向量.,求解逆矩阵求逆矩阵常用的三种方法:(1)待定系数法:设A是一个二阶可逆矩阵?,则AA-1=A-1A=E(E为单位矩阵).(2)公式法:?=ad-bc,记为det A,有A-1=?(当且仅当det A=ad-bc0时可用).(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵.,方法技巧,例1(2017江苏南通中学期中)设矩阵A=?的逆矩阵为A-1,矩阵B满足AB=?,求A-1,B.,解析因为A=?,所以|A|=?=-7+6=-1.由逆矩阵公式得,A-1=?.因为AB=?,所以B=A-1AB=?=?.,矩阵变换的应用利用矩阵求曲线方程或图形中相关点的坐标,再利用曲线或图形的性质求解相关问题.例2(2017江苏苏北四市摸底考试)求椭圆C:?+?=1在矩阵A=?对应的变换作用下所得的曲线的方程.,解析设椭圆C上的点(x1,y1)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x,y).则?=?=?,则?代入椭圆方程?+?=1,得x2+y2=1.所以所求曲线的方程为x2+y2=1.,
